江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷缺答案

2020-2021学年第一学期高二数学基础试卷2020.10.8一､单选题(每题5分,共40分)1.,则() A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项2.设数列{}n a 的前m 项和2n S n =,则8a 的值为A.15B.16C.49D.64 3.不等式3112x x-≥-的解集是() 3.|24A x x ≤≤3.{|2}4B x x ≤< 3.|4C x x ≤-或2}x > D. {x|x<2}4.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍｡初日屠五两,今三十日屠讫,向共路几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,向一共屠了多少两肉?“在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35B.75C.155D.315 5.已知22,,100,m n m n ∈+=R 则mn 的最大值是()A.100B.50C.20D.106.在正项等比数列{}n a 中,374,a a =数列2{log }n a 的前9项之和为()A.11B.9C.15D.137.数列{}n a 的前n 项和为2*23(),n S n n n =-∈N 若p-q=5,则p q a a -=()A.20B.15C.10D. -58.函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为() A.3 B.2 C.1 D. -1二､多选题(每题5分,共20分;选对得5分,少选得3分,选错不得分)9.已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为,n S 满足1263,a a S +=则下列四个选项中正确的有7.0A a = 13.0B S = 7.C S 最小 58.D S S =10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若142332,12a a a a ⋅=+=,则下列说法正确的是()A. q=2B.数列{2}n S +是等比数列8.510C S = D.数列{lg }n a 是公差为2的等差数列11.设正实数a,b 满足a +b=1,则()12 11.B a b +有最大值4.C 22.D a b +有最小值12 12.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意n N +∈ ,均有,n k n a a +>则称{}n a 是间隔递增数列, k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是()A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知4,n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列 C.已知2(1),n n a n =+-则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知22020,n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔是3,则4≤t<5三､填空题(每题5分,共20分)13.不等式2560x x -+<的解集为________. 1111114.22424624682462020+++++++++++++++=_______. 15.设a>0, b>1,若a+b=2,则911a b +-的最小值为________. 16.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且1222(2)n n n n S S S n +++=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n ∀∈N 都成立,则实数λ的最小值为_______.四､解答题(共70分; 17题和18题各10分, 22题14分,其余各题每题12分)17.已知数列{}n a 的前n 项和为2230.n S n n =-(1)当n S 取最小值时,求n 的值;(2)求出{}n a 的通项公式.18. (1)已知x>0, y>0,且2x +5y=1,求11x y +的最小值. (2)已知2()(2)2(f x x m x m m =+--∈R ),求f(x)<0的解集.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 等比数列{}n b 的前n 项和为,n T ,若114243,,a b a b S ===-212.T =(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b +的前n 项和.20.2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足41k x m =-+(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件,已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按816x x +元来计算)｡ (1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?21.数列{}n a 满足:212,*231n a a a n n n n +++=+∈+N . (1)求{}n a 的通项公式;(2)设1,n n b a =数列{}n b 的前n 项和为,n S 求满足920n S >的最小正整数n.22.已知{}n x 是各项均为正数的等比数列,且12323,2x x x x +=-=(1)求数列{}n x 的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点1122111(,1),(,2)(,1)n n P x P x P x n +++得 到折线121,n PP P +,求四边形11n n n n x x P P ++的面积;(3)求由该折线与直线110,,n y x x x x +===所围成的区域的面积.n T。

江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果a ＜b ＜0，那么下面一定成立的是（ ） A ．ac ＜bcB ．a ﹣b ＞0C ．a 2＞b 2D ．1a ＜1b2．已知椭圆C 左､右焦点坐标分别是()),，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．2213y x +=C ．22123x y +=D ．22132x y +=3．已知数列{}n a 满足111,2+==+nn n a a a ，则10a =（ ）A ．1024B ．1023C ．2048D ．20474．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ） A ．－24B ．－3C ．3D ．85．关于x 的不等式()2110+++<ax a x （0a <）的解集为（ ） A ．1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,⎛⎫--⎪⎝⎭a C ．()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭6．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．127．已知,0x y >，且112x y+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．3-B ．32- C ．3+D ．32+ 8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ）A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91-D ．()n1314- 9．设()()12,0,,0F c F c -是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，若12215∠=∠PF F PF F .则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．310．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100C ．100-D ．1020011．已知-2与1是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则2222+a b c ab的最大值为（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-812．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771．） A ．2.6天 B ．2.2天C ．2.4天D ．2.8天二、填空题13．若关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，则实数a 的取值范围是______.14．设数列{}n a 是公差0d <的等差数列，n S 为其前n 项和，若61510S a d =+，则n S 取最大值时，n =_____．15．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最小值为______.16．若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则实数a 的取值范围为______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和100T . 18．已知()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5. （1）求()f x 的解析式；（2）不等式组()()00f x f x k ⎧>⎪⎨+<⎪⎩的正整数解只有一个，求实数k 取值范围；（3）若对于任意[]1,1x ∈-，不等式()2⋅≤t f x 恒成立，求t 的取值范围.19．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=，求12F PF S ∆. 20．设数列的前项和为n S ， 满足*31()42n n a S n N =+∈ （1）求数列的通项公式；（2）令n n b na =， 求数列{}n b 的前项和n T ． 21．已知数列{}n a ､{}n b 中，对任何正整数n 都有:11213312122+---+++++=--n n n n n n a b a b a b a b a b n（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是首项为1的等比数列，数列{}n a 是否是等差数列？若是请求出通项公式.22．数列{}n a ，11a =，2123n n a a n n +=-+（n *∈N ）（1）是否存在常数,λμ，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在，求出,λμ的值若不存在，说明理由； （2）设12311,2-==+++++-n n n n n b S b b b b a n ，证明:当2n ≥时，()19751213+≤<+n n S n .参考答案1．C 【分析】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立；对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，故a 2＞b 2，所以一定成立；对于选项D ，11a b>，所以一定不成立. 【详解】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立； 对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，22()()0a b a b a b -=+->，所以a 2＞b 2，所以一定成立； 对于选项D ，110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以一定不成立. 故选：C 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．A 【分析】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x ya b a b +=>>，则222c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解出即可.【详解】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2223c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2231a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的焦点坐标，椭圆的离心率，根据题意，利用,,a b c 的值求椭圆的标准方程，属于基础题目. 3．B 【分析】由递推关系，利用累加法求10a ． 【详解】因为12n n n a a +=+，即12nn n a a +-=，所以1029101213210912()()()1222102312a a a a a a a a -=+-+-++-=++++==-．故选：B ． 【点睛】本题考查由递推关系求数列的项，解题方法是累加法．当递推式是数列前后的差时，可用累加法求通项，若已知的是前后项的商，则可用连乘法求通项． 4．A 【分析】根据等比数列的性质和等差数列的通项公式列式解得公差，再根据等差数列的前n 项和公式计算可得结果. 【详解】设{a n }的公差为d (0)d ≠， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以2326a a a =⋅即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，所以2120d a d +=，因为0d ≠，所以12212d a =-=-⨯=- 所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋652⨯d ＝1×6＋652⨯×(－2)＝－24. 故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 5．C 【分析】把原不等式变形为1ax +与1x +积小于0，根据a 小于0，在不等式两边同时除以a ，不等号方向改变，化为1(1)()0x x a ++>，易得1-与1a-的大小，结合不等号方向，可以写出原不等式的解集，进而做出正确的选择. 【详解】原不等式化为(1)(1)0x ax ++<，因为0a <，所以进一步化为1(1)()0x x a++>， 因为0a <，所以11a->-， 所以1(1)()0x x a++>的解集为1x <-或1x a>-， 即原不等式的解集为1(,1)(,)a-∞--+∞， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的求解问题，在解题的过程中，注意利用不等式的性质对不等式进行等价变形，再者就是根据题意比较两个边界值的大小，属于简单题目. 6．B 【分析】设等比数列项数为2n 项,先根据奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比,可得通项公式，进而根据中间两项的和为24求得n. 【详解】设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则:2q S S ==奇偶,又它的首项为1，所以通项为12n na ，中间两项的和为112224n nn n a a -++=+=，解得4n =，所以项数为8，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是利用奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比. 7．D 【解析】由112x y+=得，11122x y +=，因为,0x y >，，所以 2x y +=()1113321222222y x x y x y x y ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x = 时等号成立），故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 8．B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题． 9．B 【分析】根据题意可知1290F PF ∠=︒，12215∠=∠PF F PF F ，进而求得12PF F ∠和21PF F ∠，在12Rt PF F ∆中，分别表示出1PF 和2PF，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率. 【详解】因为P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点， 所以1290F PF ∠=︒， 因为12215∠=∠PF F PF F ，所以2115PF F ∠=︒，1275PF F ∠=︒，，所以1212sin 2sin15PF c PF F c =⋅∠=︒，2122sin 2sin75PF c PF F c =⋅∠=︒，所以1222sin152sin 752(44a PF PF c c c =+=︒+︒=+=，所以22c e a ===， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的求解问题，在解题的过程中，注意应用直角三角形两个锐角的倍数关系求得角的大小，求得两个直角边长，结合椭圆离心率的定义求得离心率的大小，属于简单题目. 