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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.4双曲线的简单性质(2)课时作业北师大版选修1_1

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1 2.3.4 双曲线的简单性质（2）

一、选择题

1. [2012·山东高考]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )

A. x28＋y22＝1 B. x212＋y26＝1

C. x216＋y24＝1 D. x220＋y25＝1

解析：由题知双曲线的渐近线为y＝±x，它与椭圆的四个交点是对称的，以这四个交点为顶点的四边形是正方形，其面积为16，可知点(2,2)在椭圆C上，即满足4a2＋4b2＝1

又∵e＝ca＝32故而b2＝5，a2＝20.

∴椭圆的方程为x220＋y25＝1.

答案：D

2. 设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的左，右焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，PF1→·PF2→的值为( )

A. 0 B. 1

C. 12 D. 2

解析：不妨设P在第一象限，

12·2c·yP＝1，

∴yP＝55，

∴P(2305，55)，

∴PF1→＝(－5－2305，－55)， 2 PF2→＝(5－2305，－55)，

∴PF1→·PF2→＝0，故选A.

答案：A

3. [2014·广东高考]若实数k满足0

A. 离心率相等 B. 虚半轴长相等

C. 实半轴长相等 D. 焦距相等

解析：由0

答案：D

4. 如右图，已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则双曲线的离心率e的范围是( )

A. (1＋2，＋∞) B. (1,1＋2)

C. (1，3) D. (3，22)

解析：令x＝－c，可求得点B的纵坐标为b2a，由双曲线的对称性可知△ABF2为等腰三角形，∴△ABF2是锐角三角形⇔∠BF2A为锐角⇔∠BF2F1<45°⇔tan∠BF2F1<1⇔b22ac<1，即b2<2ac，∴c2－2ac－a2<0，即e2－2e－1<0，解之得1

答案：B

二、填空题

5. 椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>b>0)被称为一对“情侣”曲线，设C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e21＋e22＝________.

解析：∵a>b>0，∴e21＝a2－b2a2，e22＝a2＋b2a2，

∴e21＋e22＝2.

答案：2

6. 设点P在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1| ＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．

解析：∵|PF1|－|PF2|＝2a， 3 ∴|PF2|＝23a，

又∵|PF2|≥c－a，

∴23a≥c－a，则e＝ca≤53，

又e>1，∴1

答案：(1，53]

7. P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是双曲线的焦点，其离心率e＝54，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积为9，则a＋b＝________.

解析：e＝ca＝54，设a＝4k，c＝5k(k>0)，则b＝3k，由题意得，|PF1|2＋|PF2|2＝100k2

①，12|PF1||PF2|＝9 ②，(|PF1|－|PF2|)2＝64k2 ③，由①②③得100k2－36＝64k2，解得k＝1，∴a＋b＝7k＝7.

答案：7

三、解答题

8. 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.若直线AP的斜率为k，且|k|∈[33，3]，求实数m的取值范围．

解：如图，由条件得直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.

因为点M到直线AP的距离为1，即|mk－k|k2＋1＝1，

∴|m－1|＝k2＋1|k|＝1＋1k2.

∵|k|∈[33，3]，∴233≤|m－1|≤2，

解得233＋1≤m≤3或－1≤m≤1－233，

∴实数m的取值范围是[－1,1－233]∪[1＋233，3]．

9. “神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这4 一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A处发现P的方位角．

解：因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上，又因为|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，以线段AB的中点为坐标

原点，AB所在直线为x轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．

所以双曲线方程为x24－y25＝1(x>0)，BC的垂直平分线方程为x－3y＋7＝0.联立两方程解得x＝8，y＝53，

所以P(8,53)，kPA＝tan∠PAx＝3，所以∠PAx＝60°，所以P点在A点的北偏东30°方向．

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(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)

一、选择题

1．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线l与椭圆C交于,AB两点，且线段AB的中点为2,1M，则直线l的斜率为（ ）

