下载文档原格式
1. 学会尾数判断法；2. 学会数字和判断法。
1. 尾数判断法（1）能被2, 5整除的数的特征：看个位。
如果一个数的个位能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。
（2）能被4, 25整除的数的特征：看末两位。
如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
（3）能被8, 125整除的数的特征：看末三位。
如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
2. 求和判断法能被4, 25整除的数的特征：如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除。
3. 同时满足多个数方法：逐一满足【例 1】 下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？（2）哪些能被4整除？哪些能被25整除？（3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？（4）这些数除以4的余数分别是多少？【例 2】（1）修改5679中的一个数字，使这个四位数能被5整除，修改后的四位数是多少？（2）修改675479中的一个数字，使这个六位数能被25整除，修改后的六位数是多少？第八讲 整除特征初步例题精讲知识点拨教学目标()【巩固】（1）修改34575中的一个数字，使这个五位数能被4整除，修改后的五位数是多少？（2）修改675447中的一个数字，使这个六位数能被8整除，修改后的六位数是多少？【例 3】有六个自然数：5762；3105；9631；7953；2945；3281（1）哪些能被3整除？不能被3整除的余数分别是多少？（2）哪些能被9整除？不能被9整除的余数分别是多少？【例 4】AA能被3整除，求A。
（1）四位数31AA能被9整除，求A。
（2）五位数232【巩固】下面每个数中的字母分别是多少时，这个数能被3整除？都有哪些填法呢？B563C618D162A541【例 5】在下面每个数的□里填上一个数字，使它符合所提要求。
（1）能被2整除，又能被3整除。
尾数和余数准备题：1、“开放的北京盼奥运开放的北京盼奥运……”像这样依次写下去，第2008个字是什么字？2、有一列数：7，3，4，6，7，3，4，6……(1)第150个数是多少？（2）这150个数相加的和是多少？[例1]写出除213后余3的全部两位数。
练一练：写出除109后余4的全部两位数。
[例2](1)125×125×125×……×125（100个125）积的尾数是几？(2)9×9×9×……×9（51个9）积的个位数字是几？（3）23×23×23×……×23×18×18×18×……×18的个位数字是几？2000个23 2001个18练一练：1、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）〔100个（21×26）〕积的尾数是几？2、4×4×4×……×4积的个位数字是几？50个4[例3]444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？练一练：1、555……55（2001个5）÷13，当商是整数时，余数是几？2、888……8（80个8）÷7，当商是整数时，余数是多少？[例4]甲数除以9余7，乙数除以9余5。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？练一练：甲数除以5余3，乙数除以5余2，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几?甲、乙两数的积除以5余数是几？感谢您的阅读，祝您生活愉快。
1、小升初金牌奥数：尾数和余数（小升初必考题型）1、教学导如入：估值的意义与方法及思想的引入。
2、知识回顾：3、巩固练习（4题）1、1x1=1，所以尾数是1的数相乘，无论是多少，无论是多少个，积的尾数肯定是1，同样5x5=25，积的尾数肯定是5；6x6=36，积的尾数肯定6.积的尾数，商的小数部分等会出现循环现象，我们称作“周期问题”例如：。
例题一：1、125x125x125x。
125一共是200个125相乘，乘积的尾数是几？2、（11x16）x（11x16）x（11x16）。
x（11x16），一共是200个（11 x16）积的尾数是几？过手训练：61x61 x61。
x61，20个61相乘，积的尾数是几？例题二：1、4 x4 x4 x4。
x4 x4，60个4相乘，积的个数是几？2、9 x9 x9 x9.。
x9，61个9相乘，积的个位数是几？过手训练：24x24 x24.。
x24，2005个24相乘，积的尾数是几？3、写出除以213后余数是3的全部两位数是那些？过手训练：写出除以109后余数是4的全部两位数。
例题四：3÷7商的小数点后面第2005个数字是几？例题五：20022002的个位数字是几？过手训练：20032003的个位数字是几？例题六：有一串数字排成一行，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是两个数的和，他们是：5，8，13，21，34，55，89，。