10．B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和. 11．B 【解析】4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，得2b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以 ()2222423411444a b c a a a a ab a a a ⎡⎤++⎛⎫==+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选B ．点睛：本题考查基本不等式的应用．由题意得到2b ac a =-⎧⎨=-⎩，代入得2222423414a b c a a a ab a a++==+，又基本不等式2a b +≥要求,0a b >，所以变换得到 ()11444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得到答案． 12．A 【分析】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ．莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．利用等比数列的前n 项和公式及其对数的运算性质即可得出．． 【详解】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ． 莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A n 1312112n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，B n 2121n -=-，由题意可得：13121212112n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，化为：2n 62n +=7，解得2n ＝6，2n ＝1（舍去）． ∴n 62lg lg ==132lg lg +≈2.6． ∴估计2.6日蒲、莞长度相等， 故选A ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．(3,2)--. 【分析】由已知中关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，根据方程的根与对应函数零点之间的关系，我们易得方程相应的函数在区间(0,1)与区间(1,)+∞上各有一个零点，此条件可转化为不等式组(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，解不等式组即可得到实数a 的取值范围.【详解】依题意，函数22()24f x x ax a =++-的两个零点12,x x 满足1201x x <<<，根据一元二次方程根的分布，一定有(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，即22401240a a a ⎧->⎨++-<⎩，解得32a -<<-， 故答案为：(3,2)--. 【点睛】该题考查的是有关根据一元二次方程根的分布，构造不等式组求参数的取值范围问题，在解题的过程中，注意正确写出不等式组是解题的关键，属于简单题目. 14．5或6 【分析】由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+，得60a =，又公差0d <，即可得出． 【详解】解：由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+， 化为150a d +=，60a ∴=， 又公差0d <，因此n S 取最大值时，5n =或6， 故答案为：5或6． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的前n 项和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．3-. 【分析】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即可得到. 【详解】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即23()14x y +≤，解得x y ≤+≤，所以x y +的最小值为3-，故答案为：3-. 【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式的变形，求代数式的最值问题，属于简单题目. 16．[2,2]-. 【分析】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，按照二次函数的对称轴分类求出最值即可.【详解】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，22()()2f x x a a a =-++-，当0a ≤时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，min ()(0)20f x f a ==+≥，解得2a ≥-，所以20a -≤≤，当0a >时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增，所以2min ()()20f x f a a a ==+-≥，解得12a -≤≤，所以02a <≤，综上，a 的取值范围是22a -≤≤， 故答案为：[2,2]-. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将恒成立向最值靠拢，涉及的思想是分类讨论，属于较难题目. 17．（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）10025101T =. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3577,26a a a =+=，可得12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1,a d 即可得出结果；（2）由（1）知，21n a n =+，可得221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，运用裂项相消法求和，之后将100n =代入求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为3577,26a a a =+=，所以12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+； （2）由（1）知21n a n =+，221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，所以11111111(1)(1)4223141n T n n n =-+-++-=-++， 所以1001125(1)4101101T =-=. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式的求解，利用裂项相消法求和，属于简单题目.18．（1）2()210f x x x =-；（2）[2,1)-；（3）11[,]46-.【分析】（1）根据不等式()0f x <的解集是(0,5)，得到0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，利用韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果；（2）首先求得不等式组的解，根据只有一个正整数解，得到参数所满足的条件，求得结果； （3）根据不等式恒成立，分类讨论，结合函数图象的特征求得结果. 【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，可得052052b c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩所以2()210f x x x =-；（2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩即为，22221002(2)10()0x x x kx k x k ⎧->⎨++-+<⎩， 解得055x x k x k ⎧⎨-<<-⎩或，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6， 可得657k <-≤，解得21k -≤<-， 所以k 的取值范围是[2,1)-；（3）()2tf x ≤，即2(210)2t x x -≤，即2510tx tx --≤，当0t =时显然成立， 当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩，即510510t t t t +-≤⎧⎨--≤⎩，解得1146t -≤≤，所以106t <≤， 当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 所以有510t t --≤，解得14t ≥-，即104t -≤<， 综上，t 的取值范围是11[,]46-. 【点睛】该题考查的是有关利用三个二次之间的关系解决问题的思路和方法，在解题的过程中，注意不等式的解集的端点值就是其对应方程的根，根据不等式解的情况判断其端点值所满足的条件，恒成立问题分类讨论，属于较难题目.19．（1）2214x y +=；（2）3. 【分析】（1）由椭圆性质可知，2c e a ==，并结合222c a b =-可以得到a 与b 的关系，由“椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4”，可以列出关系式：12242a b ⨯⨯=，由此可以求出a 、b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）利用椭圆定义和余弦定理，列出等量关系式，求得1243PF PF =，最后利用三角形的面积公式求得结果 【详解】（1）由c e a ==，得到2234a c =， 再由222c a b =-，得2a b =， 由题意知12242a b ⨯⨯=，知2ab =， 解方程组22a bab =⎧⎨=⎩，得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）由椭圆定义可知124PF PF +=，即221212216PF PF PF PF ++=，由余弦定理可得22212122cos60PF PF PF PF +-⋅⋅︒=， 两式相减得122(1cos60)4PF PF +︒=，即1243PF PF =，所以1212114sin 6022323PF F S PF PF ∆=︒=⨯⨯=.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，焦点三角形的面积，在解题的过程中，可以借机推导出焦点三角形面积公式，属于简单题目. 20．（1）212n n a -=；（2）211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 【分析】（1）求数列通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥分1,2n n =≥求解，最后验证两种情况能否合并；（2）整理212n n n b n a n -=⋅=⋅，根据通项公式特点采用错位相减法求和【详解】 （1）∵31()42n n a S n N *=+∈∴1131(2)42n n a S n --=+≥ 两式相减，得∴111,4(2).4n n n n a a a n a --==≥ 又113142a S =+，即11131242a a a =+∴= {}n a ∴是首项为2，公比是4的等比数列∴1222124222n n n na ---=⋅=⋅=．（2）212.n n n b n a n -=⋅=⋅35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅①②①-②，得3521213(2222)2.n n n T n -+-=++++-⋅故211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 21．（1）见解析；（2）当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【分析】（1）根据等差数列的性质求得数列{}n a 的通项公式，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--中，利用错位相减法，结合数列的项与和的关系求得12n nb -=，进而推断数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，结合{}n b 首项为1，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--，整理得到1(21)22n n n n q a n +--+=--，进而求得n a 的表达式，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必须2q，进而得出结论当等比数列{}n b 的公比2q 时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【详解】（1）依题意数列{}n a 的通项公式是n a n =， 故等式即为1122123(1)22n n n n b b b n b nb n +--++++-+=--，123123(1)21(2)n n n n b b b n b n n ---++++-=--≥，两式相减得122121n n n n b b b b b --+++++=-，验证1n =时也成立，可求得12n nb -=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则1n n b q -=，从而有1231123122n n n n n n qa q a q a qa a n ---+-+++++=--，234123121(2)n n n n n q a q a q a a n n ----++++=--≥，所以1(21)22n n n n q a n +--+=--，(2)2(1)2n n a q q n q =-⋅+-+-，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q ，即当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，探究一个数列是等差数列的条件，属于难题.22．（1）存在1,1λμ=-=满足条件；（2）见解析. 【分析】（1）由题意知212(2)n na a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，所以存在11λμ=-⎧⎨=⎩，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由题意知21n b n =，之后应用放缩法，结合裂项相消求和，证得右半部分，利用数学归纳法证得左半部分，最后证得结果. 【详解】（1）设2123n n a a n n +=-+可化为221(1)(1)2()n n a n n a n n λμλμ+++++=++， 即212(2)n n a a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=⎩，且21110a -+≠，所以存在1,1λμ=-=，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由（1）得2211(11)2n n a n n a --+=-+⋅， 所以122n n a n n -=+-，故12112n n n b a n n -==+-，因为222144224412121n b n n n n n ==<=---+， 当2n ≥时，1232222225251()()()355721213213n n S b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-++， 下边验证19712(1)n n S n +≥+，当2n =时，215144S =+=，192745512(21)364⨯+==+，显然成立， 假设当n k =时命题成立，即211119714912(1)k k k +++++≥+， 则当1n k =+时，22211111971149(1)12(1)(1)k k k k k ++++++≥++++， 要使命题成立，即为2197119(1)712(1)(1)12(2)k k k k k ++++≥+++，两边同乘以212(1)(2)k k ++得2(197)(1)(2)12(2)(1926)(1)k k k k k k +++++≥++， 展开得322322197572138141224192638521926k k k k k k k k k k k +++++++≥+++++，整理得3826≥，显然成立， 所以当1n k =+时命题也成立， 综上，对2n ≥，都有19712(1)n n S n +≥+，故当2n ≥时，197512(1)3n n S n +≤<+，命题得证.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用题中所给的递推公式，研究是否存在相关常数满足对应数列是等比数列的解集方法，利用放缩法和数学归纳法证明不等式，属于难题.。

