山东省高二上学期数学10月月考试卷

高二数学10月月考试题本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分.共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =( ) A ．21-B ．2-C ．2D ．212. 在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则C ∠=( )A ．030B ．045C ．0150D ．01353. 等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =,则n =( ) A.6 B.7 C. 8 D.94. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ） A ．13 B ．35 C ．49 D ． 635.公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（ ） A ．1B.2C.3D.46. 在ABC ∆中, 80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解7. 已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．15kmB ．30kmC ． 15D ．km 9. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于( ) A.49 B. 837 C. 1479 D. 2414910.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，212322l o g l o g l o g n a a a -+++=( )A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2n D. 2(1)n -第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）11.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n S n 22+=，则=9a12.在ABC ∆中，已知2,120,c A a =∠==，则B ∠= ．13. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a =1，ABC S b ∆=则,3等于 .14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655S S -=，则4a = .15. 在数列{a n }中，其前n 项和S n ＝a +n4，若数列{a n }是等比数列，则常数a 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.将每题答案写在答题纸相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列. （Ⅰ）求{n a }的公比q ； （Ⅱ）若1a －3a ＝3，求n S . 17．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=. (Ⅰ)确定角C 的大小； （Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+=. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，求n S .19．(本小题满分12分)如图，海中小岛A 周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?20. (本小题满分13分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，C=2A,10a =+c ，43cos =A . （Ⅰ）求ac的值； （Ⅱ）求b 的值.21．(本小题满分14分)已知点（1，2）是函数()(01)x f x a a a =>≠且的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和()1n S f n =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．17.解：2sin c A =及正弦定理得，sinsin a Ac C ==，sin 0,sin 2A C ≠∴=Q ，ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=.（Ⅱ）.3c C π==Q 由面积公式得，1sin 623ab ab π==即 ①由余弦定理得，22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故.18．19. 解: 在△ABC 中,BC =30,∠B =30°,∠C =135°,所以∠A =15°. ．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理知 即所以．．．．．．．．．．７分于是，A 到BC 边所在直线的距离为：(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险. ．．．．．．．．．． ．．．11分 答：此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险.．．．．．．．．．． ．．．12分 20. 解：（Ⅰ）23cos 2sin 2sin sin sin ====A A A A C a c . （Ⅱ）由10a =+c 及23=a c 可解得a=4,c=6. 由432cos 222=-+=bc a c b A 化简得，02092=+-b b . 解得b=4或b=5.经检验知b=4不合题意，舍去.所以b=5.sin sin BC AC A B =，30sin15sin 30AC =︒︒，30sin 3060cos1560cos(45-30)sin1560(cos 45cos30sin 45sin 30)AC ︒==︒=︒︒︒=︒︒+︒︒=sin 451)40.982AC ︒=⨯=≈21.。

山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”A ．200B ．100C ．120D ．1402．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差3．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有1件次品与至多有1件正品B ．至少有1件次品与都是正品C ．至少有1件次品与至少有1件正品D ．恰有1件次品与恰有2件正品4．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（ ） A ．10724 B ．724 C ．14912 D ．14935．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n nn a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a = A ．16 B ．25 C ．28 D ．336．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ）A ．34B ．712C ．23D ．567．已知数列 a n 满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列 a n 的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A ．51512-B ．50502C ．1012-D ．515128．在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：11a =，21a =，21++=+n n n a a a ，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据21++=+n n n a a a 可得21n n n a a a ++=-，所以()()()123243212221n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a ++⋯=（ ）A ．714B ．1870C ．4895D ．4896二、多选题9．近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比超过13B ．2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%C ．2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%D ．2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）10．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，且满足条件1202220231,1a a a >⋅>，20222023(1)(1)0a a -⋅-<则下列选项正确的是（ ）A ．01q <<B ．2022202410a a ⋅->C ．2023T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于404411．抛出一枚质地均匀的硬币n 次，得到正反两面的概率相同．事件:A n 次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B ：n 次中最多有一次正面朝上，下列说法正确的是（ ）A ．当2n =时，A ，B 相互独立 B ．当3n =时，A ，B 相互独立C ．2n ≥时，22()2-=n nP A D ． 2n ≥时，1()2-=n n P B三、填空题12．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为. 13．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*3N ,n n S S ∀∈≥，则65a a 的取值范围为.四、解答题15．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.(1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由；(2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为12，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率.16．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在 60,70 内的平均成绩为67，方差是9，落在[)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在[)70,80内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：221122,,;,,m x s n x s .记两组数据总体的样本平均数为w ，则总体样本方差()()222221122m n s s x w s x w m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++） 17．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC ＝，且60DAB DBF ∠∠o ＝＝．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，19a =，()()2*1n n S n n a n -=-∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19．在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =.根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的()*(,0)N P n n ∈，他每步走动都会有*p 的概率向左移动1个单位，有1*p -的概率向右移动一个单位，原点(0,0)处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(,0)P n 开始，最终掉入陷阱的概率.若这个人开始时位于点(1,0)P 处，且1*3p =，(1)求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；(2)求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；(3)已知()*1112N 33n n n p p p n -+=+∈，若01p =，求n p .。

高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。

