第2讲 与圆有关的比例线段(学生版)

圆中的最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”(又称“阿波罗尼斯圆”)是一个重要的考点。

这类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想，并且在各类考试中通常都被视为高档题。

为了帮助学生更好地理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学生能够熟练掌握并灵活应用。

目录例题讲模型 1模型1.阿氏圆模型 1习题练模型 12例题讲模型模型1.阿氏圆模型动点到两定点距离之比为定值(即：平面上两点A、B，动点P满足P A/PB=k(k为常数，且k≠1))，那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB(即OPOB=k)，连接P A、PB，则当“P A+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r(即OCOP=k)，∵OPOB=k，∴OPOB=OCOP，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴PCPB=k，即k·PB=PC。

故本题求“P A+k·PB”的最小值可以转化为“P A+PC”的最小值。

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“P A+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点(系数小于1)；点在圆内：向外取点(系数大于1)；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．1.(2024·浙江·校考一模)如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，则22PD+PC的最小值为．【答案】34 2【分析】连接OD，先利用勾股定理求得OD=2，∠AOD=45°，在OD上截取OI=22，过I作IH⊥AB于H，IG⊥BC于G，求得BG=IH=12，IG=BH=32，CG=52，进而求得CI=342，证明△POI∽△DOP求得PI=22PD，利用两点之间线段最短得到22PD+PC=PI+PC≥IC，当C、P、I共线时取等号，即可求解．【详解】解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，AB=2，∴OA=OB=1，∵在Rt△AOD中，OA=AD=1，∴OD=AD2+OA2=2，∠AOD=45°，在OD上截取OI=22，过I作IH⊥AB于H，IG⊥BC于G，连接IP、IC，∴四边形IHBG是矩形，IH=OH=22OI=12，∴BG=IH=12，IG=BH=OH+OB=32，∴CG=BC-BG=3-12=52，在Rt△CIG中，CI=IG2+CG2=32 2+52 2=342，∵OI OP =OPOD=22，∠POD是公共角，∴△POI∽△DOP，∴PIPD=OPOD=22，则PI=22PD，∴22PD+PC=PI+PC≥IC，当C、P、I共线时取等号，故22PD+PC的最小值为CI=342，故答案为：342．2.(2024·湖北·九年级专题练习)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为．【答案】5【详解】分析:由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=5．详解:在BC上取一点G，使得BG=1，如图，∵PBBG=21=2，BCPB=42=2，∴PBBG=BCPB，∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PGPC =BGPB=12，∴PG=12PC，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=42+32=5．故答案为5点睛:本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中3.(2023·北京·九年级专题练习)如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2P A +PB的最小值为．【答案】25【分析】2P A+PB=2P A+22PB，利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设⊙O 半径为r ，OP =r =12BC =2，OB =2r =22，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI =IB =2，∵OP OI =22=2，OB OP =222=2，∴OP OI =OB OP ，∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI PB =OI OP=22，∴PI =22PB ，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2P A +PB =2P A +22PB ，∴2P A +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．4.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图，⊙O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，⊙O 半径为6，点A (0，3)，点B (5，0)，点C (0，12)，将线段OC 绕点O 顺时针旋转α(0°≤α≤90°)，得线段OC '，OC '与弧MN 交于点P ，连P A ，PB ．则2P A +PB 的最小值为．【答案】13【分析】连接PC ，易证△OP A ∼△OCP ，相似比为12，即可得到2P A =PC ，可知当C 、P 、B 三点在同一条直线上的时候，2P A +PB 取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接PC ，∵OA =3，OP =6，OC =12，在△OP A和△OCP中，∠POA=∠COP OAOP=OPOC=12，∴△OP A∼△OCP，相似比为12，故2P A=PC，∴当C、P、B三点在同一条直线上的时候，2P A+PB取得最小值，在Rt△OCB中，2P A+PB=CB=OC2+OB2=122+52=13．故2P A+PB的最小值为13．【点睛】本题考查相似三角形中与圆结合中的动点问题，难度一般，正确作出辅助线，利用相似性，是顺利解题的关键．5.(2024·山东·模拟预测)如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为．