江苏省梅村高级中学2020-2021学年高三（上）暑期检测卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,4,6A =，{}233n B n =∈<N ，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．212ii-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -3．ABC 中，0AB BC ⋅>，则ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则暑针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒5．已知函数(]2,,1xy x m n x -=∈+的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()1,2-C ．[)1,2D ．[)1,2-6．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42g x x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．7,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭7．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有2个空盒的放法有（ ） A ．144种B ．120种C ．84种D ．60种8．圆()()212231:x C y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B 1C ．6-D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选错和漏选的得0分． 9．己知函数()2361f x x x =--，则（ ）A ．函数()f x 在()2,3有唯一零点B ．函数()f x 在()1,-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[]1,1x ∈-上的最大值为8，则3a = D ．当01a <<时，若()x f a 在[]1,1x ∈-上的最大值为8，则13a = 10．下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ= D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件11．下图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（ ）A ．sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．5cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭12．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆．B ． :8p a ≥；q ：对[]1,3x ∈不等式20x a -≤恒成立．C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列， p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a -+<．D ．已知空间向量()0,1,1a =-，(),0,1b x =-，:1p x =；q ：向量a 与b 的夹角是3π． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______________．14．设椭圆22143x y +=的焦点为1F ，2F ，点Р在椭圆上，若12PF F 是直角三角形，则12PF F 的面积为______________．15．如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =______________．16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的体积为___________，该正三棱锥内切球的半径为___________．（第一空3分，第2空2分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a ＋，34a +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和n S ．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 面积的取值范围．19．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21．已知抛物线24y x =，与圆()22:11F x y -+=，直线:4MN x my =+与抛物线相交于M ，N 两点．（1）求证：OM ON ⊥．（2）若直线MN 与圆F 相切，求OMN 的面积S ． 22．（12分）已知函数()2ln 2,f x x a x x a =--∈R ．（1）若函数()f x 在()0,+∞内单调，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()1212f x f x x x +的取值范围．。

2020-2021无锡市梅村中学高三数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．若不等式组22yx yx yx y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（）A．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．(]0,1C．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．若正数,x y满足20x y xy+-=，则32x y+的最大值为（）A．13B．38C．37D．13．已知,x y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y-的最小值为（）A．4B．8C．12D．164．等差数列{}n a满足120182019201820190,0,0a a a a a>+>⋅<，则使前n项和0nS>成立的最大正整数n是（）A．2018B．2019C．4036D．40375．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．3323B．5323C．323D．83236．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．147．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km8．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.15．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________16．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 17．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .20．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值. 22．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 23．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，212(2)54(2)5922x x x x -++≥-⋅+=--Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 90290BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒.【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12．B 解析：B【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.二、填空题13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.14．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <， 再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.16．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛解析：14【解析】 【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 2a b C ab +-==，化简221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得22ab +≤所以三角形面积1121sin 22224S ab C =≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.17．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}【解析】 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=2920n n a b n n =-+-Q 219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6本题正确结果：{}5,6 【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.19．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.20．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：；2【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011sin 60322222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=考点：余弦定理，三角形面积公式.三、解答题21．（1）4π；（2. 【解析】 【分析】（1）由二倍角的余弦公式把24sin4sin sin 22A BA B -+=+的余弦公式求cos()A B +，由三角形三内角和定理可求得cos C ，从而求得角C ； （2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求E 边. 【详解】 试题分析：（1）由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=+化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=，故cos()A B +=34A B π+=，因为A B C π++=，所以4C π=.（2）因为1sin 2S ab C ⊥=，由6ABC S =V ，4b =，4C π=，所以a =， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以c =. 【点睛】本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题. 22．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++--【解析】试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得32311(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11{2a q ==则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1112(21)(21)nn n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和23．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n na a n n +=+，则{}n a n为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥，所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列， 又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =. （2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论． 24．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）2+. 【解析】分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A = 又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos 2A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：224222b c bc bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．25．（1）见解析（2）1242n n n S -+=- 【解析】 【分析】（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+， 所以()1222n n b b ++=+，即1222n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，11332322n n n n n nb --==+⋅， 所以02111222n n n n n S ---=+++L 0222222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭L 11111221212n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1242n n -+=-． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题. 26．（1）61n a n =-；（2）9n ≥且*n N ∈；（3）5(65)n nT n =+．【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出方程217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解方程组再求n a 即可.（2）首先计算n S ，再解不等式6512n n S a n >--即可. （3）首先得到11166(1)65n b n n =--+，再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】（1）由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得156a d =⎧⎨=⎩所以61n a n =-． （2）由（1）得2(1)56322n n n S n n n -=+⨯=+， 因为6512n n S a n >--，即2329180n n -+≥. 解得23n ≤或9n ≥， 因为1n ≥且*n ∈N ，所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . （3）因为11111611()()6(615)566n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111[()()()]651111176165n T n n =-+-+⋯+--+ 1116565(5)65)(n n n -==++ 【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.。

2024-2025学年江苏省无锡市梅村高级中学空港分校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x =3k +2,k ∈Z}，则下列判断正确的是( )A. 3∈AB. 4∈AC. −3∈AD. −4∈A2.命题“∃x ≥1，使x 2>1.”的否定形式是( )A. “∃x <1，使x 2>1.”B. “∃x <1，使x 2≤1.”C. “∀x ≥1，使x 2>1.”D. “∀x ≥1，使x 2≤1.”3.下列图象中，以M ={x|0≤x ≤1}为定义域，N ={x|0≤x ≤1}为值域的函数是( )A. B.C. D.4.图中U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，则阴影部分所表示的集合为( )A. ∁U (A ∪B)B. ∁A (A ∩B)C. (∁U A)∪(∁U B)D. (∁U A)∩B5.已知f( x −1)=x−2 x ，则f(x)的解析式为( )A. f(x)=x 2−1B. f(x)=x 2+1(x ≥−1)C. f(x)=x 2−1(x ≥−1)D. f(x)=x 2+16.已知函数y =f(x)的定义域为[−1,4]，则y =f(2x +1)x−1的定义域为( )A. [−5,5]B. (1,32]C. (1,5]D. [−5,32]7.函数y =3x kx 2+2kx +1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为( )A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (0,1)D. [0,1)8.已知关于x的不等式组{x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则k的取值范围为( )A. (−5,3)∪(4,5)B. [−5,3)∪(4,5]C. (−5,3]∪[4,5)D. [−5,3]∪[4,5]二、多选题：本题共3小题，共18分。

