第6讲 尾数和余数

尾数和余数
自然数末位的数字称为自然 数的尾数；除法中，被除数减 去商与除数积的差叫做余数。 尾数和余数在运算时是有规律 可寻的，利用这种规律能解决 一些看起来无从下手的问题。
例题1
写出除333后余3的全部两位数。 以此类推，个位数字按“9,1”两个数字不断重复，那么共有51÷2＝25……1，共有25个循环，余1.
例题3
444…4÷6，当商是整数时，余数是几？
［100个4］
【思路导航】如果用除法硬除，显然太麻烦。我们可以先用竖式除法一除， 看一看余数在按怎样的规律变化。从竖式中可以看出：每3个4组成的数被 6整除，这样可以把100个4组成的数划分为3个4一组，共分成100÷3＝33 （组）……1，即有33组还多1个4。这多下来的4除以6后，余数应该是4， 所以444…4÷6商是整数时，余数是4。
多少？
【思路导航】因为1/7≈……，化成的小数是一个无限循 环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于 100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个 循环节的第4个数字，是8。
举一反三4
1.把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2.5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？ 把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
3、写出除1095后余3的全部三位数。
2、写出除349后余4的全部两位数。 ［50个6］
［80个8］
［50个（31×36）］
［2001个5］
四个3相乘，积的个位数是1。
① 666…66÷4
②888…8÷7
三个9相乘，积个位数字是9；
两个3相乘，积的个位数是9；
3、写出除1095后余3的全部三位数。 2×11=22 3×11=33

余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。

人教版小学数学二下第六单元《有余数的除法》单元教案一、教学目标1.理解什么是余数，能够正确运用余数的概念；2.学会进行有余数的除法运算；3.能够解决实际问题中涉及有余数的除法计算。

二、教学重点与难点重点1.余数的概念和运用；2.带余数的除法运算。

难点1.理解余数的概念；2.涉及多步计算的有余数除法题目。

三、教学准备1.教案、教材：人教版小学数学二下教材；2.教具：计算器、小板书、教学PPT等。

四、教学过程第一课时1.导入–通过简单的问题引入概念：如果有10个苹果，分给3个人，每人分几个？是否能够平均分配？2.学习–讲解余数的概念，例如10除以3，商为3余1；–解释余数在实际生活中的应用，如购物时的找零等。

3.练习–让学生做一些简单的有余数除法计算题。

第二课时1.导入–复习上节课的内容，让学生理解余数的含义。

2.学习–讲解带余数的除法运算方法；–通过例题演示如何进行有余数的除法计算。

3.练习–给学生布置一些带余数的除法练习题，让他们独立完成。

第三课时1.导入–复习前两节课的内容，强化学生对余数概念的理解。

2.学习–讲解解决实际问题中的有余数除法计算方法；–鼓励学生运用所学知识解决实际问题。

3.练习–设计一些与日常生活相关的问题，让学生动手计算并解决。

五、教学反思通过这一单元的教学，学生对余数的概念有了更深入的理解，并掌握了有余数除法的运算方法。

在教学中，我发现学生对于余数的理解过程中存在一定困难，下一次教学可以增加更多的例题和练习，帮助学生更加熟练地掌握这一概念。

同时，也要注重联系实际，让学生能够将数学知识运用到生活中去解决问题。

以上为本单元教学计划，希望学生在学习过程中能够主动思考，加强练习，提高自己的数学能力。

6余数的除法(认识余数及余数的含义）（教学设计）-2023-2024学年二年级下册数学人教版
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
课程基本信息
1.课程名称：6余数的除法（认识余数及余数的含义）
2.教学年级和班级：二年级下册
3.授课时间：第6课时
4.教学时数：45分钟
本节课将围绕人教版二年级下册数学教材中关于余数的除法展开，通过讲解和互动，使学生了解余数的概念，掌握有余数除法的基本运算方法，并能在实际问题中运用。课程将结合教材例题，让学生通过小组合作、动手操作等形式，深入理解余数的含义及其在生活中的应用。
②简洁明了：
-关键词1：余数
-关键词2：除法
-关键词3：应用
③艺术性和趣味性：
-设计元素1：使用不同颜色粉笔购物找零等。
-设计元素3：在板书边角添加有趣的数学符号或图形，增加视觉吸引力。
-设计元素4：采用流程图形式展示有余数除法的步骤，清晰易懂。
板书设计通过以上三个方面的结合，旨在让学生在视觉上能够快速抓住本节课的重点，同时通过艺术性和趣味性的设计，激发学生的学习兴趣，增强课堂的互动性和趣味性。
课后作业
1.应用题：小华买了一支笔需要5元，他给了售货员10元，请问售货员需要找回多少钱？请用有余数除法计算并解释。
解答：10 ÷ 5 = 2余0，售货员需要找回10 - 5×2 = 0元。
-探究活动2：余数小研究
知识点：余数与除数的关系。
活动内容：指导学生进行小研究，探讨在有余数的除法中，余数与除数之间的关系，如余数的最大值和最小值等。
-探究活动3：设计除法游戏
知识点：有余数除法的运算规则。
活动内容：鼓励学生设计一个简单的有余数除法的数学游戏，通过游戏的形式，加深对有余数除法运算规则的理解。

