【数学】南通如皋2021届高三期初数学试题与解析
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页南通如皋2021届高三上学期期初质量调研
数学试题
一．选择题（共8小题）
1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2
≥16}，集合B＝{x|2x
≥2}，则（∁
UA）∩B＝（）
A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）
2．已知a＝log
52，b＝log
72，c＝0.5a﹣2
，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
3.若)
20(
135
)
4sin(
53
)cos(
，，，，，则)
4cos(
（）
6533
.A
6533
.B
6556
.C
6516
.D
4.进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘距逐舰，1﹣2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核
组建航母编队，则不同组建方法种数为()
30.A60.B90.C120.D
5．函数f（x）＝2sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且f（x）的图象过A
（，1），B（π，﹣
1）两点，为了得到g（x）＝2sinωx的图象，只需将f（x）的图象（）
A
．向右平移B
．向左平移C
．向左平移D
．向右平移
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由
三根线组成（─表示一根阳线，﹣﹣表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1
根阴线的概率为（）
A
．B
．C
．D
．
7．设F
1、F
2
分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F
1的直线l与圆O：x2+y2
＝a2
相切，
l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF
2⊥x轴，则双曲线的离心率等于（）
A．B．2C．2D．4-2-第-2-页8．对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若
f（x）＝ex+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（）
A．（e+1，+∞）B．（e+2，+∞）C．（e
+，+∞）D．（e
+，+∞）
二．多选题（共4小题）
9．下列说法正确的是（）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2
）（σ＞0），则P（ξ＞1）＝0.5
10．已知抛物线C：y2
＝2px过点P（1，1）则下列结论正确的是（）
A．点P
到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ
的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y+1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值
11．在△ABC中，已知bcosC+ccosB＝2b
，且
+
＝，则（）
A．a、b、c成等比数列B．sinA：sinB：sinC＝2：1：
C．若a＝4，则S
△ABC＝D．A、B、C成等差数列
12．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x
1＜x
2，则下列结论正确的是（）
A
．B．x
1+f（x
1）＜x
2+f（x
2）
C．x
2f（x
1）＜x
1f（x
2）D．当
exx1
12时，x
1f（x
1）+x
2f（x
2）＞x
2f（x
1）+x
1f（x
2）
三．填空题（共4小题）
13．高三某班有60名学生（其中女生有20名）
，三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一
名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（）
A
．B
．C
．D
．
14．曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．
15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF
内的一点，则
•的取值范围是__________.
16．椭圆与双曲线有相同的焦点F
1（﹣c，0），F
2（c，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F
1B与双曲线的一条渐-3-第-3-页近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e
1，e
2，则
21ee________，且3e
12+e
22的最小值为．
四．解答题（共6小题）
17．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
，若，求△ABC的面积．
18．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽
取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，抽取的学生中男生有30人对线上教
学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意．
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别满意不满意合计
男生
女生
合计120（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生，作
线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望．
附；K2
＝．
P（K2
≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828-4-第-4-页19．已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2x2
﹣2y2
＝1的焦点重合，点P（0
，）在椭圆C上，动直线l：
y＝kx+m交椭圆C于不同两点A、B，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）讨论7m2
﹣12k2
是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
20．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），且f（x）≤0的解集为[﹣1，2]．
（1）求函数f（x）的解折式
（2）解关于x的不等式mf（x）＞2（x﹣m﹣1），（m≥0）；
（3）设g（x）＝2f（x）+3x﹣1
，若对于任意的x
1，x
2∈[﹣2，1]都有|g（x
1）﹣g（x
2）|≤M，求M的最小值．-5-第-5-页21．已知f（x）＝a（x﹣lnx）
+，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）
+对于任意的x∈[1，2]成立．-6-第-6-页22．已知点P是抛物线C
1：y2
＝4x的准线上任意一点，过点P作抛物线C
1的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线AB交椭圆C
2
：＝1于C，D两点，S
1，S
2分别是△PAB，△PCD
的面积，求的最小值．-1-第-1-页南通如皋2021届高三上学期期初质量调研
数学试题
一．选择题（共8小题）
1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2
≥16}，集合B＝{x|2x
≥2}，则（∁
UA）∩B＝（）
A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）
【解析】∵全集U＝R，集合A＝{x|x2
≥16}＝{x|x≥4或x≤﹣4}，集合B＝{x|2x
≥2}＝{x|x≥1}，
∴∁
UA＝{x|﹣4＜x＜4}，即（∁
UA）∩B＝{x|1≤x＜4}＝[1，4），故选C．
2．已知a＝log
52，b＝log
72，c＝0.5a﹣2
，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【解析】∵1＜log
25＜log
27，
∴1＞log
52＞log
72，
又0.5a﹣2
＞0.5﹣1
＝2，所以c＞a＞b，故选A．
3.若)
20(
135
)
4sin(
53
)cos(
，，，，，则)
4cos(
（）
6533
.A
6533
.B
6556
.C
6516
.D
【解析】由已知得
1312
)
4cos(
54
)sin(
，，所以
6556
)]
4()cos[()
4cos(
，故选C.
4.进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘距逐舰，1﹣2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核
组建航母编队，则不同组建方法种数为()
30.A60.B90.C120.D
【解析】先将5艘驱逐舰分成2组，需要分成2、3的两组，有C
53
＝10种分组方法，
再将3艘核潜艇分成2组，需要分成1、2的两组，有C
31
＝3种分组方法，
最后将分好的2组分派给两艘航母，有2种分配方法，
所以10×3×2＝60种组建方法，故选B．
5．函数f（x）＝2sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且f（x）的图象过A
（，1），B（π，﹣
1）两点，为了得到g（x）＝2sinωx的图象，只需将f（x）的图象（）