山东师大附中2019级数学2020年10月学业质量检测题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他★答案★标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，★答案★必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的★答案★，然后再写上新的★答案★，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量，若12//l l ，则（ ） A. 8,28m n == B. 4,28m m == C. 288,3m n ==D. 284,3m n ==【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意，得//a b ，由此可求出★答案★．【详解】解：∵12//l l ，且(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量， ∴//a b ，∴3674m n==， ∴288,3m n ==，故选：C ．【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题．2. 已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ）A.607B. 14C. 12D.627【★答案★】B【解析】【分析】由题意可知c xa yb=+，利用向量相等，列方程组求实数m的值.【详解】若,,a b c共面，则c xa yb=+，即()()()()7,5,2,1,41,1,22,,42m x y x y x y x y=-+--=--+-，所以27542x yx yx y m-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得：12,17,14x y m===.故选：B【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.3. 在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若,,PA a PB b PC c===，则BE=（）A.111222a b c-+ B.131222a b c--C.131222a b c-+ D.113222a b c-+【★答案★】C【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB =-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC=-+--=-+131222a b c -+=. 故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题. 4. 若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-，且a 与b 的夹角的余弦值为26-，则实数x 的值为（ ） A. 3- B. 11C. 3D. 3-或11【★答案★】A 【解析】 【分析】根据公式cos ,a b a b a b⋅<>=，计算结果.【详解】根据公式()22228102cos ,61625122a b x a b a bx ⋅+-<>===-++⨯+-+， 222241x x -=-+，且2x < 解得：11x =（舍）或3x =-. 故选：A【点睛】本题考查根据空间向量夹角公式求参数，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略在解方程是注意2x <这个条件.5. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A510B.1010C.55D.105【★答案★】D 【解析】 【分析】根据垂直关系，作111C M B D ⊥，1C BM ∠为所求角，直角三角形1C MB 中求111sin C MC BM C B∠=. 【详解】如图，作111C M B D ⊥，交11B D 于点M ，连接MB ，因1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB C M ⊥，又因为111C M B D ⊥，且1111BB B D B ⋂=，所以1C M ⊥平面11BB D D ，即1C BM ∠为所求角，221112BC =+=，2211125B D =+=所以1125C M ⨯=⨯，所以1255C M =11125105sin 52C M C BM C B ∠===.故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.6. 四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A.55B.15C.25D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)，1cos ,||||526n AP n AP n AP ∴<>==⨯，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则1sin 526α=⨯，于是P 到平面ABCD 的距离为5||sin 5AP α=，即四棱锥P ABCD -的高为55． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．7. 已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,，则向量b 在向量a 上的投影向量为（ ） A. 244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭ B. 244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C. 211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭D. 211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【★答案★】B 【解析】 【分析】首先求出向量b 在向量a 上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为(1,22)(2,11)a b ==-,,,，所以2121212a b =-⨯+⨯+⨯=， 所以向量b 在向量a 上的投影为222223221a b a==++ 设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则()0m a λλ=>且23m =， 所以(),2,2m λλλ=，所以22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ= 所以244,,999m ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 8. 三棱柱111ABC A B C -侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A.12B.22C.32D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(,P λ0，1)，11,,122PN λ⎛⎫=--⎪⎝⎭，平面ABC 的一个法向量为(0,n =0，1) 设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ21sin 15()24PN n PN nθλ⋅∴==⋅-+， ∴当12λ=时，25(sin )5max θ=，此时角θ最大． 故选A ．【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下列命题中不正确的是（ ） A. a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B. 若,C AB D 共线，则//AB CDC. ,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面D. 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)，则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充分不必要条件 【★答案★】ABD 【解析】 【分析】由向量的共线性质，可判定A 不正确；由向量的共线与点共线的关系，可判定B 不正确；由空间向量的基本定理可判定C 正确；由向量的共线定理，可判定D 不正确. 【详解】由a b a b -=+，可得向量,a b 的方向相反，此时向量,a b 共线， 反之，当向量,a b 同向时，不能得到a b a b -=+，所以A 不正确； 若,C AB D 共线，则//AB CD 或,,,A B C D 四点共线，所以B 不正确； 由,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++， 因为3111488++=，可得,,,P A B C 四点共面，故C 正确； 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)， 当1λμ+=时，即1μλ=-，可得()PA PC PB PC λ-=+，即CA CB λ=， 所以,,A B C 三点共线，反之也成立，即1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件， 所以D 不正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查了以向量的基本定理及向量共线的性质的判定为背景的命题的真假判定，其中解答解答中熟记平面向量的共线定理和平面向量的基本定理，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10. 已知空间三点(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，则下列说法正确的是（ ） A. 3AB AC ⋅=B. //AB ACC. 23BC =D.3cos ,65AB AC <>=【★答案★】AC 【解析】 【分析】由坐标求出,,AB AC BC ，即可依次计算判断每个选项正误. 【详解】(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ∴==-=--， ()0220133AB AC ⋅=⨯-+⨯+⨯=，故A 正确；不存在实数λ，使得AB AC λ=，故,AB AC 不共线，故B 错误；()()22222223BC =-+-+=，故C 正确；3365cos ,65513AB AC AB AC AB AC⋅<==⨯⋅>=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.11. 在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，则以下结论正确的有（ ） A. 0SA SB SC SD +++= B. 0SA SB SC SD +--= C. 0SA SB SC SD -+-= D. SA SB SC SD ⋅=⋅【★答案★】CD 【解析】 【分析】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标计算即可判断.【详解】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，22OA OB OC OD ====，22214222SO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 则222214,0,0,0,,0,,0,0,0,,0,0,0,22222A B C D S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,214214,0,,0,,2222SA SB ⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 214214,0,,0,,2222SC SD ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0,0,214SA SB SC SD ∴+++=-，故A 错误；()2,2,0SA SB SC SD +--=，故B 错误；()0,0,00SA SB SC SD -+-==，故C 正确；22141470022222SA SB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22141470022222SC SD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即SA SB SC SD ⋅=⋅，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查空间向量的计算，属于基础题.12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则 （ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 三棱锥11P AC D -的体积为定值C. 异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[]45,90︒︒D. 直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【★答案★】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项D【详解】对于选项A,连接11B D ,由正方体可得1111AC B D ⊥,且1BB ⊥平面1111D C B A ,则111BB A C ⊥,所以11A C ⊥平面11BD B ,故111AC BD ⊥；同理,连接1AD ,易证得11A D BD ⊥,则1BD ⊥平面11AC D ,故A 正确；对于选项B,1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故B 正确； 对于选项C,当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒,故C 错误； 对于选项D,因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,111126cos 33C B C BD BD ∠===,故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力第Ⅱ卷三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 若(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，且()a b a λ→→→+⊥，则实数λ=______________. 【★答案★】919- 【解析】 【分析】利用已知条件求出a b λ→→+，然后()=0a b a λ→→→+⋅，求出λ即可. 【详解】(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，∴()=2+6,13,22a b λλλλ+--+,()a b a λ→→→+⊥,()=0a b a λ→→→∴+⋅,即()()()()2+6+1312220λλλ⨯--⨯-++⨯=2，解得：λ=919-. 故★答案★为：919-【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____． 【★答案★】14【解析】 【分析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出0AF BE ⋅=，进而得出14AE AF AB AF ⋅=⋅=. 【详解】如图，四面体ABCD 是正四面体，∴四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1，又点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，∴12AF AD =，0AF BE ⋅= ∴()1cos34AE AF AB BE AF AB AF BE AF AB AF π⋅=+⋅=⋅+⋅==. 故★答案★为：14. 【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题． 15. 四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1,3PD AB ==，G 是ABC 的重心，则直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为____________，PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为______________. 【★答案★】 (1). 223(2). 13【解析】 【分析】由重心的性质可求得BG 的长，从而得DG 的长，在Rt PDG 中，由tan tan PDPGD DGα=∠=即可得解；由PD ⊥底面ABCD ，知PGD θ∠=，结合第一空的结果即可得解． 