山东省莱芜市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二下·绵阳期中) 已知命题则为（）A .B .C .D .2. （2分）口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·阳山期中) 已知F1 ， F2为椭圆的两个焦点，点A（0，2），点P为椭圆上任意一点，则的最小值是（）A . aB . 2aC .D .4. （2分） (2020高二下·宾县期末) 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2 ， P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A . 4B . 2C . 1D .6. （2分） (2019高二上·滦县月考) 设分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，在轴上的截距为1，若，且轴，则此椭圆的长轴长为（）A .B . 3C .D . 67. （2分）已知为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则命题p是命题q的（）A . 充分不必要的条件B . 既不充分也不必要的条件C . 充要条件D . 必要不充分的条件8. （2分）(2017·安庆模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B两点，若，则C的离心率取值范围为（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高二上·惠州期末) 若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是（）A . 若为椭圆，则B . 若是双曲线，则其离心率有C . 若为双曲线，则或D . 若为椭圆，且长轴在轴上，则10. （3分） (2020高二上·东莞期末) 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）A . 为等比数列B .C . 轴，且D . 四边形的内切圆过焦点11. （3分） (2020高一下·连云港期末) 在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）A . 两件都是一等品的概率是B . 两件中有1件是次品的概率是C . 两件都是正品的概率是D . 两件中至少有1件是一等品的概率是12. （3分） (2020高一上·重庆月考) 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A .B . 当时，函数的图象与轴没有公共点C . 当时，抛物线的顶点在直线的上方D . 如果且，则三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 椭圆 =1的长轴长为________．14. （1分）若命题“∃x0∈R，－2x0＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是________．15. （1分）如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y= 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S.①先产生两组0~1的均匀随机数,a=RAND,b=RAND;②做变换,令x=2a,y=2b;③产生N个点(x,y),并统计满足条件y< 的点(x,y)的个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1 000时,N1=332,则据此可估计S的值为________.四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）(2017·广西模拟) 椭圆的离心率为________．五、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）(2018·吉林模拟)（1）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；（2）若均为正数，求证： .18. （15分） (2019高二下·海珠期末) 近年来，人们对食品安全越来越重视，有机蔬菜的需求也越来越大，国家也制定出台了一系列支持有机肥产业发展的优惠政策，鼓励和引导农民增施有机肥，“藏粮于地，藏粮于技”．根据某种植基地对某种有机蔬菜产量与有机肥用量的统计，每个有机蔬菜大棚产量的增加量（百斤）与使用有机肥料（千克）之间对应数据如下表：使用有机肥料 (千克)345678910产量增加量 (百斤) 2.1 2.9 3.5 4.2 4.8 5.6 6.2 6.7（1）根据表中的数据，试建立关于的线性回归方程（精确到）；（2）若种植基地每天早上7点将采摘的某有机蔬菜以每千克10元的价格销售到某超市，超市以每千克15元的价格卖给顾客．已知该超市每天8点开始营业，22点结束营业，超市规定：如果当天16点前该有机蔬菜没卖完，则以每千克5元的促销价格卖给顾客(根据经验，当天都能全部卖完)．该超市统计了100天该有机蔬菜在每天的16点前的销售量(单位：千克)，如表：每天16点前的100110120130140150160销售量(单位：千克)频数10201616141410若以100天记录的频率作为每天16点前销售量发生的概率，以该超市当天销售该有机蔬菜利润的期望值为决策依据，说明该超市选择购进该有机蔬菜110千克还是120千克，能使获得的利润更大？附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．参考数据：，．19. （10分）(2019·浙江模拟) 如图，已知点为抛物线的焦点，过点任作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于四点，分别为的中点．（Ⅰ）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（Ⅱ）设直线交抛物线于两点，试求的最小值．20. （10分） (2017高二下·彭州期中) 如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．21. （10分）(2018·栖霞模拟) 如图，椭圆的离心率为，顶点为，，，，且 .（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点 .设的斜率为，的斜率为，试问是否为定值？并说明理由.22. （10分） (2018高二下·盘锦期末) 已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线 .（1）求曲线的方程；（2）是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：四、双空题 (共1题；共1分)答案：16-1、考点：解析：五、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、。

山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．直线103x -=的倾斜角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π62．已知双曲线()222:11x C y a a-=>的焦距为4，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =±C ．y =D ．y = 3．已知椭圆()222:1016x y C b b+=>与椭圆221125x y +=有相同的焦点，则b =（ ）A．B ．C ．3 D ．44．已知点()0,1-在圆22220x y x my +--+=的外部，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()3,2- C ．()()3,22,--+∞U D ．()2,2-5．已知点M 为双曲线22:1916x y C -=左支上的一点，12,F F 分别为C 的左､右焦点，则1122MF F F MF +-=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．已知点()()2,3,3,2A B ---，若过定点()1,1P 的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞B ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．当α变动时，动直线2cos2sin24cos x y ααα+=围成的封闭图形的面积为（ ）A ．πBC ．2πD ．4π8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，若椭圆E 上的点到直线50x y ++=的a 的取值范围为（ ）A ．(]0,2B ．(C ．(D ．⎤⎦二、多选题9．若直线()240a x y a -++=与直线()()222420a x a a y -+++-=平行，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．410．已知点,A B 是椭圆22:143x y C +=上关于原点对称且不与C 的顶点重合的两点，12,F F 分别是C 的左､右焦点，O 为原点，则（ ）A ．C 的离心率为12B ．228AF BF +=C ．AB 的值可以为3D ．若12AF F △的面积为32，则12154AF AF ⋅= 11．已知点()4,4P 及圆22:40C x y x +-=，点Q 是圆C 上的动点，则（ ）A ．过原点O 与点P 的直线被圆C 截得的弦长为B ．过点P 作圆C 的切线，则切线方程为3440x y -+=C ．当点Q 到直线PC 的距离最大时，过点Q 与PC 平行的一条直线的方程为240x y ---D ．过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为240x y +-=三、填空题12．若方程22164x y m m +=--表示椭圆，则m 的取值范围是． 13．已知圆C 与两直线220,220x y x y -+=++=都相切，且圆C 经过点()1,1，则圆C 的半径为.14．把ABC V 放置在平面直角坐标系中，点A 在直线BC 的上方，点,D E 在边BC 上，AD 平分,BAC AE BC ∠⊥，且点,A E 都在y 轴上，直线AD 40,y AD -+==直线AC 的斜率为3-，则点C 的坐标为；直线AB 在x 轴上的截距为.四、解答题15．已知直线:210l x ay a -+-=及点()2,2A -.(1)若与l 垂直的直线320x my -+=过点A ，求m 与a 的值；(2)若点A 与点()1,1B -到直线l 的距离相等，求l 的斜截式方程.16．已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1 a >0,b >0 的顶点为()(),A B -，且过点()P . (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过双曲线C 的左顶点A 作直线与C 的一条渐近线垂直，垂足为,H O 为坐标原点，求OHA V 的面积.17．已知圆1C 经过点()2,0-，且与圆222:480C x y x y +-+=相切于原点O .(1)求圆1C 的标准方程；(2)若直线:20(,l ax by a b a b ++-=不同时为0)与圆1C 交于,A B 两点，当AB 取得最小值时，l 与圆2C 交于,C D 两点，求CD 的值.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为45-. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，且6AB =，点M 是C 上任意一点（与,A B 不重合），直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,,P Q O 为坐标原点，求OP OQ ⋅u u u r u u u r .19．已知点,A B 是平面内不同的两点，若点P 满足(0PA PBλλ=>，且1)λ≠，则点P 的轨迹是以有序点对(),A B 为“稳点”的λ-阿波罗尼斯圆.若点Q 满足()0QA QB μμ⋅=>，则点Q 的轨迹是以(),A B 为“稳点”的μ-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，()()()2,0,,2A B a b a -≠-.(1)若以(),A B 为“稳点”的λ-阿波罗尼斯圆的方程为221240x y x +-+=，求,,a b λ的值；(2)在（1）的条件下，若点Q 在以(),A B 为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求OQ （O 为原点）的取值范围；(3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若0,b λ==数,a μ，使得以(),A B 为“稳点”阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.。