A．13 B．32 C．12

D．1

2．若圆锥曲线C：221xmy的离心率为2，则m（ ）

A．33 B．33 C．13 D．13

3．已知椭圆22221(0)xyCabab：的右焦点为(c,0)F，上顶点为(0,)Ab，直线2axc上存在一点P满足FPAPFAAP，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A．1[,1)2 B．2[,1)2 C．51[,1)2 D． 20,2

4．如图，已知1F、2F双曲线222210,0xyabab的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AFBF，112ABF，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．6 D．423

5．椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别是1F、2F，斜率为1的直线l过左焦点1F且交C于A，B两点，且2ABF的内切圆的面积是，若椭圆C离心率的取值范围为22[]42，，则线段AB的长度的取值范围是（ ）

A．[2,22] B．[1 , 2] C．[4 8]， D．[42,82]

6．已知O为坐标原点设1F，2F分别是双曲线2219xy的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，过点1F作12FPF的角平分线的垂线，垂足为H，则OH（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线220ypxp的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为2y，若入射光线FP的斜率为43，则抛物线方程为 （ ）

人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_3

人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_3

高中数学人教A版2003课标版选修1-1

第二章 圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用

《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计

第一课时 抛物线的光学性质及其应用

一、 教学目标

1. 理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。

2. 会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。

二、 教学重点

理解抛物线的光学性质并会推导。

三、 教学难点

数学建模思想的应用。

四、 教学过程

（一）课题引入

问题一：手电筒

一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。这是为什么呢?

设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。

（二）课题提出 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

问题二：生活问题数学化

要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?

2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修2_1

2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修2_1

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下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 第3章 圆锥曲线与方程

1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质

椭圆 双曲线 抛物线

定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹

标准方程(以焦点在x轴为例) x2a2＋y2b2＝1

(a>b>0) x2a2－y2b2＝1

(a>0，b>0) y2＝2px

(p>0)

关系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2

图形 封闭图形 无限延展，

有渐近线 无限延展，

无渐近线

对称性 对称中心为原点 无对称中心

两条对称轴 一条对称轴

顶点 四个 两个 一个

离心率 01 e＝1

准线方程 x＝－p2

决定形

状的因素 e决定扁

平程度 e决定开

口大小 2p决定

开口大小

统一定义 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e

2.椭圆的焦点三角形

设P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，那么△PF1F2为焦点三角形(如图)．

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下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 (1)焦点三角形的面积S＝b2tanα2；

(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．

3．待定系数法求圆锥曲线标准方程

(1)椭圆、双曲线的标准方程

求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位〞和“定量〞两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．

①可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当1A>1B时，焦点在x轴上，当1A<1B时，焦点在y轴上．

②双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当1A<0时，焦点在y轴上，当1B<0时，焦点在x轴上．

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题

1．已知F是双曲线22:13yCx的右焦点，Q是双曲线C左支上的一点，0,23M是y轴上的一点.当MQF的周长最小时，过点Q的椭圆与双曲线C共焦点，则椭圆的离心率为（ ）

A．25 B．45 C．15 D．23

2．已知12,FF分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点2F到直线1AF的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．(2,) B．(1,2) C．(3,) D．(1,3)

3．过抛物线24yx焦点F，斜率为k（0k）的直线交抛物线于A，B两点，若3AFBF，则k（ ）

A．3 B．2 C．32 D．1

4．圆22: ()4Mxmy与双曲线2222:1(0,0 ) yxCabab的两条渐近线相切于AB、两点，若||1AB，则C的离心率为（ ）

A．154 B．41515 C．14 D．4

5．已知双曲线2221(0)xyaa与椭圆22183xy有相同的焦点，则a（ ）

A．6 B．23 C．2 D．4

6．若圆222210xyaxy与圆221xy关于直线1yx对称，过点2,Caa的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）

A．24480yxy B．22220yxy

C．2210yxy D．24250yxy

7．已知双曲线2222:10,0xyCabab的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182xy有公共焦点.则双曲线C的渐近线方程为（ ）

A．77yx B．7yx C．55yx D．5yx 8．椭圆C：22221(0)xyabab的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，11||3||3QFPF，则离心率的取值范围为（ ）