2010年数学建模赛区A题一等奖论文28

1储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要：由于地下储油罐安全性高、占地少等特点，是当今加油站中常用设备。地下储油罐在长期使用后，由于地基变形，储油罐产生一定的变位，使得原有罐容表和实际产生误差。但，购入固定设备会增加储油罐使用成本。所以，对储油罐的变位识别和罐容表标定具有十分重要的意义。 本文涉及了小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆主体）、实际储油罐（两端为球冠体，中间为圆柱体）两种储油罐类型。 问题一中涉及的储油罐类型是小椭圆型储油罐。罐体纵向变位后，原罐容表不再适用，所以要对罐容表进行矫正。首先，定性比较罐体无变位和纵向变位的油位高度与储油量的关系；得到罐体的纵向变位会影响储油量的估测。其次，利用三重积分，描述小椭圆形储油罐的油位高度和储油量关系，得到分段的“油高-体积”函数。再利用上面的函数和辛普森算法编程，简化积分计算，得到储油罐相应高度下的储油量，以及校正罐容表。最后，分析理论值和实际值误差，及其产生原因；通过附表一中的实验数据和校正储油量数据，进行相似序列数据挖掘，并运用Agrawal的规范变换的方法验证两者在0.001的阈值下为相似序列，通过特殊值验证相似序列的唯一性，从而证明本模型的有效性。 问题二中，是基于实际储油罐的计算。储油罐存在横、纵两个方向的变位。本题是基于问题一的积分方法的求解。首先，讨论横纵向变位作用的独立性，可分步作用在储油罐上；分割实际储油罐为两个球冠体和一个圆柱体；利用三重积分，得到“储油罐储油量和油位高、变位参量”函数。其次，利用上面的函数和微元法进行编程并计算，得到关于附表二的校正值，并得到校正罐容表。通过方差分析，得到纵向变位参数2.7α=o、横向变位参数4.3β=o。最后，通过附表二的实验数据和校正储油量数据，进行相似序列数据挖掘，并运用Agrawal的规范变换的方法验证两者为相似序列，通过特殊值验证相似序列的唯一性，从而证明本模型的可靠性和正确性。 最后，本文对模型的发展进行了构想，以扩大模型的适用性。这些构想分别是储油罐变位的存在性；计入解释原油沉淀、温度等扰动因素的噪声；及通过储油罐体积函数化，使得模型程序具有通用性。 关键词：三重积分 相似序列 Agrawal的规范变换 方差分析 拟合优度检验

2一、问题背景 从安全性、占地性等角度出发，一般加油站都优先使用地下储油罐。但使用地下储油罐的用户就要面临腐蚀、维修、难以管理的问题。 随着材料学的发展，采用高品质的合金就可以解决表面腐蚀、减少维修次数的问题。地下储油罐一般均采用 “油位计量管理系统”。通过流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，再比对预先标定的罐容表，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但由于地下储油罐在使用一定时间后，会出现地基变形等情况，使得罐体位置出现偏移，从而原先标定的罐容表就不能准确反应罐内油位高度与储油量的对应关系。 为解决这一问题，市场上推出了多种地下储油罐固定设备，但这种解决方案无形地增加了地下储油罐的使用成本。本文着力解决在无害的地基变形下，通过校正罐容表，提高油位计量的准确度。 二、问题的提出与重述 地下储油罐在使用一定时间后，地基变形，罐体出现纵向和横向的位置偏移。针对特定形状的地下储油罐，对罐容表进行重新修订。完成以下问题： 1、在小椭圆型储油罐情形下，利用附表1的实验数据，建立适当模型，研究罐体纵向变位角4.1α=o的变位对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值； 2、在实际储油罐的情形下，储油罐存在纵向变位和横向变位，建立适当的模型，描述储油量和油位高、未变参数的一般关系；并利用附表二的数据确定变位参数，及给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值；最后，验证模型的正确性和可靠性。 三、基本假设 1、题中所涉及储油罐均为合格的、质量均匀的、内表面平滑的（或粗糙情形下，每块足够小的面积上凸凹部分的期望为0）； 2、题中所设的储油罐均为旧油罐，且油罐外表面腐蚀程度不影响油罐使用，不