【解答】解：在AB上取点E，使BE=32，∵AB=2BC=6，∴BPAB=BEBP=12，∵∠PBE=∠ABP，∴ΔPBE∽ΔABP，∴PEP A =BPAB=12，∴PE=12P A，在BD延长线上取BF=9，∵BD=1，则BFPB=BPBD=3，又∵∠PBD=∠FBP，∴ΔPBD∽ΔFBP，∴PFPD=PBBD=3，∴PF=3PD，∴P A +6PD =212P A +3PD=2(PE +PF )，∴当P 为EF 和圆的交点时PE +PF 最小，即P A +6PD 最小，且值为2EF ，∵EF =BE 2+BF 2=32 2+92=3372，∴P A +6PD 的最小值为2EF =337，故答案为：337．6.(2023·陕西咸阳·三模)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是OD 、OC 上的两个动点，且EF =4，P 是EF 的中点，连接OP 、PC 、PD ，若AC =12,BD =16，则PC +14PD 的最小值为．【答案】1452/12145【分析】在OD 上取一点G ，使得OG =12,连接PG 、CG ．根据菱形的性质可知OC =6,OD =8，则OG OP =OP OD =14，结合∠GOP =∠POD ，可得△POG ∽△DOP ，利用相似三角形的性质证得PG =14PD ,根据PC +PG ≥CG 可知CG 的长即为PC +14PD 的最小值，利用勾股定理求出CG 便可解决问题．【详解】解：如图，在OD 上取一点G ，使得OG =12，连接PG 、CG ．∵四边形ABCD 为菱形，AC =12,BD =16，∴OC =12AC =6，OD =12BD =8，AC ⊥BD ，∵EF =4，P 是EF 的中点，∴OP =12EF =2，∴OG OP =122=14，OP OD =28=14，又∵∠GOP =∠POD ，∴△POG ∽△DOP ，∴GP PD =14，即GP =14PD ，∵PC +PG ≥CG ，∴当点G 、P 、C 在同一直线上时，PC +14PD 取得最小值，此时PC +14PD =PC +PG =CG =OC 2+OG 2=1452，故答案为：1452．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解．7.(2024·广东·九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且∠APB=135°，则4PD+2PC的最小值为．【答案】20【分析】取一点T(1,0)，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=12PC，推出4PD+2PC=4PD+12PC=4(PD+PT)，根据PD+PT≥DT，过点D作DE⊥OC交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点T(1,0)，连接OP，PT，TD，∵A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，∴OA=OB=2，OC=4，以O为圆心，OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q=12∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=45°+135°=180°，∴A，P，B，Q四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC∙OT，∴OPOC =OT OP，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，∴PTPC =OPOC=12，∴PT=12PC，∴4PD+2PC=4PD+12PC=4(PD+PT)，过点D作DE⊥OC交OC于点E，∵D的坐标为(5，3)，∴点E的坐标为(5，0)，TE=4，∴DT=32+42=5∵PD+PT≥DT，∴4PD+2PC≥20，∴4PD+2PC的最小值是20，故答案为：20．【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．8.(2024·湖北·九年级专题练习)(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值，2PD+4PC的最小值，PD-12PC的最大值．(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求PD+23PC的最小值，PD-23PC的最大值，PC+23PD的最小值．(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1 2PC的最小值和PD-12PC的最大值．PC+36PD的最小值【答案】见详解【分析】(1)如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC=BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大(如图2中)，最大值为DG=5；可以把2PD+4PC转化为424PD+PC，这样只需求出2PD+4PC的最小值，问题即可解决。

高中数学（人教版）各册目录高一必修1第一章集合与函数概念1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数第三章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用高一必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系高二数学必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例第二章统计2.1随机抽样2.2用样本估计总体2.3变量间的相关关系第三章概率3.1随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型高二数学必修4第一章三角函数1 .1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图像1.6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2简单的三角恒等变换高二数学选修4－1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线高三数学必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4基本不等式高三数学选修4－4第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线高三数学选修4－5第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。