【详解】解：G 是ABC 的重心，21213223232BG BD ∴=⨯=⨯⨯=，22DG BD BG ∴=-=，PD ⊥底面ABCD ，PD BD ∴⊥，在Rt PDG 中，1tan tan 22PD PGD DG α=∠==， 22cos 3α∴=，∴直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为223．PD ⊥底面ABCD ，PGD ∴∠即为PG 与底面ABCD 所成的角θ，由上可知，θα=， 1sin sin 3θα∴==， PG ∴与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为13．故★答案★为：223；13． 【点睛】本题考查线面角的求法，理解线面角的定义以便找出线面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16. 点P 是棱长为4的正四面体表面上的动点，MN 是该四面体内切球的一条直径，则PM PN ⋅的最大值是_______________. 【★答案★】163【解析】 【分析】作出图形，计算出正四面体ABCD 内切球O 的半径，由此可求得AO ，由空间向量数量积的运算性质得出223PM PN PO ⋅=-，进而可知当点P 为正四面体的顶点时，PM PN ⋅取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面体ABCD 的棱长为4，其内切球球心为点O ，连接AO 并延长交底面BCD 于点E ， 则E 为正BCD 的中心，且AE ⊥平面BCD ，连接BE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，且BF CD ⊥，2223BF BC CF =-=，24333BE BF ==， AE 平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，AE BE ∴⊥，则22463AE AB BE =-=， BCD 的面积为1432BCD S CD BF =⋅=△，∴正四面体ABCD 的体积为116233A BCD BCD V S AE -=⋅=△，设球O 的半径为R ，则1443A BCD O BCD O ACD O ABD O ABC O BCD BCD V V V V V V S R ------=+++==⨯⋅△，3643A BCD BCD V R S -∴==△，6AO AE OE ∴=-=，PM PO OM =+，PN PO ON PO OM =+=-，()()22223PM PN PO OM PO OM PO OM PO ∴⋅=+⋅-=-=-，当点P 位于正四面体ABCD 的顶点时，PO 取最大值， 因此，222221663333PM PN PO AO ⋅=-≤-=-=.故★答案★为：163. 【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长. 【★答案★】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【解析】 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题. 18. 已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --.（1）若点D 在直线AC 上，且BD AC ⊥，求点D 的坐标； （2）求以,BA BC 为邻边的平行四边形的面积.【★答案★】（1）11,,422⎛⎫⎪⎝⎭；（2）73. 【解析】 【分析】（1）由点D 在直线AC 上，可设AD AC λ=，利用0BD AC ⋅=可求出λ，进而得出点D 的坐标；（2）由,BA BC 求出,,BA BC BA BC ⋅，进而求出3sin 2B =，即可利用面积公式求解. 【详解】解：（1）(1,3,2)AC =-，点D 在直线AC 上， 设(1,3,2)AD AC λλ==-，(1,3,2),(1,3,2)(,23,32)O OD OD O A A λλλλλ-=-=+-=-+， (,23,32)(2,1,6)(2,13,23)BD OD OB λλλλλλ=-=-+--=+--，(1,3,2)(2,13,23)239461470AC BD λλλλλλλ⋅=-⋅+--=+-++-=-=， ∴12λ=，11(,,4)22OD =，11(,,4)22D ∴. （2）(2,1,3),(3,2,1)BA BC =-=--，∴22222221(3)14,3(2)(1)14BA BC =++-==+-+-= ∴231(2)(3)(1)7BA BC ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=，∴71cos cos ,21414BA BC BA BC BA BCB ⋅=<===>⨯，3sin 2B =，31414732S =⨯⨯=， 所以以,BA BC 为邻边得平行四边形的面积为73. 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD DC ==，,E F 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求PC 与平面DEF 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，证明0EF CD ⋅=即可；（2）求出平面DEF 的法向量，利用sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅==即可求出.【详解】（1）证明：以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0),(0,02),(2,1,0),(1,1,1)A B C D P E F (1,0,1),(0,2,0)EF CD =-=-，100(2)100EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以EF CD ⊥，所以EF CD ⊥.（2）(2,1,0),(1,1,1),(0,2,2)DE DF PC ===-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00DE n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，200x y x y z +=⎧⎨++=⎩，2y x z x=-⎧⎨=⎩，令1x =，则(1,2,1)n =-. 设PC 与平面DEF 所成角为θ，()()()()22222201222163sin cos ,286022121PC n PC n PC nθ⨯+⨯-+-⨯⋅=====⨯++-⨯+-+， 所以PC 与平面DEF 所成角的正弦值为32. 【点睛】本题考查向量法证明线线垂直，考查线面角的向量求法，属于基础题.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且11AB BC BB ===.（1）求证： 1//AB 平面1BC D ； （2）求直线1AB 到平面1BC D 的距离. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，求出平面1BC D 的法向量，通过数量积推出1AB n ⊥，得到1AB //平面1BC D ．（2）通过直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =，设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，利用空间向量的数量积转化求解即可．【详解】（1）证明：以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴， 如图建立空间直角坐标系，1111(0,0,0),(1,0,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22B C D A B ，1111(1.0,1),(,,0),(0,1,1)22BC BD AB ===-，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0BC n BD n ⎧=⎨=⎩，011022x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，z xy x =-⎧⎨=-⎩， 令1x =，则(1,1,1)n =--， 101(1)(1)1(1)0AB n =⨯+-⨯-+⨯-=，所以1AB n ⊥，因为1AB ⊂/平面1BC D ，所以1AB //平面1BC D ．（2）解：因为1AB //平面1BC D ，所以直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =， 设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，则||13||33BA n d n ===， 所以直线1AB 到平面1BC D 的距离为33． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法的应用，直线到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．21. 如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，圆柱的侧面积为83π，120AOP ︒∠=.（1）求点G 到直线BC 的距离；（2）求平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值. 【★答案★】（1）7；（2）155. 【解析】 【分析】（1）取AP 中点E ，证明//GE BC ，BE BC ⊥，于是点G 到直线BC 的距离等于线段BE 的长； （2）证明AG ⊥平面PBD ，则PGB ∠为所求二面角的平面角，在直角三角形PBG 中计算cos PGB ∠即可．【详解】解：（1）取AP 的中点E ，连接BE ，GE ， G 是PD 的中点，E 是AP 得中点，//GE AD ∴，又//BC AD ，//GE BC ∴，G ∴到直线BC 的距离等于E 到直线BC 的距离，BC ⊥平面ABP ，BE ⊂平面ABP ，BE BC ∴⊥，即E 到直线BC 的距离等于线段BE 的长，120AOP ∠=︒，2OA OP OB ===，2PB ∴=，23AP =，3PE ∴=， AB 是圆O 的直径，AP PB ∴⊥，227BE PB PE ∴=+=，∴点G 到直线BC 的距离为7．（2）设圆柱的高为h ，则圆柱的侧面积为：2283h ππ⨯⨯=，解得23h =，即23AD =，又23AP =，AD AP ∴=，AG PD ∴⊥，AD ⊥平面APB ，PB ⊂平面APB ，AD PB ∴⊥，AB 是圆O 的直径，AP PB ⊥，又AD AP A =，PB ∴⊥平面PAD ，PB AG ∴⊥，又PD PB P =，AG ∴⊥平面PBD ，PGB ∴∠为平面PAG 与平面BAG 所成二面角的平面角，由PB ⊥平面PAD 可得PB PD ⊥， 在直角三角形PBG 中，2PB =，221622AD AP PG PD +===， 2210BG PB PG ∴=+=，15cos 5PG PGB BG ∴∠==． 所以平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值为155．【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定，考查空间距离与空间角的计算，属于中档题． 22. 如图（1）所示，在Rt ABC 中，90︒∠=C ，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且//,2DE BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图（2）所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC （不包括端点）上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.【★答案★】（1）证明见解析；（2）4π；（3）不存在，★答案★见解析. 【解析】【分析】(1)证明1A C 垂直平面BCDE 内两条相交直线即可；(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 的法向量n ，利用向量夹角公式，即可得CM 与平面1A BE 所成角.(3)假设存在P 点，设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，求出平面1A DP 法向量1n ，假设平面ADP 与平面1A BE 垂直，则10n n ⋅=，得出t 的值，从而得出结论.【详解】（1）CD DE ⊥，1A D DE ⊥,1,A D CD 是平面1A CD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面1A CD , 又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1A C DE ⊥,又1A C CD ⊥,,DE CD 是平面BCDE 内的两条相交直线，1A C ∴⊥平面BCDE .（2）如图建系C xyz -，则(2,0,0)D -，(0,0,23)A ，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，∴1(0,3,23)A B =-，()2,1,0BE =--， 设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n x y z =则100A B n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴322z y yx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴取2y =，得(1,2,3)n =-，又∵(1,0,3)M -，∴(1,0,3)CM =-,CM n θ<>=，CM 与平面1A BE 所成角α ∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅，2cos cos 2αθ==， ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒.（3）设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，1(2,0,23),(2,,0)D m DP A ==， 设平面1A DP 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11100DA n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1111223020x z x my ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，1111132z x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令13x m =，则 1(3,23,)n m m =--.要使平面1A DP 与平面1A BE 垂直，需1(1)32(23)3()0n n m m ⋅=-⨯+⨯-+⨯-=，解得2m =-，不满足条件.所以不存在这样的点P .【点睛】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会，是中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020-2021无锡市梅村中学高二数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.153．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A．45B ．35C ．25D ．156．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 7．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，98．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．29．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．2310．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<12．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．518二、填空题13．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ . 14．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.15．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个16．集合{|64,1,2,3,4,5,6}A y y n n ==-=，集合1{|2,1,2,3,4,5,6}n B y y n -===，若任意A∪B 中的元素a ，则a ∈A∩B 的概率是________。