3计油罐内表面的腐蚀、原油杂质的累积； 3、储油罐中油位探针、注油口、检查口、出油管与罐上壁是垂直的； 4、题中图示所设计的罐体长度数据，均为内壁测值； 5、模型针对单个类型的储油罐进行计算。 四、主要变量符号说明 符号变量 变量意义 符号变量 变量意义 X 油位高数据/mm Y 油量体积数据/L V 罐中油量体积/ 3m L 罐底总长/m a 罐横截面短半轴/m b 罐横截面长半轴/m α 罐体纵向变位角 β 罐体横向变位角 五、问题的分析 问题一中涉及的储油罐类型是小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆主体）。罐体变位后，原罐容表不再适用，所以要对罐容表进行矫正。首先，分别比较罐体无位变和纵向位变的油位高度与储油量的关系。其次，利用积分的定义，描述小椭圆形储油罐的油位高度和储油量关系，进行理论上函数估计。再，利用上函数编程，得到储油罐相应高度下的储油量，即得到校正罐容表。最后，通过附表一中的实验数据和校正储油量数据，进行相似序列数据挖掘，并运用Agrawal的规范变换的方法验证两者为相似序列，从而证明本模型模型的有效性。 问题二中，是基于实际储油罐的计算。储油罐存在横、纵两个方向的变位。运用问题一的积分方法，对问题二进行求解。首先，利用积分函数，建立一般情况下的储油罐储油量和油位高、变位参量的函数关系；其次，对上函数关系进行编程计算，得到关于附表二的校正值，并得到校正罐容表；最后，通过附表二的实验数据和校正储油量数据，进行相似序列数据挖掘，并运用Agrawal的规范变换的方法验证两者为相似序列，从而证明本模型的可靠性和正确性。 六、问题一的求解及模型有效性检验 （一）比较罐体无变位和纵向变位 由附表一的数据，用MATLAB作图如下

4 a.进油时有无变位的比较图 b.出油时有无变位的比较图 显见， （1）罐体的移动确实会给储油量估测带来影响； （2）罐体的纵向移动使得储油量的估测偏高； （3）原罐容表已不适合变位后情况，罐容表上的数值均需要对应下调。 （二）倾斜角为4.1α=o纵向变位 1、图示分解

5 a. 小椭圆油罐正面示意图 b. 小椭圆油罐截面示意图 显见， （1）当油液面处于L1以下时，油浮子沉到储油罐底部，测得油液面高度为0，则对应的储油量为0； （2）当油液面处于L1与L4之间时，油浮子处于油液面处，测得高度为油液面到管底的距离，则可从罐容表里得到对应的储油量； （3）当油液面处于L4以上时，油浮子处于罐上壁处，测得高度为储油罐最大高度，则测得的储油状态是满油的，得到储油量是储油罐容积。

62、油高-体积函数 坐标图 三维坐标轴的建立：油液横截面为XOY面，油罐的中轴线为Ｚ轴 由上图所示，纵向变位使得储油罐有α角的倾斜度，油液面也和储油罐上壁存在一定的夹角。 基于上坐标轴，设定符号变量： 符号变量 变量意义 Ｈ 油液面右端到水平面的距离 ｈ 油液面左端点到罐底的距离 ｈ＇ 油液面右端到罐底的距离 h＇＇ 油浮子到罐底的距离 ｓ 油液截面面积 L=2.45m a=0.89m b=0.6m 4.1α=o 利用积分的定义易得： （1）一般油高时

7 令,则 令,则

8（3）油液面在L3、L4之间 令,则

92、实验值和模型值的比较 （1）图示比较 显见： 实验值和模型值趋势上完全吻合，但存在误差，且误差与油位高正相关。 （2）误差原因 主要原因：罐中存在油位探针、注油管、出油管等。随着油位高的增加，管的体积越来越多的被误读成油的体积。 其他原因：油罐实验的随机误差、观测数据时间、温度等原因，使得实验数据被扰动；实验本身具有的随机性导致了实验数据噪声和幅度偏差的产生。校正程序运行中关于对积分的离散化处理和小数位数四舍五入的运算，使得到的模型值与理论值存在一定误差。 （3）误差分析 设s为实验数据和校正数据的差值。 MATLAB作图，下图为油液高和差值的关系图