目录第1讲小数的运算技巧（一） (2)第2讲小数的运算技巧（二） (6)第3讲相遇问题（二） (11)第4讲平均数应用题 (15)第5讲尾数与余数问题 (19)第6讲包含与排除 (23)第7讲解方程 (27)第8讲列方程解决问题（一） (31)第9讲列方程解决问题（二） (35)第10讲基本图形的面积 (39)第11讲组合图形的面积（一） (43)第12讲组合图形的面积（二） (47)第1讲小数的运算技巧（一）【知识要点】小数运算中常运用的技巧有：（1）等积变形：（运用一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的性质，可以把几个因数化成相同的数来计算）（2）凑整与拆分；（3）分组与重新组合；（4）乘法分配律及其反用；（5）商不变的性质；（6）用字母代替数字，即代换法。

【例题精讲】例1、计算：0.79×0.46+ 7.9×0.24+11.4×0.079例2、计算：7.5×23+31×2.5例3、计算：（3.6×0.75×1.2）÷（1.5×24×0.18）例4、计算：3.6×42.3÷0.9－12.5×0.423×16例5、计算：(1 + 2.3 + 3.4) ×(2.3 + 3.4 + 6.5)-(1 + 2.3 + 3.4 + 6.5) ×(2.3 + 3.4) 例6、计算： 0.1949×0.19951995－0.1995×0.19491949【基础夯实】1、计算： 7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×7242、计算：3.7×15+21×4.53、计算：1）0.9999×0.7+0.1111×2.7 2）99.9 ×22.2+ 33.3×33.44、计算：（3.4×4.8×9.5）÷（1.9×17×2.4）5、(1 + 1.7 + 1.9) × (1.7 + 1.9 + 9.2) - (1 + 1.7 + 1.9 + 9.2) × (1.7 + 1.9)【能力提升】1、大小两数的差是7.02，较小数的小数点向右移动一位就等于较大数，较大数是多少？2、两个数相加，小芳错算成相减了，结果得8. 6,比正确答案小10.4，原数中较大数是多少？3、比较下面两个积的大小A=5.4321×1.2345，B=5.4322×1.2344第二讲小数运算技巧（二）【巩固旧知】1、计算：0.9+9.9+99.9+999.9+9999.92、计算：19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82【例题精讲】例1、计算：0.11+0.13+0.15+0.17+……+0.97+0.99例2、一个物体从空中落下来，经过4秒钟落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体在下落前距地面多少米？例3、计算：(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(100+1.2×100) 例4、计算：1.999×2003－1.998×2004【基础夯实】1、计算：0.1+0.13+0.16+0.19+...+0.97+12、计算：(1-0.1)+(2-0.2)+(3-0.3)+…+(9-0.9)+(10-1)3、一个物体从空中落下来，第一秒钟下落2.5米，以后每秒多下落9.9米，经过10秒钟落到地面，问物体原来离地面多高？4、12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12 +91.235、小王和小明两人比赛赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。

第6讲尾数和余数一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的.【例题1】写出除213后余3的全部两位数。

练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。

2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？3.写出除1290后余3的全部三位数。

【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）9×9×9×9×9×9×9×9（51个9）积的个位数是几？（3）、23×23×……23×23×18×18×18×18×……18×18（2000个23）（2001个18）的个位数字是几？练习2：1.（21×26）×（21×26）×（21×26）……（21×26）100个（21×26）积的尾数是几？2. 4×4×4×……×4（50个4）积的个位数字是几？3.0.7×0.7×0.7×0.7×0.6×0.6×0.6×0.6×0.6（2002个0.7）和（2002个0.6）积的尾数是几？【例题3】（1）444……4÷6，（100个4）当商是整数时，余数是几？练习三：1、5555……55÷13，（2001个5）当商是整数时，余数是几？2、当商是整数时，余数各是多少？（1）66666……6÷4（50个6）（2）88888……8÷7（80个8）（3）4444……4÷74（1000个4）（4）1111……1÷5（1000个1）例题4：有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前两个数的和，这一列数中第2001个数除出4，余数是多少？练习四：1、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，在这一串数中，第1991个数被3除，所得余数是几？2、一列数1、2、4、7、11、16、22、29……这一列数的规律是第二个比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，依次类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？3、有一串数，5、8、13、21、34、55、89……其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？例题5：甲数除以9余7，乙数除以9余5。