江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．￢p ：∀x ∉A ，2x ∉B C ．￢p ：∃x ∉A ，2x ∈BD ．￢p ：∃x ∈A ，2x ∉B2．数列1，－3,5，－7，9，……的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(－1)n (2n －1)C ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)3．已知数列{}n a 中，2539,,28a a ==且11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，则7a =（ ）A ．109B ．1011 C ．1211D ．13124．等差数列{}n a 中，公差不为0，若245,,a a a 成等比，则4735a a a a +=+（ ）A ．14B ．118C ．1D ．1或125．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16B ．8C ．4D ．26．已知数列{}n a 满足21212,0,1,2,n nn a n a a a a n --+⎧===⎨⨯⎩为奇数为偶数(n ≥3)，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．48B ．49C ．50D ．617．数列{}n a 的通项公式cos ,2n n a n π=其前n 项和为n S ，则2012S 等于 A ．1006B ．2012C ．503D ．08．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为1c 的频率正好是中音c的2倍.已知标准音1a 的频率为440Hz，那么频率为的音名是（ ）A ．dB ．fC ．eD ．#d二、多选题 9．使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．2x >B ．0x ≥ C ．1x <-或1x > D ．10x -<<10．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．511．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214n n n n c c a a π--+-=⋅三、填空题13．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.14．已知0,0a b >>，若45a b ab ++=，则ab 的最大值是___.15．已知等比数列{}n a 的首项是1，公比为3，等差数列{}n b 的首项是5-，公差为1，把{}n b 中的各项按如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间，构成新数列{}n c ：1a ，1b ，2a ，2b ，3b ，3a ，4b ，5b ，6b ，4a ，…，即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项，则2018c =__________．（用数字作答）四、双空题16．若1x ，2x 是函数()()320,0f x x mx nx m n =-+>>的两个不同的零点，且1x ，2x ，-3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m =__________，n =__________五、解答题17．已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =． （1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．若关于x 的不等式22(21)0x a x a a -+++≤的解集为A ，不等式322x-≥的解集为B .（1）已知B 是A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.（2）设命题p ：22,(21)8x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m的取值范围.19．甲乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过一道数列问题，因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知__________. （1）判断4S 、3S 、5S 的关系； （2）若316a a -=，设31n nn b a -=，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：5n T <. 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第一问的答案是4S 、3S 、5S 成等差数列.如果甲乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.20．已知数列{}n a 的前n 项和,n S 若对1,22n n n n N S a ++∀∈=-恒成立（1）求证：数列{}2n na为等差数列 （2）若不等式：223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成立，求λ取值范围. 21．已知函数()12f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a cab ac--+的最小值. 22．设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列2{}n a 的前n 项和为,n T 且24(),3n n S p T --=其中p 为常数.（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列； （3）证明：“数列12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，其中x ､y 均为整数”的充要条件是“x =1，且y =2”.。

2020-2021学年江苏省无锡市南菁高级中学高二（强化班）上学期10月第一次阶段性考试数学试题一、单选题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【详解】因为22(1)(9),0,3,9b b b ac b =--<∴=-∴==2．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC 的周长为（ ） A．B ．6C．D ．12【答案】A【分析】利用椭圆的定义即可解出. 【详解】由椭圆的方程可知：a =由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ， 可得ABC的周长为4a = 故选:A ．3．设{}n a 是公差d 为正数的等差数列，若123a +a +a 15=，123a a a 80=，则111213a +a +a 等于 A ．120 B ．105C ．90D ．75【答案】B【分析】将题目所给两个条件转化为1,a d 的形式，通过解方程组求得1,a d 的值，由此求得111213,,a a a 的值.【详解】依题意有()()111111215280a a d a d a a d a d ++++=⎧⎨++=⎩，解得12,3a d ==，()()11121312133113233105a a a a a d ++==+=+=，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查利用基本元的思想通过解方程组求得等差数列的1a 和d .这是非常常见的基础题，需要在解题过程中注意不要运算出错.为了确保运算正确，可以利用题目所给的已知代入判断所求是否正确.4．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．2n B ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【分析】由数列{1}n a +是等比数列，得2213(1)(1)(1)a a a +=++，进而求得1q =，易得n S ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{1}n a +也是等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a +=++，2221313211a a a a a a ++=+++，2132a a a =+，21112a q a a q =+，∴2210q q -+=解得：1q =，所以12n S na n ==. 故选：A ．【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，解题关键是求得数列的公比q ，利用新数列{1}n a +是等比数列，易得．5．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.【解析】椭圆的简单几何性质.6．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N ，则数列{}n c 的前10项和等于（ ）．A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】C【分析】根据已知可求出1b a ，再根据等差数列的性质及求和公式即可求出数列{a bn }的前10项和．【详解】数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N，又{}nb 都是公差为1的等差数列，所以数列{}nc 也成等差，则数列{}n c 的前10项和等于121011119b b b b b b a a a a a a +++++=+++，又()11114b a a b =+-=，1911(91)113b a a b +=++-⨯=， ∴11119(413)10852b b b a a a +++⨯+++==，故选：C ．【点睛】性质：若数列{}n a 为等差数列，则项数依次成等差的那些项也依次成等差.7．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AFB △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题9．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 【答案】ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =B ．12PF PF ⋅的最小值为0C ．12PF F △D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切 【答案】BD【分析】根据椭圆的标准方程，求出离心率即可判断A 选项错误； 设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，求出其最小值，即可判断B 选项正确； 易求得12PF F △面积的最大值，则可判断C 选项错误；求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项正确.【详解】解：由椭圆22:12x C y +=可知，a =1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率c e a ==A 错误； 设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥，则12PF PF ⋅的最小值为0，故B 正确；122FF =，当P 点与椭圆的上顶点重合时，12PFF △面积的最大， 所以12PF F △面积的最大值为1212b ⋅⋅=，故C 错误； 以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由原点()0,0到直线0x y +=的距离1d c ===，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：根据椭圆的标准方程求出有关的量，即可求出其离心率，12PF F △面积的最大值；设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，利用(),P x y 在椭圆上，可求出12PF PF ⋅的最小值；求出圆心()0,0到0x y +=的距离，比较这个距离和半径的大小关系即可判断D 选项.11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则 1r =-【答案】AC【分析】利用等比数列的定义可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；分10a <和10a >两种情况讨论，求得对应的q 的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C 选项的正误；求得1a 、2a 、3a ，由2213a a a =求得r 的值，可判断D选项的正误.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，且1n na q a +=. 对于A 选项，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，数列{}2n a 是等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，由等比中项的性质可得253764a a a ==，又因为2530a q a =>，则5a 与3a 同为正数，则58a =，B 选项错误；对于C 选项，若10a <，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q<⎧⎨<⎩，解得01q <<，则110n n a a q-=<，11n na q a +=<，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列； 若10a >，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q>⎧⎨>⎩，解得1q >， 则110n n a a q-=>，11n na q a +=>，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列. 综上所述，C 选项正确；对于D 选项，111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，由于数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =，即()2612r +=，解得13r =-，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）． A ．733S = B ．21n n n S S S ++=+C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,n n n a a a a a ++===+，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】68a =，713a =，∴71123581333S =++++++= 成立，故选项A 正确； 由21n n n a a a ++=+，两边累加：()()34223112n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++即()2121n n n S S S ++-=-+，∴211n n n S S S ++=++，故选项B 错误；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a ++++=．选项C 正确；斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =2121a a a =，()222312312a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019201020182019a a a a a =-；∴22212201920192020a a a a a +++=，即答案D 成立．故选ACD ．【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换是解题的关键，属于中档题.三、填空题13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________． 【答案】【详解】依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且23c =．因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⋅，则2a b =，所以22323c a b b -=2b =，故4a =，所以椭圆的标准方程为221164x y +=14．若关于x 的方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则+a b 的值为__________． 【答案】3172【分析】根据等差数列性质计算得到1413,44x x ==；2357,1212x x ==，再利用韦达定理计算得到答案.【详解】不妨设方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根为1234x x x x <<<则141x x +=；231x x +=，故1413,44x x ==；2357,1212x x == 故1334416a =⨯=，57351212144b =⨯=，623114472a b +== 故答案为：3172【点睛】本题考查了数列和韦达定理的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,12(1)1n n n a a -++-=,则40S =______【答案】240【详解】由()1211n n n a a -++-=，当n 为奇数时，有21n n a a ++=；当n 为偶数时，21n n a a +-=，∴数列{}n a 的偶数项构成以2为首项，以1为公差的等差数列，则()()401357392440......S a a a a a a a a =+++++++++201910120212402⨯=⨯+⨯+⨯=，故答案为240. 