10 可见，随着油液高度的增加，无变位的储油罐油量误差增大；纵向变位的储油罐因为存在角度差，这一现象则没有这么明显。 3、相似序列模型的数据挖掘 为了验证校正程序所得数据的正确性，本文运用相似序列挖掘进行检验，且运用Agrawal的规范变换的方法验证相似序列。 油位高度和油储量序列是足够多的、不相互重叠、按时间排序的两个序列。 （1）以下推导出这个两个序列相似： 设实验值为Y1序列，模型值是Y2序列。 从序列Y1提取不相重叠的子序列121...1ssYY，从序列Y2提取不相互重叠的子序列122...2ssYY，ξ是给定的误差阈值 ①对任意的1ijm≤≤≤， 11sisjYY≤与22sisjYY≤在趋势上成立； ②存在一些比例因子λ和一些偏移θ使得下式成立： 1((1))2miststYYθλ=∀≈。 用MATLAB进行线性拟合得 （见附录“M拟合程序”）

11 得到： Y12= 1.0349*Y11-0.0017 无变位进油 Y22=1.0349*Y21-0.0018 无变位出油 Y32=1.0084*Y31-52.5790 倾斜变位进油 Y42= 1.0062*Y41 -46.9665 倾斜变位出油 上式中，(())stXθλ表示对于序列stX以λ为比例因子进行缩放，按照θ进行偏移变换。 ③相似评价检验函数 11(1)(2)(1)(2)mmststiiLenYLenYLenYLenYζ==+≥+∑∑， 其中()LenX：序列X的长度函数 综上： 由于实验数据序列Y1和校正程序序列Y2，满足以上3个条件，即证明Y1与Y2是在ξ阈下相似的。 设定误差阈值ξ为0.01，利用Matlab程序（见附录“相似序列程序”），经计算，所有序列均可满足。而且在序列1、2中，误差阈值ξ可以小到0.0001。证明实验数据序列Y1和校正程序序列Y2是相似序列。 （2）此外，由于和实验数据序列Y1相似的序列是一个族，还不足以证明校正程序序列Y2的唯一性。通过取特殊值，即油截面过油罐右面的中线，经计算验证，满足校正程序的计算值。 （3）综上，从序列相似性和唯一性证明了模型的合理性。

12 七、问题二的求解及模型有效性的检验 (一)基本情况 1、变量说明 变量符号 变量意义 H 油位探针的观测值 h 油液面到水平面的垂直距离 R 球冠体所在球体的半径 2、油罐形状 问题二中的油罐可以看作两个球冠体和中间圆柱体的组合。在下文积分求解

13 时会利用到这一分解。 3、横纵变位 （1）分解变位 问题二中的变位有两种情况：横向变位和纵向变位。 纵向变位会引起油液面的变化，使得测量的高度有误，但油位探针相对储油罐不变；横向变位会引起油位探针相对储油罐的偏转，使得测量的高度有误，但油液面并没有发生变化。 （2）横纵变位的关系 由于纵向变位作用在油液面上，横向变位作用在油位探针相对储油罐偏转上；两个作用是互不影响、相互独立的；所以，两种变位造成的测量误差也是独立的。 在下文处理问题二时，先考虑纵向变位，再加入横向变位的计算。 （二）“储油量和油高、变位参数”函数 由上图，确定下积分的变量意义和坐标定义； 对图进行初等计算得： 1.625R= L=8m a=b=1.5 222222222(cos()0.6251.25cos())1.5sin()cos()zRYYYαααα−++=−− 首先，仅考虑纵向变位的情况： （1）油量多的单个球冠体内油量V1进行积分 tan22210tan2[(cos()cos()0.625)](1.5sin()sin())cos()hzYyzzzVRYyYyddααααααα+=−−+−−−+∫∫ 当油占满球冠体时 3cos()tan()*22210tan()2[(cos()cos()0.625)(1.5sin()sin())cos()zYyzzzVRryYyddαααααααα+=−−+−−−+∫∫ （2）油量少的单个球冠体内油量V3进行积分 tan()22230tan()2[(cos()cos()0.625)](1.5sin()sin())cos()hYzyzzzVRYyYyddααααααα−−=−−+−−+−∫∫（3）圆柱体内油量V2积分 本问题的解答可以模拟问题一中的解答 ○1油液面只触及到储油罐一个侧壁 令,则