(高中数学人教A版 必修第一册)3.2.2双曲线的简单几何性质 教学课件

令Δy= x


= (x- 2 −

2
)
∵x≥a>0
∴ 2 − <x
−

N(x,y’)
y
Q
b
M(x,y)
B2
A1
A2
o
(x≥a)
a
x
B1
b
y x
a
b
y x
a
∴Δy>0 即在第一象限，对于任意一个x,


x> 2 −




• 即 直线y= x与曲线y= 2 − 在第一象限不相交




，并且直线y= x始终在曲线y= 2 − 上方。



2
2
根据双曲线的对称性，直线y= x与双曲线 2 - 2 =1不



相交，两者对于同一个横坐标对应的纵坐标的绝对值
始终是前者的比后者的大。

2
2
• 同理，直线y=- x与双曲线 2 - 2 =1也有相同的结

论




∵b= 2 − 2

∴ = (2 − 1)

e越趋近于1，b越小，两渐近线开口越小，双曲线
开口也越小；e越大，b越大，两渐近线开口越大，
双曲线开口也越大。
例3.求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.． 2 2

分析 把已知方程化成标准方程为 : - ＝1
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
•

任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，过P(－1，0)的直线与双曲线只
有一个公共点，则这样的直线共有( B )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么
k的取值范围是( D )
A． −
15
15
，
3
3
C． −
15
此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
第2课时 双曲线几何性质的应用
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
4 − 3 2 ＝0，
2 3
解：由ቊ
得k＝± ，
2
3
1 − ≠ 0，
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公
2 − 2 ＝4，
解：联立൝
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
＝ − 1 ，
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)．
4 − 3 2 > 0，
2 3
2 3
由ቊ
得－ ＜k＜ 且k≠±1，
2
3
3
1 − ≠ 0，
共点．
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相
交，有且只有一个公共点．
2 3
故当k＝± 或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．

y2
x2
故可设方程为a2 －2a2 ＝1，
代入点(2，－2)得 a2＝2.
y2
x2
所以所求双曲线方程为 2 － 4 ＝1.
由双曲线的几何性质确定标准方程
x2 y 2
解：依题意可设双曲线的方程为 2 2 1
a
b
2a 16，
a 8
c 5
又 e , c 10
a 4
b2 c 2 a 2 102 82 36
4
-3
3
O
-4
•
F1(0,-5)
x
共渐近线的方程
x2
[例 1] 求过点(2，
－2)且与 －y2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程．
2
[解]
2
b
法一：当焦点在 x 轴上时，由于a ＝ 2 .
x2
y2
故可设方程为2b2 －b2 ＝1，
代入点(2，－2)得 b2＝－2(舍去)；
2
a
当焦点在 y 轴上时，可知b ＝ 2 .
（4）渐近线
+
a
b
x y
直线 0逐渐接近, 我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.
a b
实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
a
y x
b
由双曲线方程求渐近线方程 , 只需把1变成0.
x2 y2
双曲线 2 2 1的渐近线方程为
a
b
y2 x2
双曲线 2 2 1的渐近线方程为
x2 y2
双曲线的方程为

1
64 36
3
渐近线方程为y x ,且焦点F1 (10, 0), F2 (10, 0)

双曲线的简单几何性质
练习：设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成角为 60°
的直线 A1B1 和 A2B2，满足|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1，B1 和 A2，B2 分别是这对直 线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
2 3，2 A. 3
2 3，＋∞ C. 3
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则ac|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝c2－a2a. 又由双曲线的性质知|PF2|>c－a，则c2－a2a>c－a，即 c2－2ac－a2<0， ∴e2－2e－1<0，解得－ 2＋1<e< 2＋1.又 e∈(1，＋∞)， ∴e∈(1， 2＋1)．
线方程为 y=±43x,则下列结论正确的是 ( )
2
2
A.C 的方程为
9
−
16=1
B.C 的离心率为5
4
C.焦点到渐近线的距离为 3
D.|PF|的最小值为 2
双曲线的简单几何性质
解析:双曲线 C 的一个焦点 F(5,0),且渐近线方程为 y=±43x,可得 c=5,
焦点坐标在 x 轴上,
所以 = 43,因为 c=5,所以 b=4,a=3,
y＝±bx a
e＝c>1 a
y＝±ax b
复习导入
等轴双曲线
定义 方程 形式
性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0 时，焦点在 x 轴上；λ<0 时，焦点在 y 轴上 ①离心率：e＝ 2 ②渐近线方程：y＝±x
02双曲线的简单的几何性质 渐近线
PART
ONE