枣庄八中东校高二年级10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023.10一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线20x ++=的倾斜角是（ ）A.6πB.3πC.23π D.56π2. 已知向量(2,3,0)a =- ，(0,3,4)b = ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（ ）A. 913a-B. 913a C. 925b D. 925b - 3. 已知⊙O 的圆心是坐标原点O，且被直线0x -+=截得的弦长为6，则⊙O 的方程为（ ）A 224x y += B. 228x y += C. 2212x y += D. 2216x y +=4. 已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n，若()1,0,1a =- ，()1,0,1n =，则直线l 与平面α（ ）A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 平行或在平面内5. 对于圆()()()2220x a y b r r -+-=>上任意一点(),P x y ，()x y m x y n m n -++-+≠的值与x ，y无关，则当m n -=r 的最大值是（ ）A12B. 1C. 2D. 46. 如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，12AM MB =，D为BC 的中点，N 为PD 上一点且23PN PD =，则MN =（ ）..A. 5B. 3C.D.7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQMPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为（ ）AB.C.D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()1,1，下列说法正确的是（）.A. 若直线l 的倾斜角为90︒，则方程为1x =B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则方程为20x y +-=C. 直线l 与圆：223x y +=始终相交D. 若直线l 和以()()3,3,1,3M N ---为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率[)1,2,2k ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦10. 已知圆()22:420C x y x y m m +-++=∈R ，下列说法正确的是（ ）A. 若圆C 的半径为1，则4m =B. 若圆C 不经过第二象限，则0m ≤C. 若直线:30l x ay a ++=恒经过的定点A 在圆内，则当l 被圆截得的弦最短时，其方程为30x y --=D. 若4m =-，过点()4,3P 作圆的两条切线，切点分别为,M N ，则直线MN 的方程为2490x y +-=11. 已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c ，则//a cB. 若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c共面C. 对于空间的任意一个向量p，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc=++D. 若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为线段111,B D BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 1DB ⊥平面1ACD B. 直线AE 与平面11BB D D 所成角正弦值为定值13C. 平面11A C B 平面1ACD D. 点F 到平面1ACD 的距离为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 试写出一个点C 的坐标：__________，使之与点()110A -，，，()101B -，，三点共线．14. 已知a ､b是空间相互垂直的单位向量，且5c =，c a c b ⋅=⋅= ，则c ma nb -- 的最小值是___________.15. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC 的顶点()()()3,0,3,0,3,3A B C -，若直线():390l ax a y +--=与ABC 的欧拉线平行，则实数a 的值为________．的16. 一曲线族的包络线（Envelope ）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆1C ：221x y +=是直线族()10,ax by a b R +-=∈的包络线，则a ，b 满足的关系式为___________；若曲线2C 是直线族()()212240t x ty t t R -+--=∈的包络线，则2C 的长为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知向量(2,1,2)=-- a ，(1,1,2)b =-，(,2,2)x = c .（Ⅰ）当||c = ka b + 与c垂直，求实数x 和k 的值；（Ⅱ）若向量c 与向量a ，b共面，求实数x 的值.18. 已知直线l 经过点()2,1P ，且与x 轴､y 轴的正半轴交于,A B 两点，O 是坐标原点，若满足__________.（1）求直线l 的一般式方程；（2）已知点()3,1,M Q -为直线l 上一动点，求MQ OQ +最小值.试从①直线l 的方向向量为()2,1v =-；②直线l 经过2380x y +-=与40x y --=的交点；③AOB 的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.19. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E 、F 分别是PC 、AD 中点．（1）求直线DE 和PF 夹角的余弦值；（2）求点E 到平面PBF 的距离．20. 在平面直角坐标系中，已知圆心C 在直线20x y -=上的圆C 经过点()4,0A ，但不经过坐标原点，并且直线430x y -=与圆C 相交所得的弦长为4.是（1）求圆C 的一般方程；（2）若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线刚好通过圆C 的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点．（1）证明：CO ⊥平面11ABB A ；（2）若直线1B C 与平面11ABB A 11A BC 与平面1ABC 夹角的余弦值．22. 已知AMN 的三个顶点分别为()3,0A ，()0,1M ，()0,9N ，动点P 满足3PN PM =．（1）求动点P 的轨迹T 的方程；（2）若B ，C 为（1）中曲线T 上的两个动点，D 为曲线()()22143x y x ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．枣庄八中东校高二年级10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023.10一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线20x ++=的倾斜角是（ ）A.6πB.3πC.23π D.56π【答案】D 【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意，直线的斜率为k =，设直线的倾斜角为()0ααπ≤<，即5πtan 6αα=⇒=.故选：D.2. 已知向量(2,3,0)a =- ，(0,3,4)b = ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（ ）A. 913a-B. 913a C. 925b D. 925b - 【答案】D 【解析】【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】依题意，向量a在向量b方向上的投影向量为：925||||a b b bb b →⋅-⋅==，故选：D3. 已知⊙O 的圆心是坐标原点O，且被直线0x -+=截得的弦长为6，则⊙O 的方程为（ ）A. 224x y += B. 228x y += C. 2212x y += D. 2216x y +=【答案】C 【解析】【分析】结合点到直线距离公式求出弦心距，再由勾股定理求出半径，即可得解.【详解】∵⊙O 的圆心是坐标原点O，且被直线0x -+=截得的弦长为6，设⊙O 的方程为x 2+y 2=r 2，则弦心距为22262d r ⎛⎫==∴+= ⎪⎝⎭，解得r 2=12，可得圆的标准方程为x 2+y 2=12.故选：C.4. 已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n，若()1,0,1a =- ，()1,0,1n =，则直线l 与平面α（ ）A. 垂直 B. 平行C. 相交但不垂直D. 平行或在平面内【答案】D 【解析】【分析】计算a n ⋅结果，从而可判断.【详解】因为1100110a n ⋅=-⨯+⨯+⨯= ，所以a n ⊥，所以直线l 与平面α平行或在平面内.故选：D.5. 对于圆()()()2220x a y b r r -+-=>上任意一点(),P x y ，()x y m x y n m n -++-+≠的值与x ，y无关，则当m n -=r 的最大值是（ ）A.12B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得到x y m x y n -++-+表示点(),P x y 到直线0x y m -+=和直线0x y n -+=倍，从而可得出当m n -=r 的最大值是两平行线间距离的一半.【详解】因为x y m x y n -++-+=所以x y m x y n -++-+表示点(),P x y 到直线0x y m -+=和直线0x y n -+=倍.的所以要使x y m x y n -++-+的值与x ，y 无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，又因为m n -=所以两平行线0x y m -+=和0x y n -+=4，所以r 的最大值是2.故选：C .6. 如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，12AM MB =，D为BC 的中点，N 为PD 上一点且23PN PD =，则MN =（ ）A. 5B. 3C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,PA PB PC 为一组基底，表示MN求解.【详解】解：以{},,PA PB PC为一组基底，则22MN AN AM =- ，213PN PA AB =-- ，2211333PD PA PB PA =--+，211113333PB PC PA PB PA =+--+，21233PC PA =-，22144999PC PC PA PA =-⋅+，144933cos 6093999=⨯-⨯⨯⨯+⨯= ，所以MN =故选：D7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，3,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4211322AB k -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用点斜式方程可得到直线AB ：322y x -=+，整理为2270x y -+=，所以原点O 到直线AB 距离为()2.5cm d ==≈，故选:B8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQMPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点M 的轨迹方程可得()2,0Q -，结合条件可得2MP MB MQ MB QB +=+≥，即得.【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ ，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MP =．因为MQ MPλ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以2MP MB MQ MB +=+，因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为==BQ ．故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()1,1，下列说法正确的是（ ）A. 若直线l 的倾斜角为90︒，则方程为1x =B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则方程为20x y +-=C. 直线l 与圆：223x y +=始终相交D. 若直线l 和以()()3,3,1,3M N ---为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率[)1,2,2k ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】AC 【解析】【分析】根据直线方程的形式，可判定A 正确，截距的定义，分类讨论，可判定B 错误；根据点与圆的位置关系，可判定C 正确；根据直线的位置关系和斜率公式，可判定D 错误.【详解】对于A 中，当直线l 的倾斜角为90︒，则过点()1,1的直线方程为1x =，所以A 正确；对于B 中，当直线l 过原点时，过点()1,1直线方程为y x =，此时在坐标轴上的截距相等；当直线不过原点时，设所求直线方程为1x ya a+=，将点()1,1代入方程，求得2a =，此时直线方程为20x y +-=，所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y x =或20x y +-=，所以B 错误；对于C 中，由22113+<，可得点()1,1在圆223x y +=内，所以直线与圆：223x y +=始终相交，所以 C 正确；对于D 中，根据题意，设()1,1P ，可得1,22PM PN k k =-=，要使得直线l 和以()()3,3,1,3M N ---为端点的线段有公共点，如图所示，则满足122l k -≤≤，所以D 错误.故选：AC.的10. 已知圆()22:420C x y x y m m +-++=∈R ，下列说法正确的是（ ）A. 若圆C 的半径为1，则4m =B. 若圆C 不经过第二象限，则0m ≤C. 若直线:30l x ay a ++=恒经过的定点A 在圆内，则当l 被圆截得的弦最短时，其方程为30x y --=D. 若4m =-，过点()4,3P 作圆的两条切线，切点分别为,M N ，则直线MN 的方程为2490x y +-=【答案】AD 【解析】【分析】圆的方程化为标准方程可判断A ，根据点到圆心的距离判断B ，由直线所过定点及定点与圆心连线与直线垂直判断C ，根据切点写出切线方程，再由曲线与方程的关系得出切点弦所在直线方程判断D.【详解】圆的标准方程为22(2)(1)5x y m -++=-.