课题奥数“尾数与余数授课时间：5.29 备课时间： 5.25教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

例题一.写出除333后余3的全部两位数。

思路导航：因为333=330＋3，把330分解质因数：330=2×3×5×11，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11，一共有8个两位数。

例题二. (1）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？(2）的积的尾数是几？思路导航：(1）我们先列举前几个９相乘的积，看看个位数在怎样变化，1个９个位就是９；９×９的个位是１；９×９×９的个位是９；９×９×９×９的个位是１……由此可见，积的尾数以“１，９”两个数字在不断重复出现。

51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。

（2）小数乘法的运算，暂时不考虑小数点。

一个３的积，个位数字是３，两个３相乘，积的个位数字是９，三个３相乘，积的个位数字是７，四个３相乘，积的个位数字是１.以此类推，个位数字出现的规律是按“3、9、7、1”的顺序重复。

那么共有204÷4＝51个循环，最后一个尾数是１.所以前后两部分相乘，尾数应是１×5=5例题三. 444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？思路导航：从竖式中的余数可以看出：每3个4组成的数被6整除。

二年级数学下册人教版第六单元《有余数的除法》全部教案课时一：认识有余数的除法教学目标1.认识有余数的除法的概念。

2.能够用具体的例子说明有余数的除法。

3.理解余数的意义。

教学重点1.认识有余数的除法。

2.理解余数的含义。

教学难点1.理解余数的概念和意义。

教学过程1.引导学生回顾整除和余数的概念。

2.讲解有余数的除法的概念。

3.举例进行讲解，让学生理解有余数的除法是什么意思。

4.练习题目让学生巩固理解。

课时二：余数的性质教学目标1.理解余数的性质。

2.能够根据余数的性质解决问题。

教学重点1.了解余数的性质。

2.掌握根据余数的性质进行计算的方法。

教学难点1.理解余数的性质。

教学过程1.复习有余数的除法。

2.讲解余数的性质。

3.讲解如何根据余数的性质解决问题。

4.练习题目让学生掌握余数性质的运用。

课时三：余数的应用教学目标1.能够灵活运用余数进行计算。

2.能够解决实际问题中的有余数的除法计算。

教学重点1.熟练运用余数进行计算。

2.解决实际问题中的有余数的除法计算。

教学难点1.应用余数解决实际问题。

教学过程1.复习余数的性质。

2.讲解余数在实际问题中的应用。

3.分组讨论解决有余数的实际问题。

4.练习题目巩固应用能力。

课时四：余数的性质教学目标1.回顾余数的性质。

2.学习余数对应的数学概念。

教学重点1.理解余数对应的数学概念。

2.掌握余数的性质。

教学难点1.理解余数对应的数学概念。

教学过程1.完成课前题。

2.总结余数的性质和应用。

3.讲解余数对应的数学概念。

4.练习题目进行巩固。

课时五：余数的应用实战教学目标1.进一步锻炼学生解决实际问题的能力。

2.加深学生对余数的应用理解。

教学重点1.解决实际问题中的有余数的除法计算。

2.提升应用余数的实战能力。

教学难点1.解决复杂问题中的有余数的除法计算。

教学过程1.分发实战练习题目。

2.学生个人或小组解决实战问题。

3.学生展示解决方法，讨论交流。

4.总结本节课学习内容。

尾数和余数一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数。

除法中，被除数÷除数=商……余数（余数<除数），由此算式变化可知: 被除数=商×除数+余数, 被除数-商×除数=余数，，（被除数-余数）÷除数=商, （被除数-余数）÷商=除数。

整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

6. 能被11整除：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

7. 能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

二、精讲精练【例题1】写出除213后余3的全部两位数。

练习1：1. 写出除109后余4的全部两位数。

2. 178除以一个两位数后余数是3, 适合条件的两位数有哪些？3. 写出除1290后余3的全部三位数。

【例题2】（1） 125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]尾数是几？练习2：1. 21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2. 15×15×15×……×15[200个15]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？练习3：1. 24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？2. 1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？3. 94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？【例题4】把1/13化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？练习4：1. 把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。