2.切线的判定第三讲直线与圆的位置关系一、知识扫描（一人直线与圆的位置关系设0O的半径为厂，圆心O到直线/的距离为d,那么直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆瀚公共点. 直线/与①0相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.dso直线占00相切相交直线与圆有两个公共点J直线叫做圆的割线.d "Q直线/与00相交（二：k切线的性质及判定U切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（2）注意：这个怎理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆①过圆心，过切点=＞垂直于切线.初过圆心，过切点那么AB丄/・②过圆心，垂直于切线=＞过切点.A3过圆心，A3丄/，那么AB过切点M.③过切点，垂直于切线=＞过圆心.AB丄儿AB过切点那么佔过圆心・（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：泄理的题设是①“经过半径外端"，②“垂直于半径"，两个条件缺一不可: 怎理的结论是"直线是圆的切线"・因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂宜在圆上.ZC = 90°, D.无法确左3>切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长.（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角.二、考点聚焦考点题型1、直线与圆位置关系确实定例1、在RtAABC 中，ZC = 90°, AC = 12cm> BC = 16cm ・以点C 为圆心，广为半径的圆 和有怎样的位置关系？为什么？例2、如图，G»O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，ZAOB = 45%点P 在数轴上 运动，假设过点P 且与OA 平行的直线与0O 有公共点，设OP = x,那么x 的取值范囤是A. OWxwQB ・-迥冬天冬忑C ・ ~1<X <1D ・ x>>/2例3、如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC0O 的直径，那么直线CD 与0O 的位置关系为（A.相藹B.相切C.相交如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作OO的切线AD, BA丄DA,心4 44,那么直线CE与以点。

24.2 与圆有关的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重难点、关键1．•重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．2．难点：讲授反证法的证明思路．3．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．老师点评：〔1〕在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．〔2〕圆规：一个定点，一个定长画圆．〔3〕都等于半径．〔4〕经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d那么有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十清楚显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：〔学生活动〕经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．〔1〕作圆，使该圆经过点A，你能作出几个这样的圆？〔2〕作圆，使该圆经过点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？〔3〕作圆，使该圆经过点A、B、C三点〔其中A、B、C三点不在同一直线上〕，•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：〔1〕无数多个圆，如图1所示．〔2〕连结A、B，作AB的垂直平分线，那么垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBA(1) (2) (3)〔3〕作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等〔中垂线上的任一点到两边的距离相等〕，所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，•即点P为L1与L2点，而L1⊥L，L2Alm BAC ED OF ⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞矛盾． 所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的得出结论，而是假设命题的结论不成立〔即假设过同一直线上的三点可以作一个圆〕，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法． 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如以下图．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：〔1〕在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段； 〔2〕作两线段的中垂线，相交于一点． 那么O 就为所求的圆心． 三、稳固练习教材P100 练习1、2、3、4． 四、应用拓展例2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径〔比例尺1：10〕分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，那么OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解． 作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，那么交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ，那么OF=27-x ，∵OC=OB222215(27)24x x +=-+ 解得：x=20∴221520+=25，即半径为25m ．五、归纳总结〔学生总结，老师点评〕 本节课应掌握：点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P110 复习稳固 1、2、3． 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题．1．以下说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有〔• 〕A．1 B．2 C．3 D．42．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心与顶点C的距离为〔〕．A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cmB ACBACDO3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，那么弦AD长为〔〕A．522 B．52C．2 D．3二、填空题．1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点． 2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．三、综合提高题．1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，•假设AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．B AC O2．如图，通过防治“非典〞，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．BAC3．△ABC 中，AB=1，AC 、BC 是关于x 的一元二次方程〔m+5〕x 2-〔2m-5〕x+12=0两个根，外接圆O 的面积为4π，求m 的值．答案:一、1．B 2．B 3．A二、1．无数，无数，线段PQ 的垂直平分线，一个，三边中垂线 2．33 a 36a 3．斜边 内 外 三、1．100°2．连结AB 、BC ，作线段AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置． 3．∵πR 2=4π，∴R=12，∵AB=1，∴AB 为⊙O 直径，∴AC 2+BC 2=1，即〔AC+BC 〕2-2AC ·BC=1， ∴〔255m m -+〕2-•2·125m +=1，m 2-18m-40=0，∴m=20或m=-2， 当m=-2时，△<0〔舍去〕， ∴m=20．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。