对于A ，若圆C 的半径为1，则51m -=，即4m =，故A 正确；对于B ，因为圆心()2,1C -在第四象限，所以若圆不经过第二象限，则原点不在圆内，则≥0m ≥，故B 错误；对于C ，直线:30l x ay a ++=恒经过定点()0,3A -，当l 被圆截得的弦最短时，l AC ⊥，因为AC 的斜率为1，所以l 的斜率为1-，其方程为30x y ++=，故C 错误；对于D ，当4m =-时，圆的方程为22(2)(1)9x y -++=，其半径3R =，设切点()()1122,,,M x y N x y ，则直线,PM PN 的方程分别为()()()()()()()()112222119,22119x x y y x x y y --+++=--+++=，因为点()4,3P 在切线,PM PN 上，所以()()()()()()()()11222421319,2421319x y x y --+++=--+++=，即11222490,2490x y x y +-=+-=，所以直线MN 的方程为2490x y +-=，故D 正确.故选：AD11. 已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c ，则//a cB. 若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c共面C. 对于空间的任意一个向量p，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc=++D. 若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底【答案】AD 【解析】【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.【解答】解：a，b，c是空间的三个单位向量，由//a b ，//b c ，则//a c ，故A 正确；a ，b ，c 两两共面，但是a ，b ，c 不一定共面，a ，b ，c可能两两垂直，故B 错误；由空间向量基本定理，可知只有当a，b，c 不共面，才能作为基底，才能得到p xa yb zc =++，故C 错误；若 {}a b c ，，是空间一组基底，则a ，b ，c不共面，可知{}a b b c c a +++ ，，也不共面，所以{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底，故D 正确．故选：AD .12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为线段111,B D BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 1DB ⊥平面1ACD B. 直线AE 与平面11BB D D 所成角的正弦值为定值13C. 平面11A C B 平面1ACDD. 点F 到平面1ACD 的距离为定值【答案】ACD 【解析】【分析】设正方体1111ABCD A B C D -边长为a ，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立坐标系，利用空间向量法对各选项逐一判断即可.的【详解】设正方体1111ABCD A B C D -边长为a ()0a >，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立如图所示坐标系，选项A ：()0,,0D a ，()1,0,B a a ，(),,0C a a ，()10,,D a a ，则()1,,DB a a a =- ，(),,0AC a a =，()10,,AD a a = ，设平面1ACD 的法向量()111,,x n y z = ，则111110n AC ax ay n AD ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =可得平面1ACD 的一个法向量()1,1,1n =-，因为1DB an =，所以1DB ⊥平面1ACD ，A 正确；选项B ：设(),,E b a b a -()0b a ≤≤，则(),,AE b a b a =-，由正方体的性质可知(),,0AC a a =为平面11BB D D 的一个法向量，设直线AE 与平面11BB D D 所成角为α，则sin cos ,AE AC AE AC AE AC α⋅==== B 错误；选项C ：()10,0,A a ，()1,,C a a a ，(),0,0B a ，则()11,,0A C a a = ，()1,0,A B a a =-，设平面11A C B 的法向量()222,,m x y z = ，则112212200m A C ax ay m A B ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取21x =可得平面11A C B 的一个法向量()1,1,1m =-，因为m n=，所以平面11A C B 平面1ACD ，C 正确；选项D ：设(),,F a c c ()0c a ≤≤，则(),,AF a c c =，则点F 到平面1ACD 的距离AF n d n ⋅=== 是定值，D 正确；故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 试写出一个点C 的坐标：__________，使之与点()110A -，，，()101B -，，三点共线．【答案】11122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，（答案不唯一）【解析】【分析】设出点C 的坐标，利用空间向量共线得到()()0,1,11,1,x y z λ-=+-，求出11x y z =-+=，，写出一个符合要求的即可.【详解】根据题意可得，设()C x y z ，， ，则设AB AC λ=，即()()0,1,11,1,x y z λ-=+-故11x y z =-+=， ，不妨令12y =，则12z =，故11122C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，．故答案为：11122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，14. 已知a ､b是空间相互垂直的单位向量，且5c = ，c a c b ⋅=⋅= ，则c ma nb -- 的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到((2229c ma nb m n --=-+-+，求出2c ma nb --最小值，进而求出答案.【详解】因为,a b 互相垂直，所以0a b ⋅= ，222222222a ma nb c m a n b ma c nb c mna b--=++-⋅-⋅+⋅((2222259m n m n =++--=-+-+，当且仅当m n ==时，2c ma nb --取得最小值，最小值为9，则c ma nb --的最小值为3.故答案为：315. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC 的顶点()()()3,0,3,0,3,3A B C -，若直线():390l ax a y +--=与ABC 的欧拉线平行，则实数a 的值为________．【答案】3-【解析】【分析】根据题意，求得ABC 的重心和外心，进而求得ABC 的欧拉线的方程，结合两直线平行，即可求解.【详解】由ABC 的顶点为()()()3,0,3,0,3,3A B C -，可得ABC 的重心为333003(,33G -++-++，即为(1,1)G ，由ABC 为直角三角形，所以外心在斜边的中点3303(,22O -++，即3(0,)2O ，可得三角形的欧拉线方程为230x y +-=，因为直线():390l ax a y +--=与230x y +-=平行，可得39123a a --=≠-，解得3a =-.故答案为：3-.16. 一曲线族的包络线（Envelope ）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆1C ：221x y +=是直线族()10,ax by a b R +-=∈的包络线，则a ，b 满足的关系式为___________；若曲线2C 是直线族()()212240t x ty t t R -+--=∈的包络线，则2C 的长为___________.【答案】 ①. 221a b +=②. 4π.【解析】【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，分析方程，即可求解.【详解】由题意，若圆1C ：221x y +=是直线族()10,ax by a b R +-=∈的包络线，1=，可得221a b +=；又由曲线2C 是直线族()()212240tx ty t t R -+--=∈的包络线，可得()222141xt y t x t -+-+-+为定值r ，则()2104y x x ⎧-=⎨-=-⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩，此时2r =，所以曲线2C 的方程为()()22214x y -+-=，所以曲线2C 的周长为4π.故答案为：221a b +=；4π.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知向量(2,1,2)=-- a ，(1,1,2)b =-，(,2,2)x = c .（Ⅰ）当||c = ka b + 与c垂直，求实数x 和k 的值；（Ⅱ）若向量c 与向量a ，b共面，求实数x 的值.【答案】（Ⅰ）实数x 和k 的值分别为0和3-.（Ⅱ）12-【解析】【分析】(Ⅰ)根据||c =可求得0x =,再根据垂直的数量积为0求解k 即可.(Ⅱ)根据共面有c a b λμ=+r r r,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为||c =,0x =⇒=.且ka b =+(21,1,22)k k k ---+.因为向量ka b + 与c垂直,所以()0ka b c =+⋅ 即260k +=.所以实数x 和k 的值分别为0和3-.(Ⅱ)因为向量c 与向量a ，b共面,所以设c a b λμ=+r r r （,R λμ∈）.因为(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-,2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ 所以1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为12-..【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18. 已知直线l 经过点()2,1P ，且与x 轴､y 轴的正半轴交于,A B 两点，O 是坐标原点，若满足__________.（1）求直线l 的一般式方程；（2）已知点()3,1,M Q -为直线l 上一动点，求MQ OQ +最小值.试从①直线l 的方向向量为()2,1v =-；②直线l 经过2380x y +-=与40x y --=的交点；③AOB 的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）240x y +-=（2【解析】【分析】（1）利用三种不同的条件，求出直线l 的斜率，得出直线的点斜式方程，在转化为一般式即可.（2）设点()3,1M -关于直线l 的对称点为(),M a b '，利用中点坐标在直线上和两直线垂直斜率之积为1-，列出方程组求出对称点的坐标，利用对称即可求得最短距离.【小问1详解】解：若选①，由直线l 的方向向量为()2,1v =-得，直线l 的斜率为12-，所以直线l 的方程为()1122y x -=--，所以直线l 的一般式方程为240x y +-=.若选②，直线l 经过2380x y +-=与40x y --=的交点，联立238040x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()4,0，直线l 的斜率为101242-=--，所以直线l 的方程为()1122y x -=--，所以直线l 的一般式方程为240x y +-=.若选③，由题意设直线l 的方程为()12(0)y k x k -=-<，则()12,0,0,12A k B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-1111224,,22ABC S k k k =--==- 解得所以直线l 的一般式方程为240x y +-=.【小问2详解】解：设点()3,1M -关于直线l 的对称点为(),M a b '，由题意得，312402211123a b b a -+⎧+⋅-=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-⋅=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，解得15a b =-⎧⎨=⎩，所以()1,5M '-，MQ OQ M O +='的最小值为19. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E 、F 分别是PC 、AD 中点．（1）求直线DE 和PF 夹角余弦值；（2）求点E 到平面PBF 的距离．【答案】（1（2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.（2）由（1）求出平面PBF 的法向量，利用空间向量即可求出点E 到平面PBF 的距离.的【小问1详解】因PD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，则PD 、DA 、DC 三线两两互相垂直，如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()()()()()0,0,0,000,1,1,1,0,0,2,2,2,0E F B D P ,,，则直线DE 的方向向量()0,1,1DE = ，直线PF 的方向向量()1,0,2PF =-，cos ,||||DE PF DE PF DE PF ⋅〈〉===所以直线DE 和PF【小问2详解】由（1）知，()2,2,2PB =-，()1,2,0FB = ，()0,1,1EP =- ，设平面PBF 的法向量(),,n x y z = ，则222020PB n x y z FB n x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-，得()2,1,1n =- ，所以点E 到平面PBF的距离为||||EP n d n ⋅===.20. 