那么，在这一串数中，第2004个数被3除后所得的余数是几？过手训练：有一串数排成一行，其中第一个数是4，第二数是5，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，他们是：4，5，9，14，23，37，60，97，157，那么在这一串数中，第1000个数被3除后所得的余数是几？例题七：按连写100个12得一个自然数： 位20012......121212这个数除以13余数是几？过手训练： 5200155.55555个。
目录第1讲小数的运算技巧（一） (2)第2讲小数的运算技巧（二） (6)第3讲相遇问题（二） (11)第4讲平均数应用题 (15)第5讲尾数与余数问题 (19)第6讲包含与排除 (23)第7讲解方程 (27)第8讲列方程解决问题（一） (31)第9讲列方程解决问题（二） (35)第10讲基本图形的面积 (39)第11讲组合图形的面积（一） (43)第12讲组合图形的面积（二） (47)第1讲小数的运算技巧（一）【知识要点】小数运算中常运用的技巧有：（1）等积变形：（运用一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的性质，可以把几个因数化成相同的数来计算）（2）凑整与拆分；（3）分组与重新组合；（4）乘法分配律及其反用；（5）商不变的性质；（6）用字母代替数字，即代换法。
【例题精讲】例1、计算：0.79×0.46+ 7.9×0.24+11.4×0.079例2、计算：7.5×23+31×2.5例3、计算：（3.6×0.75×1.2）÷（1.5×24×0.18）例4、计算：3.6×42.3÷0.9－12.5×0.423×16例5、计算：(1 + 2.3 + 3.4) ×(2.3 + 3.4 + 6.5)-(1 + 2.3 + 3.4 + 6.5) ×(2.3 + 3.4) 例6、计算： 0.1949×0.19951995－0.1995×0.19491949【基础夯实】1、计算： 7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×7242、计算：3.7×15+21×4.53、计算：1）0.9999×0.7+0.1111×2.7 2）99.9 ×22.2+ 33.3×33.44、计算：（3.4×4.8×9.5）÷（1.9×17×2.4）5、(1 + 1.7 + 1.9) × (1.7 + 1.9 + 9.2) - (1 + 1.7 + 1.9 + 9.2) × (1.7 + 1.9)【能力提升】1、大小两数的差是7.02，较小数的小数点向右移动一位就等于较大数，较大数是多少？2、两个数相加，小芳错算成相减了，结果得8. 6,比正确答案小10.4，原数中较大数是多少？3、比较下面两个积的大小A=5.4321×1.2345，B=5.4322×1.2344第二讲小数运算技巧（二）【巩固旧知】1、计算：0.9+9.9+99.9+999.9+9999.92、计算：19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82【例题精讲】例1、计算：0.11+0.13+0.15+0.17+……+0.97+0.99例2、一个物体从空中落下来，经过4秒钟落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体在下落前距地面多少米？例3、计算：(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(100+1.2×100) 例4、计算：1.999×2003－1.998×2004【基础夯实】1、计算：0.1+0.13+0.16+0.19+...+0.97+12、计算：(1-0.1)+(2-0.2)+(3-0.3)+…+(9-0.9)+(10-1)3、一个物体从空中落下来，第一秒钟下落2.5米，以后每秒多下落9.9米，经过10秒钟落到地面，问物体原来离地面多高？4、12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12 +91.235、小王和小明两人比赛赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。
课题奥数“尾数与余数授课时间：5.29 备课时间： 5.25教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题一.写出除333后余3的全部两位数。
思路导航：因为333=330＋3，把330分解质因数：330=2×3×5×11，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11，一共有8个两位数。
例题二. (1）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？(2）的积的尾数是几？思路导航：(1）我们先列举前几个９相乘的积，看看个位数在怎样变化，1个９个位就是９；９×９的个位是１；９×９×９的个位是９；９×９×９×９的个位是１……由此可见，积的尾数以“１，９”两个数字在不断重复出现。
51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
（2）小数乘法的运算，暂时不考虑小数点。
一个３的积，个位数字是３，两个３相乘，积的个位数字是９，三个３相乘，积的个位数字是７，四个３相乘，积的个位数字是１.以此类推，个位数字出现的规律是按“3、9、7、1”的顺序重复。
那么共有204÷4＝51个循环，最后一个尾数是１.所以前后两部分相乘，尾数应是１×5=5例题三. 444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？思路导航：从竖式中的余数可以看出：每3个4组成的数被6整除。
