六年级奥数思维训练 韩信巧点兵

[趣味数学] 韩信点兵

民间故事《韩信点兵》：

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的兴建立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

比如，已知军队人数大概在1000-1100左右，如果1-3报数余2人，1-5报数余3人，1-7报数余2人，则韩信立刻知道总人数1073人。

汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是每次出战都士气大振，经常大获全胜。

把韩信点兵问题再换个更简单的说法，就是说，有个数除3余2，除5余3，除7余2，问你这个数字最小是几？也可以给定一个范围，问你是几。

这类问题，纠结应该怎么下手解决呢？对于这样的问题，要先观察，是否存在规律，如果符合一定的规律，则可以通过简单口诀来实现；如果没有规律，那么就要通过一些特殊方法处理。

一、有规律问题的解法

重要口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加

先来说说最后一句，最小公倍加，意思是，不管什么情况，先把最小公倍数求出来，这个是作为基础。然后根据不同情况进行辨别，如何继续处理。

（一）和同加和

意思是，如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。

例：一个数除5余3，除6余2，除7余1

解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，因为5＋3＝6＋2＝7＋1＝8，所以这个数最小就是8，其余满足条件的数字是210的倍数＋8，比如218、428……

（二）差同减差

意思是，如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。

例：一个数除5余3，除6余4，除7余5

韩信巧点兵

在我国古代算术《孙子算经》中，有这样一道题：“今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

这道题的意思是：

一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这些条件的最小数。

这类问题解法的依据是：

1、 如果被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。如：35÷3=11（余2）

（35+3×21）÷3=32（余数仍是2）

2、 如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）同样的倍数。如：15÷7=2（余2）（15×2）÷7=4（余数扩大2倍余2）

解这类题的方法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（是70）,能被3和7整除而被5除余1的数（ 是21）,能被3和5整除而被7除余1的数（是15）。

然后用原题中被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘70、21、15，再把所得的积相加，也就是70×2+21×3+×15×2=140+63+30=233。如果和大于105，则最后从和233中减去3、5、7的最小公倍数（105）的若干倍（这里是2倍），233-105×2=23，这就是适合条件的最小数。

例1 一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这个条件的最小数。

例2 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这个条件的最小数。

例3 篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩1只；每次取出5只，最后剩2只，每次取出7只，最后剩3只。篮子里至少有多少只鸡蛋？

例4 一个自然数被7、8、9除的余数分别是1、2、3，并且三个商的和是570，求这个自然数。

例5 有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，这个数除以12余数是几？

例6 我国古代算术中还有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，余一人，列成六行纵队，余五人，列成七行纵队，余四人；列成十一行纵队， 余十人，求兵数。

六上第11课 “韩信点兵”筛选法的实现 教案浙教版（2023）信息科技

学 校 授课教师 课

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教学内容 本节课的教学内容来自浙教版信息科技六上第11课“韩信点兵”筛选法的实现。课程主要内容包括：

1. 理解“韩信点兵”筛选法的原理和应用场景。

2. 学习使用编程语言实现“韩信点兵”筛选法。

3. 通过实际案例，培养学生解决实际问题的能力。

教学重点：掌握“韩信点兵”筛选法的原理和应用。

教学难点：使用编程语言实现“韩信点兵”筛选法。

核心素养目标 本章节的核心素养目标主要包括信息意识、计算思维、数字化学习与创新、信息社会责任四个方面。

1. 信息意识：培养学生对“韩信点兵”筛选法的应用场景有一定的认识，能够理解其在解决实际问题中的重要性。

2. 计算思维：通过学习“韩信点兵”筛选法的原理和编程实现，培养学生分析问题、解决问题的计算思维能力。

3. 数字化学习与创新：引导学生运用编程语言实现“韩信点兵”筛选法，培养学生在数字化环境下的学习能力和创新精神。

4. 信息社会责任：通过团队协作完成编程任务，培养学生具有良好的团队合作意识和信息社会责任感。

教学难点与重点 1. 教学重点：

（1）理解“韩信点兵”筛选法的原理和应用场景：学生需要掌握“韩信点兵”筛选法的基本原理，了解其在解决实际问题中的应用场景，例如在军队编制、资源分配等方面的重要性。

（2）掌握编程语言实现“韩信点兵”筛选法：学生需要掌握一定的编程语言基础，能够通过编程实现“韩信点兵”筛选法，培养计算思维能力。

（3）培养学生解决实际问题的能力：通过实际案例，让学生将所学知识运用到实际问题中，培养学生解决实际问题的能力。

2. 教学难点：

（1）理解“韩信点兵”筛选法的原理：学生可能对“韩信点兵”筛选法的基本原理难以理解，特别是涉及到数学推理和证明的部分。

（2）编程实现“韩信点兵”筛选法：学生可能对编程语言的使用和逻辑结构有一定的掌握，但将筛选法运用到编程中，可能存在理解和操作上的困难。

韩信点兵算法原理

韩信点兵算法是中国古代著名军事家韩信所创造的一种兵法，它被广泛应用于军事战略中，被誉为古代军事智慧的杰作。韩信点兵算法的核心思想是通过巧妙的数学推理和组合方法，快速准确地统计出大军的人数，为指挥官制定战略决策提供重要参考。下面我们将深入探讨韩信点兵算法的原理及其应用。

韩信点兵算法的原理主要包括两个方面，数学推理和组合方法。首先，我们来看数学推理。韩信点兵算法利用了数学中的排列组合知识，通过巧妙的排列组合计算，可以快速得出军队的人数。其次，韩信点兵算法还运用了组合方法，将士兵分组进行点验，再通过组合的方式得出总人数。这种方法简单高效，可以大大提高统计的准确性和速度。

在实际应用中，韩信点兵算法有着广泛的用途。首先，它可以帮助指挥官在战场上快速了解自己的兵力情况，为制定作战计划提供重要数据支持。其次，韩信点兵算法还可以应用于军需物资的统计，通过类似的方法，可以快速准确地统计出军队所需物资的数量，为后勤保障工作提供重要参考。

韩信点兵算法的原理虽然看似简单，但实际运用却需要高超的数学技巧和丰富的实战经验。指挥官需要结合实际情况，灵活运用这一算法，才能发挥其最大的效能。同时，韩信点兵算法也需要严格的训练和执行，只有经过反复演练和实战检验，才能在实际应用中发挥出其真正的作用。

总的来说，韩信点兵算法是中国古代军事智慧的结晶，它不仅在古代战争中发挥了重要作用，而且在现代军事领域也有着一定的借鉴意义。通过深入研究和理解韩信点兵算法的原理和应用，我们可以更好地传承和发扬古代军事智慧，为现代军事战略的制定和执行提供有益的启示。

综上所述，韩信点兵算法以其独特的原理和广泛的应用价值，成为中国古代军事智慧的瑰宝，对于我们深入学习和研究古代军事文化，提高军事战略水平具有重要意义。希望通过本文的介绍，能够让更多的人了解和重视这一古代军事算法的价值和意义。