在平面直角坐标系中，已知圆心C 在直线20x y -=上的圆C 经过点()4,0A ，但不经过坐标原点，并且直线430x y -=与圆C 相交所得的弦长为4.（1）求圆C 的一般方程；（2）若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线刚好通过圆C 的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.【答案】（1）22126320x y x y +--+= （2）2530x y -+=【解析】【分析】（1）设圆()()222:C x a y b r -+-=，根据圆心C 在直线20x y -=上，圆C 经过点()4,0A ，并且直线430x y -=与圆C 相交所得的弦长为4，列出关于,,a b r 的方程组，解出,,a b r 的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()4,1N --，反射光线所在的直线即为NC ，又因为()63C ，，利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.【小问1详解】设圆()()222:C x a y b r -+-=，因为圆心C 在直线20x y -=上，所以有：20a b -=，又因为圆C 经过点()4,0A ，所以有：()2224a b r -+=，而圆心到直线430x y -=的距离为435a bd -==，由弦长为4，我们有弦心距d =，所以有435a b-=联立成方程组解得：21a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或63a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，又因为()()22215x y -+-=通过了坐标原点，所以21a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩舍去.所以所求圆的方程为：()()226313x y -+-= ，化为一般方程为：22126320x y x y +--+= .【小问2详解】点()4,1M -关于x 轴的对称点()4,1N --，反射光线所在的直线即为NC ，又因为()63C ，，所以反射光线所在的直线方程为：131464y x ++=++，所以反射光线所在的直线方程的一般式为：2530x y -+= .21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点．（1）证明：CO ⊥平面11ABB A ；（2）若直线1B C 与平面11ABB A 11A BC 与平面1ABC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）57．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接1OB ，由（1）知CO ⊥平面11ABB A ，又直线1B C 与平面11ABB A ，可得12BB =，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．【详解】（1）ABC 是正三角形，O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥．又111ABC A B C - 是直三棱柱，1AA ∴⊥平面ABC ，1AA CO ∴⊥．又1AB AA A ⋂=，CO ∴⊥平面11ABB A ．（2）连接1OB ，由（1）知CO ⊥平面11ABB A ，∴直线1B C 与平面11ABB A 所成的角为1CB O ∠，1tan CB O ∴∠=．ABC 是边长为2的正三角形，则CO =，1OB ∴=．在直角1B BO 中，1OB =，1OB =，12BB ∴=．建立如图所示坐标系，则()1,0,0B ，()1,0,0A -，()11,2,0A -，()11,2,0B，(10,C ．()12,2,0BA ∴=-，(11,BC =- ，设平面11A BC 的法向量为(),,m x y z = ，则11·0·0m BA m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22020x y x y -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得平面11A BC的法向量为)1m =- ．()2,0,0AB = ，()11,2,3AC = ，设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则1·0·0n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20230x x y z =⎧⎨++=⎩，解得平面1ABC的法向量为()0,2n = ．设平面11A BC 与平面1ABC 夹角为θ，则5cos 7m n m n θ⋅==⋅．平面11A BC 与平面1ABC 夹角的余弦值为57．22. 已知AMN 的三个顶点分别为()3,0A ，()0,1M ，()0,9N ，动点P 满足3PN PM =．（1）求动点P 的轨迹T的方程；（2）若B ，C 为（1）中曲线T 上的两个动点，D 为曲线()()22143x y x ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）229x y += （2）是，-5【解析】【分析】（1）设(),P x y ，利用距离公式得到方程，整理即可得解；（2）设直线AB 和直线AC 的斜率之积为()0m m ≠，设()11,B x y ，()22,C x y ，()00,D x y ，即可得到()()22212221233y y m x x =--，再由B ，C 为圆O ：229x y +=上及AD AB AC =+，消去参数得到关于m 的方程，解得即可.【小问1详解】设(),P x y=化简得动点P 的轨迹T 的方程为229x y +=．【小问2详解】设直线AB 和直线AC 的斜率之积为()0m m ≠，事实上，若0m =，则直线BC 必过原点，从而D 的坐标为()3,0-，不合题意，舍去．设()11,B x y ，()22,C x y ，()00,D x y ，则121233y ym x x ⋅=--，()()121233y y m x x =--①，则()()22212221233y y m x x =--，又B ，C 在圆O ：229x y +=上，则22119x y +=，22229x y +=，所以()()()()2212222129933x x mx x --=--化简得：()()()()122123333x x m x x ++=--，整理得()()2121223191m x x x x m +=+--②，因为AD AB AC =+，所以()()()1122003,3,3,x y x y x y -+-=-，从而()12123,D x x y y +-+，又D 为曲线22(1)4(3)y x x ++=≠-的动点，所以()()22121224y y x x +++-=展开得()()()222211221212122240x y x y x x y y x x +++++-+=，将①代入：()()()12121299233240m x x x x x x ++--+-+=，化简得：()1212(1)(23)9(1)0m x x m x x m +-++++=，将②代入：()()()2121231(23)01m x x m x x m ⎡⎤+⎢⎥+-++=-⎢⎥⎣⎦，整理得：()12501m x x m +⋅+=-，因为1233x x +-≠-，所以120x x +≠，从而50m +=，所以5m =-．。

2022-2023学年山东省淄博市、齐盛高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线l 的一个方向向量为(2,-，则它的倾斜角为（ ） A ．30° B ．120° C ．60° D ．150°B【分析】由直线的方向向量求出斜率，进而求出倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为：((21,-=-，所以直线斜率k =则倾斜角为120°. 故选：B.2．笼子中有1只鸡和2只兔子，从中依次随机取出1只动物，直到3只动物全部取出．如果将2只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第二只被取出的动物的概率为（ ） A ．13B ．12C ．15D ．14A【分析】先求出从笼中依次随机取出1只动物，直到3只动物全部取出的基本事件个数，再求出“长耳朵”H 恰好是第二只被取出的动物包含的基本事件，由古典概率的概率公式代入即可得出答案. 【详解】把1只鸡记为a ，2只兔子分别记为“长耳朵”H 和h ， 则从笼中依次随机取出1只动物，直到3只动物全部取出，共有如下6种不同的取法：（a ，H ，h ），（a ，h ，H ），（H ，a ，h ），（H ，h ，a ），（h ，a ，H ），（h ，H ，a ），其中“长耳朵”H 恰好是第二只被取出的动物包含2种不同的取法． 则“长耳朵”恰好是第二只被取出的动物的概率2163P ==． 故选：A ．3．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，E 为PD 的三等分点13DE DP ⎛⎫=⎪⎝⎭，若DP a =，DA b =，DC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE 为（ ）A ．23a b c --B ．13a b c --C ．13a b c +-D ．13a b c -+B【分析】结合空间几何图形以及空间向量的线性运算法则即可求出结果. 【详解】因为13DE DP =，所以 23BP PE BC CP PE DA DC DP E D B P =+=++=--+-1133DA DC DP a b c =--+=--，故选：B.4．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC 的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC 的欧拉线方程为 A ．2x-4y-3=0 B ．2x+4y+3=0 C ．4x-2y-3=0 D ．2x+4y-3=0D【分析】由题意计算出线段BC 的垂直平分线 【详解】()()1,0,0,2B C -, 则中点坐标为112⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()20201BC K -==--,则BC 的垂直平分线方程为11122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1222y x -=--,3202x y +-=, 即2430x y +-=,AB AC =，ABC 的外心，重心，垂心，都在线段BC 的垂直平分线上 ABC ∴的欧拉线方程为2430x y +-=故选D本题为求三角形的欧拉线，结合题意计算出等腰三角形底边上的垂直平分线，较为简单 5．若直线1(1)10l a x y -+-=：和直线2:620l x ay ++=平行，则=a A ．-2 B ．-2或3 C ．3 D ．不存在C【详解】∵直线()1110l a x y -+-=：和直线2:620l x ay ++=平行， ∴()160a a --=，解得：23a =-或经检验：2a =-两直线重合，3a =两直线平行， 故选C6．已知A 和B 是随机试验E 中的两个随机事件，事件()()()11,,23C A B P A P B P C =⋃===，下列选项中正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与C 互斥 C ．A 与B 相互独立 D ．A 与C 相互独立C【分析】根据公式()()()⋃=+P A B P A P B 可判断A ；由C A B =可判断B ；由公式()()()()P AB P A P B P A B =+-先求()P AB ，然后根据()()()P AB P A P B =可判断C ；根据C A B =可知可知()()P AC P A =，然后判断(),()()P AC P A P C 是否相等可判断D. 【详解】由题知，2()3P C =，因为115()()()()236P A P B P A B P C +=+=≠=，故A 错误； 因为C A B =，A 发生时C 一定发生，故B 错误； 因为2()3P A B =，所以1121()()()()2336P AB P A P B P A B =+-=+-=， 又111()()236P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B =，故C 正确；因为C A B =，所以1()()2P AC P A ==，由121()()233P A P C =⨯=，()(())P AC P A P C ≠，故D 错误. 故选：C7．已知直线1:20l x y a ++=，2:2410l x y ++=相互平行，且1l ，2l 则a 的值为（ ）A ．112B ．6C ．112或92-D ．6或-4C【分析】根据两平行直线之间的距离公式即可求出．【详解】2:2410l x y ++=即1202x y ++=，所以1l ，2l 间的距离为12514a -=+，解得112a =或92a =-．故选：C ．8．在直三棱柱111ABC A B C 中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）A ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．5,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭A【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立空间直角坐标系，设出D 、F 的坐标，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可． 