【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.16．已知数列{n a }通项公式为n a n p =-+,数列{}n b 通项公式为52n n b -=，设()(){n n n n n n n a a b c b a b ≤=>，若在数列{}n c 中，()8,8n c c n N n *>∈≠，则实数p 的取值范围 ． 【答案】()12,17【详解】试题分析：由n c ＝(),{(),n n n n n n a a b b a b ≤＞，可知是、中的较小者，因为＝－n ＋p ，所以{}是递减数列；因为n b ＝52n －，所以{n b }是递增数列，因为8c ＞nc （n ∈N ﹡,n≠8），，所以是的最大者，则=1，2，3， 7，8时，递增，n=8，9，10， 时，递减，因此，=1，2，3， 7时，总成立，当=7时，，∴＞11，=9，10，11， 时，总成立，当=9时，成立，∴＜25，而或,若≤，即，所以≤16，则=-8，∴-8＞=27-5，∴＞12，故12＜≤16，若＞，即-8＞28-5，所以＞16，∴=23，那么，即8＞-9，∴＜17，故16＜＜17，综上，12＜＜17．【解析】1、数列与单调性的关系；2、数列的综合应用.四、解答题17．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当1260F PF ︒∠=时，求12F PF ∆的面积； （3）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】（123）(33- 【分析】（1）由标准方程求出,a b ，再得c ，然后可得离心率；（2）由椭圆定义和余弦定理可求得1243PF PF =，从而得三角形面积； （3）设(,)P x y ，由120PF PF ⋅<可得x 的范围．【详解】解：（1）因为224,1a b ==，所以c ==，所以离心率为c e a ==（2）由椭圆的定义得：124,PF PF +=--------①且12(F F ， 在12F PF ∆中，由余弦定理得：2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒-----------②由①②得1243PF PF =，所以1212121sin 2F PF S PF PF F PF ∆=∠=.（3）设点(,)P x y ，12(F F 所以1(,),PF x y =--2(3,),PF x y =- 由已知12F PF ∠为钝角，得120PF PF ⋅<，所以2()0x x y +<，--------③又由椭圆的方程得2214x y =-，-------------④联合③④得2324x <，解得x <<所以点P 的横坐标的取值范围是(.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，考查椭圆定义的应用，在涉及到椭圆上的点到焦点距离时常常要利用椭圆的定义解决问题．椭圆上的点P 对于两焦点的张角为钝角时，对应的条件是120PF PF ⋅<，若为锐角，条件120PF PF ⋅>中还需去掉两端点． 18．已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求1a +a 4+a 7+…+a 3n-2.【答案】（Ⅰ）227n a n =-+；（Ⅱ）2328n n -+. 【详解】(1)设{a n }的公差为d.由题意， a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2n(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.19．已知数列{}n a 满足：()1231,2,n n a a a a n a n ++++=-=．（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令()()()211,2,3,n n b n a n =--=，如果对任意n *∈N ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．【答案】（1）112a =，234a =；（2）112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）1n =与2n =代入即可求出12,a a ；（2）由题意得123111n n n a a a a a n a +++++++=+-，两式相减可得121n n a a +-=，然后构造新数列可得()11112n n a a +-=-，所以{}1n a -是等比数列，即可求得通项；（3）代入1n n b b +-作差可判断出数列{}n b 前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为3418b b ==，然后214n b t t ≤-可转化为21184t t ≤-求解.【详解】（1）当1n =时，111a a =-，所以112a =，当2n =时，1222a a a +=-，得234a =．（2） 由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-， ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+-， ②②－①可得121n n a a +-=，即()11112n n a a +-=-， 又1112a -=-，所以数列{}1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可得，22n n n b -=， 由()1111122122302222n n n n n n n n n n nb b ++++---+----=-==>，可得3n <， 由10nnb b 可得3n >，所以12345n b b b b b b <<=>>>>，故n b 有最大值3418b b ==， 所以对任意n *∈N ，有18n b ≤，由题意214n b t t ≤-恒成立，则()2max 14n b t t ≤-，故有21184t t ≤-， 解得12t ≥或14t ≤-，所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】思路点睛：本题考查了数列的通项与最值的问题：（1）已知n S 与n a 的关系解题时，要注意由n S 求n a 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥，根据题目已知条件，通过构造等差数列或等比数列进行求解；（2）数列的恒成立问题需要转化为数列的最值问题求解，求数列的最值可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列的最值.20．已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3,7n S S =且1233,3,4a a a ++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设{}{}12101240,,,,,,,A a a a B b b b ==，C A B =⋃,求集合C 中的所有元素之和．【答案】（1）12n n a -=；（2）32n b n =-；（3）3318【详解】试题分析：（1）∵37S = ，∴1237a a a ++= ① ∵ 1233,3,4a a a ++ 成等差数列，∴132346a a a +++= ② ②-①得，22a = ，即12a q = ③ 又由①得，2115a a q += ④消去1a 得，22520q q -+= ，解得q=2或q=12（舍去） ∴12n n a -=（2）∵()6312n n T n b =++ ,当n≥2时，()116322n n T n b --=-+ ∴当n≥2时，()()163132n n n b n b n b -=+-- ，即13235n n b n b n --=- ∴3241231471032,,,,14735n n b b b b n b b b b n --===⋅⋅⋅=- ，∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯- ，即132n b n b =- ， ∵11b = ，∴()322n b n n =-≥ ，当n=1时，也满足 ∴32n b n =-（3）1010401240411023,3802380122S T -⨯===⨯-=- ，∵A 与B 的公共元素有1,4,16,64，其和为85，∴集合C 中所有的元素之和=10408523801023853318S T +-=+-=【解析】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和，等差数列的通项公式，以及集合的运算点评：解决本题的关键是利用累乘法求出数列{}n b ，熟练掌握等差数列、等比数列中的公式21．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【详解】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=．数列{}n b 满足112113246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--，数列{}n c 满足11n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等差数列；（3）是否存在正整数m ，()1n m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析；（3）存在，2m =，12n =.【分析】（1）用等比数列的性质化简15a a 求出3a ，设公比，表示53S S -，求出公比，得到通项公式.（2）本题可用错位相减的技巧先求出{}n b 的通项公式，再证明之. （3）用裂项相消法求出n T ，列出关系式，计算求解. 【详解】解：（1）∵数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，∴38a =，又∵5348S S -=，∴2458848a a q q +=+=，∴2q，∴3822n n n a -=⋅=．（2）∵11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--， ①∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--， （）则（）式两边同乘以2， 得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--， ②①－②得，242n b n =-，即()212n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合()212n b n n =-≥，∴21n b n =-． ∴数列{}n b 是等差数列 （3）∵()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭， 113T =，21m m T m =+，21n n T n =+，若1T ，m T ，n T 成等比数列，则211213216m n m n⎛⎫=⋅< ⎪++⎝⎭，即22410m m --< ． ∴1122m -<<+． 又m *∈N ，且1m ，所以2m =，此时12n =． 【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。

2020-2021学年江苏省无锡市南菁高级中学高二（强化班）上学期10月第一次阶段性考试数学试题一、单选题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【详解】因为22(1)(9),0,3,9b b b ac b =--<∴=-∴==2．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC 的周长为（ ） A．B ．6C．D ．12【答案】A【分析】利用椭圆的定义即可解出. 【详解】由椭圆的方程可知：a =由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ， 可得ABC的周长为4a = 故选:A ．3．设{}n a 是公差d 为正数的等差数列，若123a +a +a 15=，123a a a 80=，则111213a +a +a 等于 A ．120 B ．105C ．90D ．75【答案】B【分析】将题目所给两个条件转化为1,a d 的形式，通过解方程组求得1,a d 的值，由此求得111213,,a a a 的值.【详解】依题意有()()111111215280a a d a d a a d a d ++++=⎧⎨++=⎩，解得12,3a d ==，()()11121312133113233105a a a a a d ++==+=+=，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查利用基本元的思想通过解方程组求得等差数列的1a 和d .这是非常常见的基础题，需要在解题过程中注意不要运算出错.为了确保运算正确，可以利用题目所给的已知代入判断所求是否正确.4．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．2n B ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【分析】由数列{1}n a +是等比数列，得2213(1)(1)(1)a a a +=++，进而求得1q =，易得n S ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{1}n a +也是等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a +=++，2221313211a a a a a a ++=+++，2132a a a =+，21112a q a a q =+，∴2210q q -+=解得：1q =，所以12n S na n ==. 故选：A ．【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，解题关键是求得数列的公比q ，利用新数列{1}n a +是等比数列，易得．5．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.【解析】椭圆的简单几何性质.6．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N ，则数列{}n c 的前10项和等于（ ）．A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】C【分析】根据已知可求出1b a ，再根据等差数列的性质及求和公式即可求出数列{a bn }的前10项和．【详解】数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N，又{}nb 都是公差为1的等差数列，所以数列{}nc 也成等差，则数列{}n c 的前10项和等于121011119b b b b b b a a a a a a +++++=+++，又()11114b a a b =+-=，1911(91)113b a a b +=++-⨯=， ∴11119(413)10852b b b a a a +++⨯+++==，故选：C ．【点睛】性质：若数列{}n a 为等差数列，则项数依次成等差的那些项也依次成等差.7．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AFB △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题9．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 【答案】ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =B ．12PF PF ⋅的最小值为0C ．12PF F △D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切 【答案】BD【分析】根据椭圆的标准方程，求出离心率即可判断A 选项错误； 设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，求出其最小值，即可判断B 选项正确； 易求得12PF F △面积的最大值，则可判断C 选项错误；求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项正确.