第一方案 高三一轮复习(文理通用)第四章 三角函数、解三角形第四节 三角函数的图象与性质

§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制

(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad，

1 rad＝180π°.

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．

三个三角函数的初步性质如下表：

4.三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.

三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为

余弦线；有向线段AT为正切线

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )

(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( )

(3)角α终边上点P的坐标为－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么sin α＝y0，cos α＝x0.( )

学必求其心得，业必贵于专精

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B，C所对的边分别是a,b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理 正弦定理 余弦定理

内容 asin A＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C

变形 （1）a＝2Rsin A，

b＝2Rsin B，

c＝2Rsin C； cos A＝错误!;

cos B＝错误!； 学必求其心得，业必贵于专精 (2）sin A＝a2R，sin B＝错误!,sin C＝错误!;

(3)a∶b∶c＝sin

A∶sin B∶sin C；

(4）asin B＝bsin A，

bsin C＝csin B，

asin C＝csin A cos C＝a2＋b2－c22ab

2。在△ABC中，已知a、b和A时,解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin A bsin

A

解的个数 一解 两解 一解 一解

学必求其心得，业必贵于专精

3.三角形常用面积公式

(1)S＝错误!a·ha(ha表示边a上的高)；

(2）S＝错误!absin C＝错误!acsin B＝错误!bcsin A；

（3）S＝12r(a＋b＋c）(r为三角形内切圆半径）．

【知识拓展】

1．三角形内角和定理：

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

变形：错误!＝错误!－错误!。

2．三角形中的三角函数关系

(1）sin(A＋B）＝sin C；（2)cos（A＋B)＝－cos C；

（3)sin 错误!＝cos 错误!；(4）cos 错误!＝sin 错误!.

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A；

c＝bcos A＋acos B.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×") 学必求其心得，业必贵于专精

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把握三角函数与解三角形中的最值问题

微点聚焦突破

类型一 三角函数的最值

角度1 可化为“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题

【例1－1】 如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。

（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;

（2）求△MAB面积的最大值.

解 （1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，

所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，

所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。

(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，

S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB

＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!

＝2错误!sin错误!－错误!，

因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，

所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。

思维升华 化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别2021案含解析新人教A版

注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.

角度2 可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题

【例1－2】 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.

解析 y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。

答案 错误!

思维升华 可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。

【训练1】 （1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.

1 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质习题 理

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基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1.(2016·徐州检测)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是________.

解析 当kπ－π2＜2x－π3＜kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝tan2x－π3单调递增，解得kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数y＝tan2x－π3的单调递增区间是kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z).

答案 kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)

2.已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________.

解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin2x－π6，那么当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，

所以－12≤sin2x－π6≤1，故f(x)∈－32，3.

答案 －32，3

3.(2015·云南统一检测)已知函数f(x)＝cos23x－12，则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________.

解析 因为f(x)＝1＋cos 6x2－12＝12cos 6x，所以最小正周期T＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T2＝π6.

答案 π6

4.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________. 2 解析 由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π

＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，