尾数与余数

尾数与余数自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

一、尾数乘方问题1. 尾数规律57+48的和的尾数，就是 的和的尾数几个自然数的和的尾数等于这几个自然数的个位数的和的尾数。

87-45的差的尾数，就是 的差的尾数几个自然数的差的尾数等于这几个自然数的个位数的差的尾数。

16×43的积的尾数，就是 的积的尾数几个自然数的积的尾数等于这几个自然数的个位数的积的尾数。

规律1：几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数。

2. 乘方求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

其中，a 叫做底数，n 叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可读作“a 的n 次幂”。

3. 乘方尾数规律尾数变化规律（n 为正整数）：（1）2n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：2，4，8，6；（2）3n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：3，9，7，1；（3）4n 的尾数是以“2”为周期循环变化，分别为：4，6；（4）0 n 、1n 、5n 和6n 的尾数分别是常数0、1、5和6；（5）7n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：7，9，3，1；（6）8n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：8，4，2，6；（7）9n 的尾数是以“2”为周期循环变化，分别为：9，1。

规律2：一个自然数的平方的尾数只能是0、1、4、5、6、9这六个数。

计算尾数：底数留个位；指数除以周期留余数；周期为4：指数末两位除以4留余数。

例1：求 1111332211⨯⨯⨯⨯ 的尾数。

例2： 126+237+348+459的和是不是5的倍数？例3：求31998⨯51999 ⨯72000 的尾数？例4：求941997- 51998 - 71999的个位数字是几？练习：1.22007+32008+42009的个位数是多少？A．1 B．3 C．7 D．92.12007+32007+52007+72007+92007的值的个位数是：A．5 B．6 C．8 D．93.19991998的末位数字是：A．1 B．3 C．7 D．94.19981999＋19991998的尾数是：A．3 B．6 C．7 D．95.20082008+20092009的个位数是：A．3 B．5 C．7 D．9二、余数的那些事儿1．余数小于除数2．带余除法：被除数＝除数×商＋余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数3. 如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

分类数图形、尾数和余数分类数图形专题简析：我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。

但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。

分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。

例题1 下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。

因此图中共有18＋10＋4=32个正方形。

练习一1，下图中共有多少个正方形？2，下图中共有多少个正方形？3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？例题2 下图中共有多少个三角形？分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。

练习二1，下面图中共有多少个三角形？2，数一数，图中共有多少个三角形。

3，数一数，图中共有多少个三角形？例题3 数出下图中所有三角形的个数。

分析和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。

练习三数出下面图形中分别有多少个三角形。

例题4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间还可围成2个正方形。

所以共有6＋2＋2=10个。

练习四1，下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？2，下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？3，下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？例题5 数一数，下图中共有多少个三角形？分析我们可以分类来数：1，单一的小三角形有16个；2，两个小三角形组合的有10个；3，四个小三角形组合的有8个；4，八个小三角形组合的有2个。

第28讲尾数和余数学生姓名：【专题精华】在学习有关“数与代数”方面的知识时，我们常把自然数末位的数字称为自然数的尾数，除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算中是有规律可寻的，熟练地掌握并利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

【教材深化】[题1]47×47×47×……×47积的尾数是几？100个47〈敏捷思维〉若干个自然数的积的尾数，等于这若干个自然数尾数之积的尾数，100个47的连乘积的尾数等于100个7的连乘积的尾数。

〈全解〉我们先列举前几个7的积，看看尾数在怎样变化，1个7的尾数就是7；7×7的尾数就是9；7×7×7的尾数就是3；7×7×7×7的尾数是1；7×7×7×7×7的尾数是7……，由此可见，积的尾数以“7、9、3、1”四个数字在不断重复出现，100÷4=25，没有余数，说明100个7相乘，积的尾数是1。

〈拓展探究〉一个自然数的n次方的尾数等于它的尾数的n次方的尾数，而且一个自然数的n次方的尾数是有规律可循的。

[能力冲浪]1、34×34×34×34×……×34积的尾数是几？2007个342、自然数2×2×……×2-1的尾数是几？67个23、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）积的尾数是几？100个（21×26）[题2] 求32006+42007+52008的尾数是几？〈敏捷思维〉先分别求出32006，42007，52008的尾数是几，然后再将尾数相加，最后看和的尾数是几就行了。

〈全解〉因为3n的尾数是以“3、9、7、1”四个数字循环的，2006÷4=501……2，所以32006的尾数是9。

尾数和余数自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的。

利用这种规律就能解决一些看似无从下手的问题。

自然数的尾数和余数分别有如下性质：1.几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数。

2.几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。

3.几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数，所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的。