【详解】解：由椭圆22:12x C y +=可知，a =1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率c e a ==A 错误； 设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥，则12PF PF ⋅的最小值为0，故B 正确；122FF =，当P 点与椭圆的上顶点重合时，12PFF △面积的最大， 所以12PF F △面积的最大值为1212b ⋅⋅=，故C 错误； 以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由原点()0,0到直线0x y +=的距离1d c ===，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：根据椭圆的标准方程求出有关的量，即可求出其离心率，12PF F △面积的最大值；设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，利用(),P x y 在椭圆上，可求出12PF PF ⋅的最小值；求出圆心()0,0到0x y +=的距离，比较这个距离和半径的大小关系即可判断D 选项.11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则 1r =-【答案】AC【分析】利用等比数列的定义可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；分10a <和10a >两种情况讨论，求得对应的q 的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C 选项的正误；求得1a 、2a 、3a ，由2213a a a =求得r 的值，可判断D选项的正误.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，且1n na q a +=. 对于A 选项，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，数列{}2n a 是等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，由等比中项的性质可得253764a a a ==，又因为2530a q a =>，则5a 与3a 同为正数，则58a =，B 选项错误；对于C 选项，若10a <，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q<⎧⎨<⎩，解得01q <<，则110n n a a q-=<，11n na q a +=<，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列； 若10a >，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q>⎧⎨>⎩，解得1q >， 则110n n a a q-=>，11n na q a +=>，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列. 综上所述，C 选项正确；对于D 选项，111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，由于数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =，即()2612r +=，解得13r =-，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）． A ．733S = B ．21n n n S S S ++=+C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,n n n a a a a a ++===+，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】68a =，713a =，∴71123581333S =++++++= 成立，故选项A 正确； 由21n n n a a a ++=+，两边累加：()()34223112n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++即()2121n n n S S S ++-=-+，∴211n n n S S S ++=++，故选项B 错误；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a ++++=．选项C 正确；斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =2121a a a =，()222312312a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019201020182019a a a a a =-；∴22212201920192020a a a a a +++=，即答案D 成立．故选ACD ．【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换是解题的关键，属于中档题.三、填空题13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________． 【答案】【详解】依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且23c =．因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⋅，则2a b =，所以22323c a b b -=2b =，故4a =，所以椭圆的标准方程为221164x y +=14．若关于x 的方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则+a b 的值为__________． 【答案】3172【分析】根据等差数列性质计算得到1413,44x x ==；2357,1212x x ==，再利用韦达定理计算得到答案.【详解】不妨设方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根为1234x x x x <<<则141x x +=；231x x +=，故1413,44x x ==；2357,1212x x == 故1334416a =⨯=，57351212144b =⨯=，623114472a b +== 故答案为：3172【点睛】本题考查了数列和韦达定理的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,12(1)1n n n a a -++-=,则40S =______【答案】240【详解】由()1211n n n a a -++-=，当n 为奇数时，有21n n a a ++=；当n 为偶数时，21n n a a +-=，∴数列{}n a 的偶数项构成以2为首项，以1为公差的等差数列，则()()401357392440......S a a a a a a a a =+++++++++201910120212402⨯=⨯+⨯+⨯=，故答案为240. 【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.16．已知数列{n a }通项公式为n a n p =-+,数列{}n b 通项公式为52n n b -=，设()(){n n n n n n n a a b c b a b ≤=>，若在数列{}n c 中，()8,8n c c n N n *>∈≠，则实数p 的取值范围 ． 【答案】()12,17【详解】试题分析：由n c ＝(),{(),n n n n n n a a b b a b ≤＞，可知是、中的较小者，因为＝－n ＋p ，所以{}是递减数列；因为n b ＝52n －，所以{n b }是递增数列，因为8c ＞nc （n ∈N ﹡,n≠8），，所以是的最大者，则=1，2，3， 7，8时，递增，n=8，9，10， 时，递减，因此，=1，2，3， 7时，总成立，当=7时，，∴＞11，=9，10，11， 时，总成立，当=9时，成立，∴＜25，而或,若≤，即，所以≤16，则=-8，∴-8＞=27-5，∴＞12，故12＜≤16，若＞，即-8＞28-5，所以＞16，∴=23，那么，即8＞-9，∴＜17，故16＜＜17，综上，12＜＜17．【解析】1、数列与单调性的关系；2、数列的综合应用.四、解答题17．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当1260F PF ︒∠=时，求12F PF ∆的面积； （3）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】（123）(33- 【分析】（1）由标准方程求出,a b ，再得c ，然后可得离心率；（2）由椭圆定义和余弦定理可求得1243PF PF =，从而得三角形面积； （3）设(,)P x y ，由120PF PF ⋅<可得x 的范围．【详解】解：（1）因为224,1a b ==，所以c ==，所以离心率为c e a ==（2）由椭圆的定义得：124,PF PF +=--------①且12(F F ， 在12F PF ∆中，由余弦定理得：2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒-----------②由①②得1243PF PF =，所以1212121sin 2F PF S PF PF F PF ∆=∠=.（3）设点(,)P x y ，12(F F 所以1(,),PF x y =--2(3,),PF x y =- 由已知12F PF ∠为钝角，得120PF PF ⋅<，所以2()0x x y +<，--------③又由椭圆的方程得2214x y =-，-------------④联合③④得2324x <，解得x <<所以点P 的横坐标的取值范围是(.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，考查椭圆定义的应用，在涉及到椭圆上的点到焦点距离时常常要利用椭圆的定义解决问题．椭圆上的点P 对于两焦点的张角为钝角时，对应的条件是120PF PF ⋅<，若为锐角，条件120PF PF ⋅>中还需去掉两端点． 18．已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求1a +a 4+a 7+…+a 3n-2.【答案】（Ⅰ）227n a n =-+；（Ⅱ）2328n n -+. 【详解】(1)设{a n }的公差为d.由题意， a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2n(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.19．已知数列{}n a 满足：()1231,2,n n a a a a n a n ++++=-=．（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令()()()211,2,3,n n b n a n =--=，如果对任意n *∈N ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．【答案】（1）112a =，234a =；（2）112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）1n =与2n =代入即可求出12,a a ；（2）由题意得123111n n n a a a a a n a +++++++=+-，两式相减可得121n n a a +-=，然后构造新数列可得()11112n n a a +-=-，所以{}1n a -是等比数列，即可求得通项；（3）代入1n n b b +-作差可判断出数列{}n b 前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为3418b b ==，然后214n b t t ≤-可转化为21184t t ≤-求解.【详解】（1）当1n =时，111a a =-，所以112a =，当2n =时，1222a a a +=-，得234a =．（2） 由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-， ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+-， ②②－①可得121n n a a +-=，即()11112n n a a +-=-， 又1112a -=-，所以数列{}1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可得，22n n n b -=， 由()1111122122302222n n n n n n n n n n nb b ++++---+----=-==>，可得3n <， 由10nnb b 可得3n >，所以12345n b b b b b b <<=>>>>，故n b 有最大值3418b b ==， 所以对任意n *∈N ，有18n b ≤，由题意214n b t t ≤-恒成立，则()2max 14n b t t ≤-，故有21184t t ≤-， 解得12t ≥或14t ≤-，所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】思路点睛：本题考查了数列的通项与最值的问题：（1）已知n S 与n a 的关系解题时，要注意由n S 求n a 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥，根据题目已知条件，通过构造等差数列或等比数列进行求解；（2）数列的恒成立问题需要转化为数列的最值问题求解，求数列的最值可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列的最值.20．已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3,7n S S =且1233,3,4a a a ++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设{}{}12101240,,,,,,,A a a a B b b b ==，C A B =⋃,求集合C 中的所有元素之和．【答案】（1）12n n a -=；（2）32n b n =-；（3）3318【详解】试题分析：（1）∵37S = ，∴1237a a a ++= ① ∵ 1233,3,4a a a ++ 成等差数列，∴132346a a a +++= ② ②-①得，22a = ，即12a q = ③ 又由①得，2115a a q += ④消去1a 得，22520q q -+= ，解得q=2或q=12（舍去） ∴12n n a -=（2）∵()6312n n T n b =++ ,当n≥2时，()116322n n T n b --=-+ ∴当n≥2时，()()163132n n n b n b n b -=+-- ，即13235n n b n b n --=- ∴3241231471032,,,,14735n n b b b b n b b b b n --===⋅⋅⋅=- ，∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯- ，即132n b n b =- ， ∵11b = ，∴()322n b n n =-≥ ，当n=1时，也满足 ∴32n b n =-（3）1010401240411023,3802380122S T -⨯===⨯-=- ，∵A 与B 的公共元素有1,4,16,64，其和为85，∴集合C 中所有的元素之和=10408523801023853318S T +-=+-=【解析】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和，等差数列的通项公式，以及集合的运算点评：解决本题的关键是利用累乘法求出数列{}n b ，熟练掌握等差数列、等比数列中的公式21．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【详解】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=．数列{}n b 满足112113246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--，数列{}n c 满足11n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等差数列；（3）是否存在正整数m ，()1n m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析；（3）存在，2m =，12n =.【分析】（1）用等比数列的性质化简15a a 求出3a ，设公比，表示53S S -，求出公比，得到通项公式.（2）本题可用错位相减的技巧先求出{}n b 的通项公式，再证明之. （3）用裂项相消法求出n T ，列出关系式，计算求解. 【详解】解：（1）∵数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，∴38a =，又∵5348S S -=，∴2458848a a q q +=+=，∴2q，∴3822n n n a -=⋅=．（2）∵11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--， ①∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--， （）则（）式两边同乘以2， 得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--， ②①－②得，242n b n =-，即()212n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合()212n b n n =-≥，∴21n b n =-． ∴数列{}n b 是等差数列 （3）∵()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭， 113T =，21m m T m =+，21n n T n =+，若1T ，m T ，n T 成等比数列，则211213216m n m n⎛⎫=⋅< ⎪++⎝⎭，即22410m m --< ． ∴1122m -<<+． 又m *∈N ，且1m ，所以2m =，此时12n =． 【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。