尾数和余数例1 写出除333后余3的全部两位数练习：1、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？2、写出除349后余4的全部两位数3、写出除1095后余3的全部三位数例2（1）9×9×9×9×9×9×9×…×9积的个位数字是几？51个9（2）0.3×0.3×…×0.3×25×25×25×25×…25积的尾数是几？204个0.3 1001个25练习：1、61×61×61×…61积的尾数是几？2011个2、（31×36）×（31×36）×…（31×36）积的尾数是几？51个（31×36）3、9×9×9×9×9×…×9积的个位数字是几？91个9例3 4444…4÷6，当商是整数时，余数是几？100个4练习：1、5555…55÷13，当商是整数时，余数是几？2001个52、下面各小题中，当商是整数时，余数是几？（1）666…6÷4 （2）4444…4÷7450个6 1000个41化成小数，那么小数点后面100位上的数字是多少？3、把7例4 有一列数，前两个数是3和4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，这一列数中的第2001个数除以4，余数是多少?练习：1、有一串数排成一排，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，在这一串中，第1991个数被3除，所得的余数是几？2、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，…。
这一列数的规律是第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，以此类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？3、有一串数5,8,13,21,34,55,89，…。
尾数与余数1. 21×21×21×…×21[50个21]积的尾数是几？2. 961999个⨯⨯⨯ 积的尾数是多少？3. 4710047474747个⨯⨯⨯⨯ 积的尾数是几？4. 1.5×1.5×1.5×…×1.5[200个1.5]积的尾数是几？5. （12×63）×（12×63）×（12×63）×…×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？6. 24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？7. 1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？8. 94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？9. 写出除109后余4的全部两位数。
10. 把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
11. 5÷7商的小数点后面第2000个数字是几？12. 20022002的个位数字是几？13. 20032003的个位数字是几？14. 求200820072006543++的和的尾数是几？15. 求2004200320022001200098765++++的尾数16. 求238454647⨯⨯的尾数是多少？17. 4320022002-一定是5的倍数吗18. 自然数2221672⨯⨯⨯-……个连乘 的个位数字是多少？19. 1333332007-⨯⨯⨯⨯个 的个位数字是多少？20. 1991个1991相乘所得的积，末两位数字是几？21. 324个324相乘所得的积，末两位数字是多少？22. 7666662007÷个 ，余数是几？23. 688888100÷个 ，余数是几？24. 721994÷，余数是几？25. 178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？26. 写出除1290后余3的全部三位数。
余数问题求解技巧当我们进行数学运算时，有时候我们需要求解一个问题的余数。
余数是一个数字除以另一个数字所得到的剩下的部分。
在解决余数问题时，有一些技巧可以帮助我们更有效地解决问题。
1. 余数定义：余数是除法运算中除数除以被除数得到的剩余部分。
用数学符号表示，余数可以表示为：被除数= 除数×商 + 余数。
例如，当我们计算20除以3时，可以得到商为6，余数为2，即20 = 3 × 6 + 2。
2. 同余定理：同余定理指出，如果两个整数在除以一个正整数时具有相同的余数，那么这两个整数之差是这个正整数的倍数。
例如，如果a除以n的余数是r，b除以n 的余数也是r，那么就有a - b能够被n整除。
3. 整数相加求余：当我们面对两个整数相加并求余的问题时，可以先对两个整数分别求余，然后再相加，最后再对结果求余。
例如，求解(23 + 33) mod 5，先分别对23和33求余，得到3和3，然后再相加得到6，最后再对结果6求余得到1。
4. 余数的性质：余数具有一些特定的性质，可以用来简化问题。
例如，两个数的和的余数等于两个数分别取余后再相加的余数，即(a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n。
5. 除数的特殊取值：在解决求余的问题时，有时候除数的特殊取值可以帮助我们更快地得到答案。