【详解】在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥底面ABC ，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E 、1,0,12G ⎛⎫⎪⎝⎭，设点(),0,0F x 、()0,,0D y ，1,,12GD y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,1,2EF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于GD EF ⊥，则11022GD EF x y ⋅=--+=，可得210x y +-=，()0,1x ∈，则110,22x y -+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，DF ⎫⎪⎪⎣⎭， 故选：A ．二、多选题9．已知向量,(3,0,1),(1,5,3)a b b c a c b c ⋅=⋅=⋅=-=--，下列等式中正确的是（ ） A ．()a b c b c ⋅=⋅B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．2222()a b c a b c ++=++D ．||||a b c a b c ++=--BCD【分析】根据条件可得出0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=，然后可看出选项A 的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B ，C 都正确；根据2||()a b c a b c ++=++和2||()a b c a b c --=--即可判断选项D 正确． 【详解】3030b c ⋅=-++=， ∴0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=，A ：()(0,0,0),0a b c b c ⋅=⋅=，∴该等式错误；B ：()0a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=，()0a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅=，∴该等式正确；C ：2222222()222a b c a b c a b a c b c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，∴该等式正确；D ：2222||()a b c a b c a b c ++=++=++，2222222||()222a b c a b c a b c a c b c a b a b c --=--=++-⋅+⋅-⋅=++，∴||||a b c a b c ++=--，∴该等式正确． 故选：BCD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是4B ．点(0，2)关于直线y =x +1的对称点为(1，1)C ．过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为－23BD【分析】对选项A ，根据直线与两坐标轴的交点即可判断A 错误，对选项B ，首先设出对称点，再解方程组即可判断B 正确，对选项C ，根据直线两点式公式即可判断C 错误，对选项D ，设直线方程为y kx b =+，根据题意得到()3232y k x b kx k b kx b =+++=+++=+，再解方程即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，直线20x y --=，当0x =时，=2y -，当0y =时，2y =， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积12222S =⨯⨯=，故A 错误.对选项B ，设()0,2关于直线1y x =+的对称点为(),a b ， 则212122b ab a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，即对称点为()1,1，故B 正确.对选项C ，当12x x =或12y y =时，直线方程112121y y x xy y x x --=--无意义，故C 错误.对选项D ，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为y kx b =+， 直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则()3232y k x b kx k b kx b =+++=+++=+， 所以32k b b ++=，解得23k =-，故D 正确.故选：BD11．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件M =“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N =“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A ．M 与N 互斥 B ．()12P M =C ．M 与N 相互独立D ．()34P M N =BCD【分析】根据互斥事件的定义即可判断A ；根据相互独立事件的定义即可判断C ；根据古典概型的计算公式即可判断B ；根据对立事件的概率公式结合交事件的概率公式即可判断D. 【详解】解：由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响， 故事件M 与事件N 为相互独立事件，故A 错误，C 正确； ()3162P M ==，故B 正确； ()()11311224P M N P M N ⋃=-⋂=-⨯=，故D 正确.故选：BCD.12．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．平面PEF ⊥平面ABFDB ．直线DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为134C ．点B 到平面PDF 的距离是32D ．异面直线PE 与AB 所成角为6π ACD【分析】利用面面垂直的判定定理可判断A 选项；以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出点P 的坐标，利用空间向量法可判断BCD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则//AD BC 且AD BC =，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则//AE BF 且AE BF =，且有AE AB ⊥，故四边形ABFE 为矩形，则BF EF ⊥， 因为BF PF ⊥，EFPF F =，则BF ⊥平面PEF ，因为BF ⊂平面ABFD ，故平面PEF ⊥平面ABFD ，A 对；对于BCD 选项，因为BF ⊥平面PEF ，以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴， 过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则()2,1,0A 、()0,1,0B 、()2,1,0D -、()2,0,0E 、()0,0,0F ， 设点(),0,P a c ，其中0c >，()2,1,DP a c =-，(),0,FP a c =，由题意可知PF PD ⊥，则()220DP FP a a c ⋅=-+=，①因为21FP a ==，②所以，2222201a a c a c ⎧-+=⎨+=⎩，解得12a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12P ⎛ ⎝⎭， 则32DP ⎛=- ⎝⎭，易知平面ABFD 的一个法向量为()0,0,1n =，所以，32cos ,21DP n DP n DP n ⋅<>===⨯⋅，故直线DP 与平面ABFDB 错； 设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，12FP ⎛=⎝⎭，()2,1,0FD =-， 由10220m FPx m FD x y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取x =()3,21m =-，()0,1,0FB =，所以，点B 到平面PDF 的距离是234FB m d m⋅===C 对； 3,0,2PE ⎛=⎝⎭，()2,0,0AB =-，cos ,3PE AB PE AB PE AB ⋅-<>===⋅ 因此，异面直线PE 与AB 所成角为6π，D 对. 故选：ACD.三、填空题13．从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，那么这2张纸片上的数字之积为偶数的概率为___________．710##0.7 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】解：从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种；其中这2张纸片数字之积为偶数的取法是(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共7种， 所以这2张纸片上的数字之积为偶数的概率为710. 故答案为.71014．过点()3,1P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程是______. 30x y -=或40x y +-=【分析】先设出直线方程，然后令0x =，0y =求出两轴上的截距，再根据截距相等求出斜率，即可得出直线方程.【详解】有题意可知，直线的斜率存在且不为0，因为直线过点()3,1P ，所以可设直线方程为 ()13y k x -=-()0k ≠，即为130kx y k -+-=，令0x =可得13=-y k ；令0y =可得13=-x k，因为直线在两轴上的截距相等，所以1313-=-k k()0k ≠，解得1k =-或13，代入可得直线方程为40x y +-=或30x y -=.故30x y -=或40x y +-=.本题主要考查直线点斜式方程和截距，解题的关键是找出直线的横纵截距.15．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线:10+--=l ax y a 与线段AB 相交，则a 的取值范围是____________. 3(,][4,)4-∞-+∞【分析】直线l ：10ax y a +--=恒过()1,1C 点，斜率k a =-，123134BC k a +=-==+，13412AC k a +=-==--，由此利用数形结合能求出a 的取值范围. 【详解】直线l ：10ax y a +--=恒过()1,1C 点，斜率k a =-，讨论临界点：当直线l 经过点(3,2)B --时，123134BC k a +=-==+， 结合图像可知3,4a ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭成立，3,4a ⎛⎤∴∈-∞- ⎥⎝⎦，当直线l 经过点3(2,)A -时，13412AC k a +=-==-- 结合图像可知(],4a -∈-∞-成立，[)4,a ∴∈+∞，综上所述3(,][4,)4a ∈-∞-+∞故3(,][4,)4-∞-+∞本题考查了直线的斜率，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题. 16．如图，已知菱形ABCD ，2,3AB ADC π=∠=，沿直线AC 将ACD 翻折成ACS ，,E F 分别为SA SB ，的中点，SA 与平面ABC 所成角的正弦值为63，M 为线段AC 上一点（含端点），则AE 与平面EFM 所成角的正弦值的最大值为___________.2211【分析】根据题意26SO =23OA OC ==ABC 为等边三角形，OB 平分ABC ∠，进而得23OB =O 为ABC 的中心，故三棱锥S ABC -是棱长为2的正四面体，再建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：设顶点S 在平面ABC 内的射影为点O ， 因为SA 与平面ABC 6，2SA =，所以26SO = 因为2SA SC ==，所以23OA OC ==又因为AB AC =，所以，如图1，在平面ABC 中，ABC 为等边三角形，AOB ≌COB △，所以OB 平分ABC ∠，即6ABO π∠=，所以在AOB 中，22224433cos 242OB OB AB OA ABO OB AB OB +-+-∠===⋅⋅⋅，解得233OB =，4333OB =>（舍），所以点O 为ABC 的中心，故三棱锥S ABC -是棱长为2的正四面体， 故如图2，以AB 中点H 为坐标原点，,HC HB 分别为,x y 轴建立空间直角坐标则()326316316(0,0,0),(0,1,0),0,1,0,,,22H A B S E F --⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设31,0,03M x x ⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭则3316,2EM x x ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0EF =， 设平面EFM 的一个法向量为()000,,n x x z =，则00EF n EM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即000036y x x =⎧⎪⎛⎨= ⎪ ⎝⎭⎩，令06z =263n x ⎛⎫= -⎪⎭，因为3162AE ⎛= ⎝⎭，设AE 与平面EFM 所成角为θ，所以sin cos ,n AE θ==26AEn AE nx ⋅==⋅-令1t x =，则t ≥2962y t =-+⋅在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增， 所以n si θ=⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递减， 所以当t =时，AE 与平面EFM 故11四、解答题17．