第 6 讲尾数和余数一、知要点自然数末位的数字称自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫做余数。

尾数和余数在运算是有律可的，利用种律能解决一些看起来无从下手的。

二、精精【例 1】写出除 213 后余 3 的全部两位数【思路航】因 213=210＋ 3. 把 210 分解因数： 210=2× 3× 5× 7，所以，符号目要求的两位数有 2×5=10，2× 7=14，3× 5=15，3× 7=21.5 × 7=35，2× 3× 5=30，2× 3×7=42. 一共有 7 个两位数。

1：1.写出除 109 后余 4 的全部两位数。

2.178 除以一个两位数后余数是3. 适合条件的两位数有哪些？3.写出除 1290 后余 3 的全部三位数。

【例 2】（ 1） 125× 125×125×⋯⋯× 125[100 个 125] 的尾数是几？（ 2）（ 21× 26）×（ 21× 26）×⋯⋯×（ 21× 26）[100 个（ 21× 26） ] 的尾数是几？【思路航】（ 1）因个位 5 乘 5，的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个位是5；（ 2）每个括号里21 乘 26 的个位是就行了。

因个位 6 乘 6，的个位仍然是6，我只要分析100 个 6 相乘，的尾数是几6，所以不管多少个（21×26）乘，的个位是6。

2：1.21 ×21× 21×⋯⋯× 21[50 个 21] 的尾数是几？2.1.5 × 1.5 ×1.5 ×⋯⋯× 1.5[200 个 1.5] 的尾数是几？3.（ 12× 63）×（ 12× 63）×（ 12×63）×⋯⋯×（ 12× 63） [1000 个（ 12× 63） ]的尾数是几？【例 3】（ 1） 4×4× 4×⋯× 4[50 个 4] 的个位数是几？（ 2） 9×9× 9×⋯× 9[51 个 9] 的个位数是几？【思路航】（ 1）我先列前几个 4 的，看看个位数在怎化， 1 个 4 个位就是4；4× 4 的个位是 6；4×4× 4 的个位是 4；4×4× 4× 4 的个位是 6⋯⋯由此可，的尾数以“ 4， 6”两个数字在不断重复出。

小学奥数-巧算尾数和余数自然数的尾数：就是自然数末位的数字。

余数：就是在做除法算式中，用被除数减去商与除数的积余下来的数。

自然数尾数的性质：1.一位数的尾数就是它本身。

2.两个数和的尾数，等于两个数尾数之和的尾数。

3.两个数差的尾数，等于两个数尾数之差，当尾数不够减时，被减数的尾数加10再减。

4.一个自然数的10倍的尾数是0。

5.两数积的尾数，等于两个因数尾数的积的尾数。

6.几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数。

余数的性质：1.如果a、b除以c的余数相同，那么a和b的差能被c整除。

比如：17和11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

2.余数要一定小于除数。

3.被除数=除数×商+余数。

解答这类问题，在计算中，我们可以运用如下方法：1.根据题目中各数的特点，找出数字出现的规律，并确定周期，根据周期求问题。

2.循环小数的问题，要通过计算得出商，找出循环节是由哪几个数字组成的，周期就是几。

3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，看前多少位能被这个数整除，还余多少，把这个余下来的数除以某数，就直接求出余数了。

精讲1：写出除215后余5的全部两位数。

分析：因为215=210+5，把210分解质因数:210=2×3×5×7，所以，符合题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，2×5×7=70。

一共有8个两位数10、14、15、21、35、30、42、70。

答：除215后余5的两位数有10、14、15、21、35、30、42、70。

精讲2：解：（1）因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个56相乘，个位还是6；（2）每个括号里31乘25积的个位是5，我们只要分析100个5相乘，积的尾数是几就行了。

