河南师大附中2016-2017学年高二下学期2月月考数学试卷(理科)
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2016-2017学年河南师大附中高二（下）2月月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
4．设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A．π B．π C．（6﹣2）π D．π
7．函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（ ）
A．x= B．x=π C．x= D．x=
8．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
9．从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
10．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）
C．（） D．（﹣∞，﹣，）
12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．执行如图的程序框图，如果输入x，y∈R，那么输出的S的最大值为 ．
14．已知向量，若，则t的取值范围是 ．
15．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是
．
16．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．己知函数三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1．
（I）求角B的大小；
（II）若，求c的值．
18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．设Sn是数列{an}的前n项和，已知．
（1）求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．
20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，
AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
21．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；
（3）从抽出的6名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
22．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
2016-2017学年河南师大附中高二（下）2月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选B．
2．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】利用三角函数定义求解．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），
∴x=﹣3，y=﹣4，r==5，
∴sinα==﹣．
故选：A．
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．
【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，
四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，
∴四棱锥的体积是．
故选B．
4．设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件；向量的模．
【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；
若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；
故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；
故选：D．
5．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，
而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，
∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （1，2），
故选B．
6．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A．π B．π C．（6﹣2）π D．π
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．
【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，
由已知得|OC|=|CE|=r，
过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，
交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，
则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：
d==，
此时r=
∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（）2=．
故选：A．
7．函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（ ）
A．x= B．x=π C．x= D．x=
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】先化简函数，再利用正弦函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：f（x）=sinx+sin（﹣x）=sinx+cosx+sinx=sin（x+），
∴x=是函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴，
故选：D．
8．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．
【解答】解：因为a5=a1q4，即q4=16，
又q＞0，所以q=2，
所以S7==127．
故选C．
9．从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【考点】圆的切线方程．
【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，
则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，
所以两切线夹角的正切值为tanθ==，该角的余弦值等于，
故选：B．
10．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．
【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，
∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，
设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，
∠A1BC1的余弦值为，
故选D．