在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为A （2，1），B （-2，3），C （-3，0）． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)求BC 边上的高AD 所在直线的方程． (1)3x -y +9=0 (2)x +3y -5=0【分析】（1）由题意可设直线BC 的直线方程为y =kx +b ，将B ，C 的坐标代入即可求解； （2）由题意可知113AD BC k k =-=-，设直线AD 的方程为13y x m =-+，将点A （2，1）代入，即可求解【详解】（1）设直线BC 的直线方程为y =kx +b ，将点B （-2，3），C （-3，0）代入，可得3203k bk b =-+⎧⎨=-+⎩，解得39k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 方程为y =3x +9，即3x -y +9=0． （2）∵AD 为直线BC 的高，∴AD ⊥BC ， ∴113AD BC k k =-=-， 设直线AD 的方程为13y x m =-+，将点A （2，1）代入，解得53m =， ∴直线AD 的方程为1533y x =-+，即x +3y -5=0．18．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，∠BAA 1＝∠DAA 13π=，AC 126=．(1)求侧棱AA 1的长；(2)M ，N 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，求1AC MN ⋅及两异面直线AC 1和MN 的夹角． (1)4 (2)0；90°.【分析】（1）由11AC AB AD AA =++平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出． （2）由11AC AB AD AA =++，12MN =（AB AD -），再利用数量积的运算性质展开即可得出． 【详解】（1）设侧棱AA 1＝x ，∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°， ∴22AB AD ==1，21AA =x 2，AB •AD =0，AB •12x AA =，AD •12x AA =，又∵11AC AB AD AA =++，∴1AC 2＝（1AB AD AA ++）22221AB AD AA =+++2AB •AD +2AB •1AA +2AD •1AA =26， ∴x 2+2x ﹣24＝0，∵x ＞0，∴x ＝4， 即侧棱AA 1＝4．（2）∵11AC AB AD AA =++，1122MN DB ==（AB AD -）， ∴112AC MN ⋅=（AB AD -）•（1AB AD AA ++）12=（22AB AD AB -+1AA AD -•1AA ）12=（1﹣1+2﹣2）＝0，∴两异面直线AC 1和MN 的夹角为90°．19．某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中m 的值；(2)在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了5人，若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己 的学习经验，设事件A ＝“抽取的两人的测试成绩分别位于[80，90）和[90，100]”，求事件A 的概率P （A ）. (1)0.016m =(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，得到关于m 的方程.（2）首先确定分层抽样的各层人数，分别计算其频率，得到其比值，确定各层人数，然后根据古典概型的特点求出样本空间和满足题意的情况数，最终得到概率.【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得(0.0040.0060.0200.0300.024)101m +++++⨯=， 解得0.016m =.（2）测试成绩位于[80,90)的频率10.024100.24P =⨯=， 位于[90,100]的频率20.016100.16P =⨯=，因为12:3:2P P =，所以确定的5人中成绩在[80,90)内的有3人，分别记为122,,A A A ，成绩在[90,100]内的有2人，分别记为12,B B ，从5人中随机抽取2人的样本空间：12131112232122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B Ω=共有10个样本点，其中111221223132{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A A B A B A B A B A B A B =，即()6n A =， 所以概率为63()105P A ==. 20．如图，在正四棱锥P ABCD -中，O 为底面中心，3==PO AO ，M 为PO 的中点，2PE EB =．(1)求证：//DM 平面EAC ； (2)求直线DM 到平面EAC 的距离． (1)证明见解析 35【分析】（1）说明PO ，AC ，BD 两两垂直，由此可建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAC 的一个法向量(),,m x y z =，计算DM m ⋅的值，结合线面平行的判定即可证明结论； （2）由于//DM 平面EAC ，所以直线DM 到平面EAC 的距离即为点D 到平面EAC 的距离，由此利用空间距离的向量形式的公式计算，可得答案.【详解】（1）证明：在正四棱锥P ABCD -中，连接BD ，则O 为BD 的中点，且AC BD ⊥， 由于PO ⊥平面ABCD ，AC ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PO AC ⊥，PO BD ⊥，所以PO ，AC ，BD 两两垂直．以点O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为2PE EB =，故E 为PB 的靠近B 的三等分点，则()3,0,0A ，()3,0,0С-，()0,3,0D -，30,0,,(0,0,3)2M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,1E ，所以30,3,2DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()6,0,0CA =，()3,2,1AE =-，设平面EAC 的法向量为(),,m x y z =，则60320m CA x m AE x y z ⎧⋅==⎨⋅=-++=⎩,取1y =，则0x =，2z =-， 则()0,1,2m =-为平面EAC 的一个法向量， 因为330DM m ⋅=-=，所以DM m ⊥， 又因为DM ⊄平面EAC ，所以//DM 平面EAC ．（2）由（1）知//DM 平面EAC ，所以直线DM 到平面EAC 的距离即为点D 到平面EAC 的距离． 由（1）知()3,3,0DA =，平面EAC 的一个法向量为()0,1,2m =-，所以点D 到平面EAC 的距离3355DA m d m⋅===故直线DM 到平面EAC 35． 21．甲、乙两人参加某学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是23和34．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．(1)求乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率；(2)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛．求甲恰好回答5次被退出比赛的概率是多少？ (1)6364(2)16243【分析】（1）可先计算出“至少有一个回答正确”的对立事件“一个回答都不正确”的概率，根据对立事件关系即可求出答案；（2）先列举出符合题意得所有情况，分别是：对对对错错，错对对错错，对错对错错，再根据独立重复实验的计算方法计算.【详解】（1）记“乙回答3个问题，至少有一个回答正确”为事件B ，由题意， 3163()1()1464P B P B ∴=-=-=（）答：乙回答3个问题，至少有一个回答正确的概率6364． （2）记“甲答对第i 个问题”为事件i A ，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件123451234512345A A A A A A A A A A A A A A A ++，则123451234512345()P A A A A A A A A A A A A A A A ++=16243， 答：甲恰好回答5次被退出比赛的概率是16243． 22．长方形ABCD 中，2AB AD =，M 是CD 中点（图1），将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中(1)求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；(2)在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由． (1)证明见解析 (2)存在，理由见解析【分析】（1）由已知可得222AM BM AB +=，得BM AM ⊥，再由AD BM ⊥，利用线面平行的判定可得BM ⊥平面ADM ，进一步得到平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）建立空间直角坐标系，设E 为线段BD 上的点，(01)BE BD λλ=<<，分别求出平面AMD 与面EAM的一个法向量，由已知结合两法向量所成角的余弦值求得λ值，可得在线段BD 上存点E ，使得二面角E AM D --5【详解】（1）在长方形ABCD 中，连接BM ，因为2AB AD =，M 是DC 中点，所以2AM BM AD ==， 从而222AM BM AB +=，所以AM BM ⊥． 因为AD BM ⊥，ADAM A =，所以BM ⊥平面ADM ．因为BM ⊂平面ABCM ，所以平面ADM ⊥平面ABCM ． （2）为平面ADM ⊥平面ABCM ，交线是AM ，所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM ． 以M 为坐标原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系．设2MA =，则(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，(1D ，0，1)，(1,2,1)BD =-． 设(01)BE BD λλ=<<，则(,22,)ME MB BE λλλ=+=-． 设1(n x =，y ，)z 是平面AME 的法向量，则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩，取1(0n =，λ，22)λ-．平取面AMD 的一个法向量是2(0n =，1，0)．依题意1212125|cos ,|5||||n n n n n n ⋅<>==，即2255(22)λλλ=+-，解方程得12λ=， 因此E 是线段BD 的中点时，二面角E AM D --为大小为55．。

高二上学期阶段性测试数学（理）试卷2013.10一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =( ) A ．21- B ．2- C ．2 D ．212. 在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则C ∠=( )A ．030B ．045C ．0150D ．0135 3. 公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（ ） A ．1B.2C.3D.44．在ABC ∆中，︒=60A ，16=b ，面积3220=S ，则=a （ ）A ．610B ．49C ．51D ．755．在ABC ∆中，32=a ，22=b ，︒=45B ，则=A （ ）A ．︒30B ．︒60C ．︒30或︒150D ．︒60或︒120 6.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）. A.21 B.20 C.19 D. 187. 已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形8. 若1，1a ，2a ，3a ，4成等比数列，3，1b ，2b ，3b ，5成等差数列，则22a b =（ ）A ．12B ．12-C ．2±D ．12±9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1,ABC a b S ∆==则=（ ） A．BCD ．210．数列{}()()=⊥+===→→+→→10011,,1,,,,1a n a a n a a b a b a n n n 则且中（ ）A B ． 100 D ．—10011. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于( )A.49 B. 837 C. 1479 D. 24149 12.已知等比数列{}n a 满足*∈>N n a n ,0，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，=+++-1223212log ...log log n a a a ( )A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（每题4分，共16分）13．