在学生小组讨论环节，我感到很欣慰，因为大部分同学都能够积极参与，主动发表自己的观点。但我也发现，有些同学在分享成果时，表达不够清楚。为了提高学生的表达能力，我将在以后的课堂中增加一些口语表达训练，鼓励他们大胆地说出自己的想法。
最后，总结回顾环节，我询问了同学们对本节课内容的掌握情况，他们普遍反映良好。但我也意识到，有些同学可能因为害羞或紧张而没有提出自己的疑问。为了解决这个问题，我打算在课后设立一个疑问箱，鼓励同学们将不懂的问题写下来，我会一一解答。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解尾数的基本概念。尾数是数字的最后一位，它在数学运算中具有一定的性质和规律。尾数的性质可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析尾数的性质和规律，解决一个实际生活中的问题，如计算电话号码的尾数。
五、教学反思
在今天这节课中，我们探讨了尾数数问题。从同学们的反应来看，我发现他们在理解尾数的性质和规律方面存在一定的难度。在今后的教学中，我需要针对这一点进行改进和调整。
首先，我意识到在导入新课环节，通过提问的方式激发同学们的兴趣和好奇心是有效的。但在这个过程中，我应该更加关注学生的回答，及时给予反馈和引导，让他们更好地将生活实际与尾数问题联系起来。
其次，在新课讲授环节，我发现在讲解尾数性质和规律时，部分同学显得有些困惑。这可能是因为我讲解得不够详细，举例不够贴近生活。在以后的教学中，我会尽量用更生动的例子和简洁的语言来阐述这些概念，帮助学生更好地理解。
此外，实践活动环节，同学们分组讨论和实验操作的过程中，我注意到有的小组在讨论问题时，思路不够清晰。为了提高讨论效果，我应该在学生讨论前给出明确的指导，如提供讨论提纲或思考方向。同时，在实验操作环节，我要加强对学生的引导，确保他们能够正确地掌握尾数运算规律。

第6讲尾数和余数一、专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

二、精讲例题例题1写出除213后余3的全部两位数。

练习一1.写出除109后余4的全部两位数。

2.178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3.写出除1290后余3的全部三位数。

例题2（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？练习二1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？练习三1．24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？2．1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？3．94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？例题4把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？练习四1.把化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。

尾数和余数【名师解析】自然数末尾的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差。

尾数与余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起无从下手的问题。

【例题精讲】例1、写出除333后余3的全部两位数。

练习、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？例2、44344219519...999个⨯⨯⨯⨯积的个位数字是几？练习、 44434442161201161...616161个⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？例3、 64...4444100÷321个，当商是整数时，余数是多少？练习、1355 (5555)2001÷43421个，当商是整数时，余数是多少？例4、有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。

这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？练习、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。

在这一串数字中，第1991个数被3除，所得的余数是几？例5、已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。

（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？练习、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？例6、有一个自然数，用它分别去除70，98，143，都有余数（余数不为0），三个余数的和是25。

这个数是。

练习、有一个自然数，用它分别去除63，80，32都有余数，得到的三个余数的和是10,这个数是。

【选讲】有一个（大于1）数，除122，148，187得到相同的余数，这个数是 。

练习、某个大于1的自然数分别去除442，297，210得到相同的余数，则该自然数是 。

【综合精练】1、写出除349后余4的全部两位数。

2、写出除1095后余3的全部三位数。

一、带余除法的定义及性质1、 定义：一般地,如果a 是整数,b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ,也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小. 2、 余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16＝39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2. 余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23－16＝7除以5的余数等于2,两个余数差3 －1知识框架余数问题＝2.当余数的差不够减时时,补上除数再减.例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23－14＝9除以5的余数等于4,两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1＝3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同,那么n a与n b除以m的余数也相同．三、弃九法原理在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的.但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题.四、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.2、重要性质及推论：（1）若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2,所以1711（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．1)整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；2)整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；3)整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；4)整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；5)整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；6)整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数．重难点理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了例题精讲【例 1】1013除以一个两位数,余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【例 2】有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍.且这个三位数除以5余4,除以11余3.这个三位数是_【巩固】一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________.【例 3】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数．【巩固】当1991和1769除以某个自然数n,余数分别为2和1．那么,n最小是多少？【例 1】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【巩固】1996777777 个除以41的余数是多少？【例 4】 著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】 有一列数：1,3,9,25,69,189,517,…其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1,那么这列数中的第2008个数除以6,得到的余数是 ．【例 5】 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A ＝13579111315171921……9799101103.则数a 共有_____位,数a 除以9的余数是___.【巩固】将12345678910111213......依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以9的余数是________．【例 6】有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________．【例 7】在图表的第二行中,恰好填上8998～这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【巩固】求478296351⨯⨯除以17的余数．【例 8】求1~2008的所有自然数中,有多少个整数a使2a与2a被7除余数相同？【巩固】今天是星期四,100010天之后将是星期几？【例 9】 2008222008+除以7的余数是多少？【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【例 10】 3个三位数乘积的算式234235286abc bca cab ⨯⨯= (其中a b c >>), 在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的abc 是多少？【巩固】有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和.【例 11】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.【巩固】有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33．求这个数是多少？【例 12】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.【巩固】有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.问这个整数是几?【例 13】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a 、2a、a,求这个自然数和a的值.【巩固】有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.【例 14】一个大于10的自然数,除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？【巩固】 一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？【随练1】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍,那么除数最小可能是 .【随练2】199566666667 个的余数是多少？课堂检测【随练3】有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么第1997个数被3除所得的余数是多少？【随练4】商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【随练5】求19973的最后两位数．家庭作业【作业1】在大于2009的自然数中,被57除后,商与余数相等的数共有______个.【作业2】 有三个自然数a ,b ,c ,已知b 除以a ,得商3余3；c 除以a ,得商9余11.则c 除以b ,得到的余数是 .【作业3】 有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少？【作业4】 已知20082008200820082008a 个,问：a 除以13所得的余数是多少？【作业5】有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够．问：第二组有多少人?【作业6】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)【作业7】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【作业8】12342005+++++除以10所得的余数为多少？12342005【作业9】设20092009的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,C的各位数字之和为D,那么D【作业10】在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．。