例如，当除数是10的幂时，我们可以直接取被除数的末尾几位数作为余数。
例如，求解4357 mod 1000，我们可以直接取57作为余数。
6. 负数求余：当我们面对负数求余的问题时，可以先将负数转换为正数，然后再对正数求余，最后再将结果转换为负数。
例如，求解-25 mod 7，可以将-25转换为25，然后再对25求余，得到结果4，最后再将结果转换为负数-4。
7. 大数求余：当我们面对大数求余的问题时，直接使用除法运算可能会比较繁琐。
可以利用同余定理简化求余运算。
例如，求解1234567 mod 8，我们可以将1234567分解为(1200000 + 3000 + 400 + 60 + 7) mod 8，然后分别对每一项求余，得到(0 + 3 + 0 + 4 + 7) mod 8 = 14 mod 8 = 6。
第十二讲 尾数与余数【故事小家园】有一天，森林里面来了一群特殊的“客人”。
它们长相很特别，动物们都很奇怪，要求他们一一介绍自己。
第一个走出来一个瘦子，它说：“我是1，像支铅笔细又长”。
接着又走出一个说：“我是2，像只小鸭水上飘。
”第三个说“我是3，像只耳朵听声音。
”“我是4，像面小旗随风飘。
”“我是5，像支衣钩挂衣帽。
”“我是6，像棵豆芽咧嘴笑。
”“我是7，像把镰刀割青草。
”“我是8，像支麻花拧一道。
”“我是9，像把勺子能盛饭。
”“我是0，像个鸡蛋做蛋糕。
”他们刚介绍完了，小鹿又问道”你们中间谁最大？谁最小呢？”9站出来，很骄傲地说“我是9，我最大。
” 0耷拉着脑袋说“我最小。
”“对，就是这个表示什么都没有的0。
”9用冷淡的口气说道。
9刚说完，动物们和它的数字兄弟都笑了。
0更加不好意思了，动物们看到0这么没有用，都不愿意和它一起玩。
它们在一起唱呀！跳呀！非常开心。
突然一只大象不小心掉进一个洞里面，洞很深，又很黑，大象在里面挣扎了很久，用了很大的力气总想爬上来，它爬呀爬累得满头大汗，腿也挂破了，鲜血直流。
可是，怎么也爬不上来，它只好在里面大声喊“救命呀！救命呀！”动物们听到了，就纷纷跑到洞口边，想把大象救出来。
数字1到9也来帮忙了。
他们组成最大的数字987654321，显示了最大的力量，费了九牛二虎之力，也没有把大象拉上来。
这个时候，只听见后面有一个微弱的声音说道“我也来试试。
”它们一看是0，就勉强的同意它也来帮忙。
它们重新组成数字9876543210，它们的力量一下子就增大10倍。
哈哈……，一下子就把大象拉上来了。
动物们都很感谢数字兄弟，同时也为冷落了0感到愧疚，它们都来到0的身边，愿意和0做朋友。
数字兄弟也开始重视0了，愿意和它一起玩耍。
从此以后，0再也不自卑了，它觉得自己还是很有用的。
【探索者之旅】【例1】（1）200125125125125......125⨯⨯⨯⨯14444444444244444444443个积的尾数是几？（2）2001116111611161116)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 144444444424444444443个（）（）（）（积的尾数是几？ 解析：（1）因为个位5乘以5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5。
尾数和余数【名师解析】自然数末尾的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差。
尾数与余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起无从下手的问题。
【例题精讲】例1、写出除333后余3的全部两位数。
练习、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？例2、44344219519...999个⨯⨯⨯⨯积的个位数字是几？练习、 44434442161201161...616161个⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？例3、 64...4444100÷321个，当商是整数时，余数是多少？练习、1355 (5555)2001÷43421个，当商是整数时，余数是多少？例4、有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？练习、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这一串数字中，第1991个数被3除，所得的余数是几？例5、已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？练习、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？例6、有一个自然数，用它分别去除70，98，143，都有余数（余数不为0），三个余数的和是25。
这个数是。
练习、有一个自然数，用它分别去除63，80，32都有余数，得到的三个余数的和是10,这个数是。
【选讲】有一个（大于1）数，除122，148，187得到相同的余数，这个数是 。
练习、某个大于1的自然数分别去除442，297，210得到相同的余数，则该自然数是 。
【综合精练】1、写出除349后余4的全部两位数。
2、写出除1095后余3的全部三位数。
五年级奥数——尾数和余数(总3
页)
--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--
