第六讲 尾数和余数

【尾数和余数】人的目标是走得远，飞得更高。

自然数的末尾的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

【王牌例题1】写出除333后余3的全部两位数。

【思路导航】因为333=330+3，把330分解质因数：330=2×3×5×11,所以符合题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11一共有8个两位数。

【第一层】1.317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？NO.1遵从你内心的热情选择做对你有意义并且能让你快乐的事情，不要只是为了轻松而选择，或选择只是别人认为你应该做的事。

【思路导航】（1）一个9的积个位数字是9；两个9相乘，积的个位数字是1；三个9相乘，积的个位数字是9，以此类推，个位数字按“9,1”两个数字不断重复，那么共有51/2=25......1，共有25个循环，余1。

则最后的个位数字应该是9。

(2)小数乘法运算，开始不考虑小数点，所以在此也不考虑小数点。

一个3的积，个位数字是3；两个3相乘，积的个位数是9；三个3相乘，积的个位数字是7；四个3相乘，积的个位数字是1。

以此类推，个位数字按“3,9,7,1”重复出现。

那么共有204/4=51个循环，最后一个尾数是1。

1001个25相乘，因为无论多少个5相乘，尾数都是5。

所以前后两部分相乘，尾数应是1X5=5（1）一个9的积个位数字是9；两个9相乘，积的个位数字是1；三个9相乘，积的个位数字是9，以此类推，个位数字按“9,1”两个数字不断重复，那么共有51/2=25......1，共有25个循环，余1。

则最后的个位数字应该是9。

(2)小数乘法运算，开始不考虑小数点，所以在此也不考虑小数点。

一个3的积，个位数字是3；两个3相乘，积的个位数是9；三个3相乘，积的个位数字是7；四个3相乘，积的个位数字是1。

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

第6周尾数和余数专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

例题1 写出除213后余3的全部两位数。

分析因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。

练习一1，写出除109后余4的全部两位数。

2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3，写出除1290后余3的全部三位数。

例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。

因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。

练习二1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。

第 6 讲尾数和余数一、知要点自然数末位的数字称自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫做余数。

尾数和余数在运算是有律可的，利用种律能解决一些看起来无从下手的。

二、精精【例 1】写出除 213 后余 3 的全部两位数【思路航】因 213=210＋ 3. 把 210 分解因数： 210=2× 3× 5× 7，所以，符号目要求的两位数有 2×5=10，2× 7=14，3× 5=15，3× 7=21.5 × 7=35，2× 3× 5=30，2× 3×7=42. 一共有 7 个两位数。

1：1.写出除 109 后余 4 的全部两位数。

2.178 除以一个两位数后余数是3. 适合条件的两位数有哪些？3.写出除 1290 后余 3 的全部三位数。

【例 2】（ 1） 125× 125×125×⋯⋯× 125[100 个 125] 的尾数是几？（ 2）（ 21× 26）×（ 21× 26）×⋯⋯×（ 21× 26）[100 个（ 21× 26） ] 的尾数是几？【思路航】（ 1）因个位 5 乘 5，的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个位是5；（ 2）每个括号里21 乘 26 的个位是就行了。

因个位 6 乘 6，的个位仍然是6，我只要分析100 个 6 相乘，的尾数是几6，所以不管多少个（21×26）乘，的个位是6。

2：1.21 ×21× 21×⋯⋯× 21[50 个 21] 的尾数是几？2.1.5 × 1.5 ×1.5 ×⋯⋯× 1.5[200 个 1.5] 的尾数是几？3.（ 12× 63）×（ 12× 63）×（ 12×63）×⋯⋯×（ 12× 63） [1000 个（ 12× 63） ]的尾数是几？【例 3】（ 1） 4×4× 4×⋯× 4[50 个 4] 的个位数是几？（ 2） 9×9× 9×⋯× 9[51 个 9] 的个位数是几？【思路航】（ 1）我先列前几个 4 的，看看个位数在怎化， 1 个 4 个位就是4；4× 4 的个位是 6；4×4× 4 的个位是 4；4×4× 4× 4 的个位是 6⋯⋯由此可，的尾数以“ 4， 6”两个数字在不断重复出。

第十二讲 尾数与余数【故事小家园】有一天，森林里面来了一群特殊的“客人”。

它们长相很特别，动物们都很奇怪，要求他们一一介绍自己。

第一个走出来一个瘦子，它说：“我是1，像支铅笔细又长”。

接着又走出一个说：“我是2，像只小鸭水上飘。

”第三个说“我是3，像只耳朵听声音。

”“我是4，像面小旗随风飘。

”“我是5，像支衣钩挂衣帽。

”“我是6，像棵豆芽咧嘴笑。

”“我是7，像把镰刀割青草。

”“我是8，像支麻花拧一道。

”“我是9，像把勺子能盛饭。

”“我是0，像个鸡蛋做蛋糕。

”他们刚介绍完了，小鹿又问道”你们中间谁最大？谁最小呢？”9站出来，很骄傲地说“我是9，我最大。

” 0耷拉着脑袋说“我最小。

”“对，就是这个表示什么都没有的0。

”9用冷淡的口气说道。

9刚说完，动物们和它的数字兄弟都笑了。

0更加不好意思了，动物们看到0这么没有用，都不愿意和它一起玩。

它们在一起唱呀！跳呀！非常开心。

突然一只大象不小心掉进一个洞里面，洞很深，又很黑，大象在里面挣扎了很久，用了很大的力气总想爬上来，它爬呀爬累得满头大汗，腿也挂破了，鲜血直流。

可是，怎么也爬不上来，它只好在里面大声喊“救命呀！救命呀！”动物们听到了，就纷纷跑到洞口边，想把大象救出来。

数字1到9也来帮忙了。

他们组成最大的数字987654321，显示了最大的力量，费了九牛二虎之力，也没有把大象拉上来。

这个时候，只听见后面有一个微弱的声音说道“我也来试试。

”它们一看是0，就勉强的同意它也来帮忙。

它们重新组成数字9876543210，它们的力量一下子就增大10倍。

哈哈……，一下子就把大象拉上来了。

动物们都很感谢数字兄弟，同时也为冷落了0感到愧疚，它们都来到0的身边，愿意和0做朋友。

数字兄弟也开始重视0了，愿意和它一起玩耍。

从此以后，0再也不自卑了，它觉得自己还是很有用的。

【探索者之旅】【例1】（1）200125125125125......125⨯⨯⨯⨯14444444444244444444443个积的尾数是几？（2）2001116111611161116)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 144444444424444444443个（）（）（）（积的尾数是几？ 解析：（1）因为个位5乘以5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5。

第6讲尾数和余数一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

二、精讲精练【例题1】写出除213后余3的全部两位数。

【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。

练习1：1.写出除109后余4的全部两位数。

2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。

因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。

练习2：1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。

第6讲尾数和余数一、专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

二、精讲例题例题1写出除213后余3的全部两位数。

练习一1.写出除109后余4的全部两位数。

2.178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3.写出除1290后余3的全部三位数。

例题2（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？练习二1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？练习三1．24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？2．1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？3．94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？例题4把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？练习四1.把化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。