五年级奥数——尾数和余数(总3
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第七讲 尾数和余数
例1、20122的个位数字是几？
练习：1、
9
519999999个⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几？
2、第6周举一反三2第2题。

例2、2019321⨯⨯⨯⨯ 的积的尾数是几？
练习：3、1089848382818⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的积的尾数是几？
4、求 4
.01002.1960.40.40.4－2.12.12.1个个⨯⨯⨯⨯⨯⨯的差的尾数。

例3、788888
100÷
个，当商是整数时，余数是几？
练习：5、第6周举一反三3第2题。

例4、有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。

这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？
练习：6、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，…，按此列数的规律，这列数中的第1996个数除以5，余数是几？
例5、甲数除以8余7，乙数除以8余6，丙数除以8余5，那么（甲+乙+丙）÷8的余数是几？
练习：7、第6周举一反三5第1题。

8、第6周举一反三5第3题。

作业（1题，2题必做，3题选做）：
1、
)
1811(11518)(1118)(1118)(11⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个的积的尾数是多少？
2、6111111
1111÷
个，当商是整数时，余数是几？
3、求102101100432++的和的个位数字。

第六讲、数论专题（一）知识点：1、整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或吧，能整除a，记b∣a2、整除的性质：⑴如果a与b都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除⑵如果a与b的积能整除c，则a与b都能整除c⑶如果a与b都能整除c，且a与b互质，那么a与b的积也能整除c⑷如果a能整除b，b能整除c，那么a能整除c⑸1能整除任意整数，任意非0整数都能整除03、特殊数的整除特征：⑴2,5⑵3,9⑶4,25⑷8,125⑸7,11,13⑹114、约数个数的计算：指数加1的乘积例：24×53的约数个数是（4+1）×（3+1）=20（个）5、最大公因数、最小公倍数表示法：（A，B）最大公因数[A，B] 最小公倍数A×B=（A,B)×[A，B]6、同余：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b模m同余，记a≡b（modm）7、同余的性质⑴若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）⑵若a≡b（modm），c≡d（modm），则a ±c≡b±c（modm），ac≡bd（modm）⑶若ac≡bc（modm）且（c，m）=1，则a≡b（modm）8、特殊数求余⑴尾数判断法：一个数除以2,5的余数，与它的末一位除以2或5的余数相同。

一个数除以4,25的余数，与它的末两位除以4或25的余数相同一个数除以8,125的余数，与它的末三位除以8或125的余数相同⑵数字求和法一个数除以3,9的余数，与它的各位数字之和除以3,9的余数相同⑶奇偶位求差法一个数除以11的余数，与它的“奇位数字和”减去“偶数位数字和”的差除以11的余数相同⑷分段判断法：一个数除以7,11,13的余数，与它从右向左每三位一分段，奇数段的和减去偶数段的和除以7,11,13的余数相同。

例1、将1，2,3...依次写下去组成一个数12345678910111213……，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么最后写出的自然数时多少？练1、小明和小刚做一个数学游戏，两人在黑板上轮流写下从1开始的连续自然数：1,2,3，......，小明先写然后依次写下去，写在黑板上的数组成了一个多位数1234567891011......两人约定，若有人写到某个自然数时，黑板上的数所组成的多位数第一次为90的倍数，游戏结束，并算此人获胜。