--内页可以根据需求调整合适字体及大小--
第七讲 尾数和余数
例1、20122的个位数字是几？
练习：1、
9
519999999个⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几？
2、第6周举一反三2第2题。
例2、2019321⨯⨯⨯⨯ 的积的尾数是几？
练习：3、1089848382818⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的积的尾数是几？
4、求 4
.01002.1960.40.40.4－2.12.12.1个个⨯⨯⨯⨯⨯⨯的差的尾数。
例3、788888
100÷
个，当商是整数时，余数是几？
练习：5、第6周举一反三3第2题。
例4、有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？
练习：6、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，…，按此列数的规律，这列数中的第1996个数除以5，余数是几？
例5、甲数除以8余7，乙数除以8余6，丙数除以8余5，那么（甲+乙+丙）÷8的余数是几？
练习：7、第6周举一反三5第1题。
8、第6周举一反三5第3题。
作业（1题，2题必做，3题选做）：
1、
)
1811(11518)(1118)(1118)(11⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个的积的尾数是多少？
2、6111111
1111÷
个，当商是整数时，余数是几？
3、求102101100432++的和的个位数字。
指点迷津自然数的尾数和余数分别有如下性质：1、几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数。
2、几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。
3、几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数,所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的。
1、用一个两位数除708，余数为43,那么这个两位数是多少?2、1991和1769除以某一个自然数a，余数分别为2和1,那么a最小是多少？2、东东在一次计算除法时,把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相等，那么此题中的除数是几？※4、两个数相除,商为15，余数是7，且被除数比除数大735,求被除数是多少?1、320063333个除以7，余数是多少？2、71007777个被13除后，余数是多少？3、9199799999个除以74的余数是多少/※4、整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以9,所有余数的和是_________.指点迷津自然数的尾数和余数分别有如下性质:4、几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数.5、几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。
6、几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数,所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的.1、自然数a除以13余6，自然数b除以13余12,那么a加b的和除以13余几？2、自然数a除以20的余数是7，自然数b除以20余数是7，那么a与b的差（大数减小数）除以20余数是多少？※3、试求一个四位数，它被131除的余数是112，被132除的余数是98,这个四位数是多少？1、138与1279的积被19除，余数是多少？135被13除的余数是多少？2、33、437×309×1999被7除的余数是多少？※4、20043＋2004除以7所的余数是___________.1、有一个不等于1的整数,除69、90、125得到的余数相同,那么这个整数是多少？2、自然数a除以13余7,自然数b除以13余7，已知a＞b，那么，a减b的差除以13，余数是多少?A加b的和除以13，余数是多少？a乘b的积除以13，余数是多少？※3、53、27和42三个数被同一个数去除，所得的商的和是9,余数和是4,求它们各自的商和余数？1、有一个质数，用它分别去除63、91、129都有余数，三个余数的和是28，问这三个余数中最小的一个是几？2、学校买来《习作选》240本《趣味数学》201本，《科技》149本，如果将每种书平均分给每个班，那么三种书剩的本数相同,如果有1999本书平均分给这些班级,会剩下多少本？※3、有9个袋子分别装有9、12、14、16、18、21、24、25、28只球,若甲取走若干袋，乙取走若干袋，最后剩下一袋,已知甲取走的球数总和是乙的2倍,问剩下的一袋内装有几只球？1、1993100除以3的余数是多少？2、一个数被7除，余数是3,该数的13倍被7除，余数是多少？3、有一个三位数，在其后面补上三个数字，使之变成一个六位数，用这个六位数减去原来的三位数,结果是8826487,你能求出补上的三个数字组成的三位数是多少吗？※4、的余数是几？除以＋＋＋＋＋＋3984321984322。