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是__________14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，030B =，ABC ∆的面积为32，则b = 15、已知数列{}na 满足=n a 16、 已知()1,11f =，()()**,,f m n N m n N ∈∈，且对任意*,m n N ∈都有： ①()(),1,2f m n f m n +=+ ②()()1,12,1f m f m +=给出以下三个结论：（1）()1,59f =； （2）()5,116f =； （3）()5,626f = 其中正确结论为 ___三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,b AC a BC ==且b a ,是方程02322=+-x x 的两根，.1)c o s (2=+B A（1）求角C 的度数； （2）求AB 的长； （3）求ABC ∆的面积18．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C2sin c A =. (1)确定角C 的大小；（2）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值19.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+． (1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,并求{}n a 的通项公式；（2）令,1+⋅=n n n a a b n n b b b b T++++=...321，20. (本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn ＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由． .21．(本小题满分12分)如图，海中小岛A 周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?22．(本小题满分14分)已知点（1，2）是函数()(01)x f x a a a =>≠且的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和()1n S f n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．高二上学期阶段性测试数学试卷参考答案2013.10二、填空题答案：13.57 14.1 15.16. ①②③三、解答题答案：17.18.解：2sin c A =及正弦定理得，sinsin a A c C ==，sin 0,sin 2A C ≠∴=Q ，ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=.（Ⅱ）,.3c C π==Q 由面积公式得，1sin 6232ab ab π==即 ①由余弦定理得，22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故.19.（2）)511(4221+-=⋅=⋅=+n a a b n n n ．．．．．．．．．．．．．9分．．．．．．．．．．．．12分153528335a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n. ．．．．．．．．．．．．．4分 (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4， ∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2.．．．．．．．．．8分(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0； 当n ＞9时，S nn ＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19．．．．．12分21. 解: 在△ABC 中,BC =30,∠B =30°,∠C =135°,所以∠A =15°. ．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理知即所以 ．．．．．．．．．．７分于是，A 到BC 边所在直线的距离为：sin sin BC AC A B =，30sin15sin 30AC=︒︒，30sin 3060cos1560cos(45-30)sin1560(cos 45cos30sin 45sin 30)AC ︒==︒=︒︒︒=︒︒+︒︒=(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险. ．．．．．．．．．．．．．11分答：此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险.．．．．．．．．．．．．．12分22．解：（Ⅰ）把点(1,2)代入函数()xf x a=得2a=.所以数列{}n a的前n项和为()121nnS f n=-=-.．．．．．．．．．．．．．．．3分当1n=时，111a S==当2n≥时，111222n n nn n na S S---=-=-=对1n=时也适合12nna-∴=.．．．．．．．．．．．．．．．６分（Ⅱ）由12,logn a na b a+==得nb n=，所以12-⋅=nnnnba.．．．．．．．．．．．8分 01211222322nnT n-=⋅+⋅+⋅++⋅，①∴12312122232(1)22n nnT n n-=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②由① - ②得，012122222n nnT n--=++++-⋅, ．．．．．．．．．．．．12分所以(1)21nnT n=-+.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分sin451)40.982AC︒=⨯=≈。

2024年10月高二月考数学测验试题一、单选题1．已知直线l 的一个方向向量为，则直线l 的倾斜角（ ）A ．0B．C ．D ．2．若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝（ ）A ．B ．－1C ．－D ．13．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设动直线l 与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知圆，直线与圆C 相交于两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．或6．.若一条光线从点A(−2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y−2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A. −53或−35B. −32或−23C. −54或−45 D. −43或−347．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）.A ．B ．或 θ=π6π4π31313()1,1P 2260x y y +-=AB AB 210x y --=210x y -+=230x y +-=230x y +-=()22:15C x y ++=e ,A B AB 2x y a +=2ax y a +=2ax y +=x ay a+=()22:14C x y -+=:20l x my m -+=,A B 43m =-43m =43m =-0m =43m =0m =21y kx k =++122y x =-+k 1162k -<<16k <-12k >C ．D ．8．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）A ．[2,32]B ．C ．D ．[2,32)二、多选题9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）A ．在轴上的截距为B ．过点且不垂直x 轴C ．若，则或D ．若，则10． 圆和圆的交点为，，则有（ ）A ．公共弦所在直线方程为B ．线段中垂线方程为C ． P （m,n ）为圆上一动点，则(m+2)2+(n-4)2的最大值为6D ．经过A 、B 两点且圆心在直线x -y -5=0上的圆C 的面积是13π 11．下列结论正确的是（ ）A ．已知点在圆上，则的最大值是4B ．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离C ． 曲线C 1:x 2+y 2+2x =0与曲线C 2:x 2+y 2−4x−8y +m =0恰有三条公切线，则m =4D ．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是三、填空题12．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x−y +c2=0上，则m +c 的值等于________．62k -<<12k >1:310(R)l mx y m m --+=∈2:310(R)l x my m m +--=∈P P 0x y +=d()1110l x a y +-+=：2220l ax y ++=：1l x 1-2l ()0,1-12l l //1a =-2a =12l l ⊥23a =221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A B AB 0x y -=AB 10x y +-=1O (),P x y ()()22:112C x y -+-=x y +(),P a b 222x y r +=l 2ax by r +=l ()()()222:440M x y r r -+-=>()1,0N r ()4,613．写出圆：与圆：的一条公切线方程 ．14．已知圆C 的方程为x 2+y 2=2，点P 是直线x−2y−5=0上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为 ；直线AB 过定点 ．四、解答题15． (1) 若直线l 经过点,且被两条相交直线和所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．(2) 已知圆C:(x−a )2+(y−b )2=r 2(a >0,r >0)上，且截x 轴的弦长为2，截y 轴的弦长为求圆C 的方程.16．已知圆,直线过点．(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线l 分别与轴､轴的正半轴交于两点，求△AOB 面积的最小值及此时的直线方程.17．在平面直角坐标系中，三个点到直线l 的距离均为d ，且．(1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 求圆C 的标准方程．18． 已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．(1)求曲线的方程；(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点．M ()()22215x y -+-=N ()()22215x y +++=()2,4P -1:220--=l x y 2:70l x y +-=0y +=22:(2)1C x y -+=l ()3,2P l C l x y ,A B (0,0),(2,0),(0,6)O A B -1d <(1,0)AB B ()64，A C AB M()()22421x y -+-=C k l C O E F ，，OE OF ，1k 2k 122k k =．l19．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB 为2，宽BC 为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为M .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M 的坐标，并求折痕上任一点（x,y ）满足的等式；（3）当时，求折痕长的最大值.参考答案：题号12345678910答案B BBD C D A D ABD ABD 题号11 答案ACD12．【答案】313．（或之一也可以）14． 【答案】 6；(25,−45) 四．解答题15．(1)(2) 16． (1)3x-4y-1=0或 （2）面积最小值12 2x +3y -12=017．(1) (2)18．（1）（1）设，，ABCD AB AD x y A A DC k k k -20k ≤≤20x y +=250x y -+=250x y --=440x y ++=()2214x y -++=（3x =330x y --=22(2)1x y -+=(),A x y ()00,M x y由中点坐标公式得因为点的轨迹方程是，所以，整理得曲线的方程为．（2）设直线的方程为，m ≠0，，，，由，得，所以，，所以，所以，且即，即，所以直线的方程为，即直线过定点．19．（1）； （2）； (3).006,24.2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩M ()()22421x y -+-=226442122x y ++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ()2224x y -+=l y kx m =+()11,E x y ()22,F x y 120x x ≠()2224y kx m x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩()()2221220k xkm x m ++-+=()122221km x x k -+=-+21221m x x k=+()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++===()222222241121km km m k k k m m k -++=+=+=+4m k =Δ0>()()22242410km k m --+>2440m km +-<l ()4y k x =+l ()4,0P --1y x =+2122k y kx =++。