例一不做乘法运算，求：（1）5×5×5×······×5的尾数10个5（2）16×16×16×······×16的尾数10个16例二（1）4×4×4×······×4积的个位数是几？10个4（2）9×9×9×······×9积的个位数是几？11个9例三（1）求2×2×2×······×2积的尾数是几？20个2（2）7×7×7×······×7积的尾数是几？22个7例四（1）23×23×23×······×23×18×18×·····×18的个位数是几？2000个23 2001个18（2）23×23×23×······×23+18×18×·····×18的个位数是几？2000个23 2001个18(3) 2.3×2.3×2.3×······×2.3－0.8×0.8×·····×0.8的个位数是几？2000个2.3 2001个0.8例五（1）5555······5÷3，当商是整数时，余数是几？100个5（2）5555······5÷6，当商是整数时，余数是几？100个5例六甲数除以7余5，乙数除以7余4。

尾数和余数例1 写出除333后余3的全部两位数练习：1、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？2、写出除349后余4的全部两位数3、写出除1095后余3的全部三位数例2（1）9×9×9×9×9×9×9×…×9积的个位数字是几？51个9（2）0.3×0.3×…×0.3×25×25×25×25×…25积的尾数是几？204个0.3 1001个25练习：1、61×61×61×…61积的尾数是几？2011个2、（31×36）×（31×36）×…（31×36）积的尾数是几？51个（31×36）3、9×9×9×9×9×…×9积的个位数字是几？91个9例3 4444…4÷6，当商是整数时，余数是几？100个4练习：1、5555…55÷13，当商是整数时，余数是几？2001个52、下面各小题中，当商是整数时，余数是几？（1）666…6÷4 （2）4444…4÷7450个6 1000个41化成小数，那么小数点后面100位上的数字是多少？3、把7例4 有一列数，前两个数是3和4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，这一列数中的第2001个数除以4，余数是多少?练习：1、有一串数排成一排，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，在这一串中，第1991个数被3除，所得的余数是几？2、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，…。

这一列数的规律是第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，以此类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？3、有一串数5,8,13,21,34,55,89，…。

尾数与余数1. 21×21×21×…×21[50个21]积的尾数是几？2. 961999个⨯⨯⨯ 积的尾数是多少？3. 4710047474747个⨯⨯⨯⨯ 积的尾数是几？4. 1.5×1.5×1.5×…×1.5[200个1.5]积的尾数是几？5. （12×63）×（12×63）×（12×63）×…×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？6. 24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？7. 1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？8. 94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？9. 写出除109后余4的全部两位数。

10. 把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。

11. 5÷7商的小数点后面第2000个数字是几？12. 20022002的个位数字是几？13. 20032003的个位数字是几？14. 求200820072006543++的和的尾数是几？15. 求2004200320022001200098765++++的尾数16. 求238454647⨯⨯的尾数是多少？17. 4320022002-一定是5的倍数吗18. 自然数2221672⨯⨯⨯-……个连乘 的个位数字是多少？19. 1333332007-⨯⨯⨯⨯个 的个位数字是多少？20. 1991个1991相乘所得的积，末两位数字是几？21. 324个324相乘所得的积，末两位数字是多少？22. 7666662007÷个 ，余数是几？23. 688888100÷个 ，余数是几？24. 721994÷，余数是几？25. 178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？26. 写出除1290后余3的全部三位数。

分类数图形、尾数和余数分类数图形专题简析：我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。

分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。

例题1下面图形中有多少个正方形?分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有3=18个，2X2的正方形有5X 2=10个，3X 3的正方形有4X仁4个。

共有18+10 + 4=32个正方形。

练习一3,下图中共有多少个正方形，多少个三角形?6X因此图中1,下图中共有多少个正方形?例题2下图中共有多少个三角形?分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6+3+4+仁14个三角形。

练习二1, 下面图中共有多少个三角形？3,数一数，图中共有多少个三角形?例题3数出下图中所有三角形的个数。

分析和三角形AFG —样形状的三角形有5个；和三角形ABF—样形状的三角形有10个；和三角形ABG-样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD H样形状的三角形有5个，共35个三角形。

练习三数出下面图形中分别有多少个三角形例题4如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形, 这样的正方形有多少个?分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出:（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间还可围成2个正方形。

所以共有6+2+ 2=10个。

练习四1, 下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？•••・•••・2, 下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形?3, 下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？例题5数一数，下图中共有多少个三角形?1, 单一的小三角形有16个；2, 两个小三角形组合的有10个；3, 四个小三角形组合的有8个；4，八个小三角形组合的有2个。

第6讲尾数和余数一、专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

二、精讲例题例题1写出除213后余3的全部两位数。

练习一1.写出除109后余4的全部两位数。

2.178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3.写出除1290后余3的全部三位数。

例题2（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？练习二1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？练习三1．24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？2．1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？3．94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？例题4把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？练习四1.把化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。