一维稳态热传导方程的数值解法及其课件

11.1 通过平壁的一维稳态导热
一、第一类边界条件：表面温度
为常数
单层平壁
a. 几何条件：单层平板；s；
b. 物理条件：、cp、 已知；无内热源；
c. 时间条件：稳态导热， ∂T/∂t=0；
d. 边界条件：第一类。
微分方程式可简化：
2T x2
0
直接积分得： TC1xC2
带入边界 条件：
CC12
Tw1 (Tw2
流量，并记为qL
qL
Q Tw1 Tw2 L 1 d2 ln 传热学一维稳态和非稳态导热
2 d1
单位长度导热热阻
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
多层圆筒壁
不同材料构成的多层圆筒壁，其导热 热流量可按总温差和总热阻计算
热流量
Q
Tw1 Twn+1 n 1 ln di1
i1 2i L di
单位长度的热流量
2
C1xC2
式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：
C2Tw2qv s2; C10
所以，平壁内温度分布为： TTw2qv s2x2
• 可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令 温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 T T s w
2 传热学一维稳态和非稳态导热
• 设在一管道外面包上一层绝热层(如图所示)。
• 此时单位管长的总热阻γΣ为：
d 1 11 2 1 传热1 学ln 一维d d 稳1 2 态 和非2 稳态1 导x 热lnd d 2 xd 1 x2
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
• 式中：α1为管内流体与管内壁之间的给热系数，W/m2℃；α2为绝
qL
1

解法二：傅立叶定律积分→热流密度
ppt课件
12
解法一：一维稳态无内热源导热问题
控制方程：
d2t dx2

0
定解条件：
x
x 0, t 0.25,
25 t 30
积分：
t

tw2 tw1

x
tw1
ppt课件
13
代入已知数据可以得出墙壁内的温度分布
t 30 25 x 25 20x 25 0.25
a.单层壁导热 b.多层壁导热 c. 复合壁导热
ppt课件
3
1、单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板；
b 物理条件：、c、 已知；
无内热源 c 时间条件：稳态导热 : t 0

d 边界条件：第一类
类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程
ppt课件
4
根据上面的条件： 一维、稳态、无内热源导热 控制
ppt课件
27
Q tw1 tw2 tw2 tw3 tw3 tw4
1 n r2
1 n r3
1 n r4
21l r1 22l r2 23l r3
Q
tw1 tw4 1 3 1 n ri1
2 l i1 i ri
单位管长的热流量
Q
ql l
1
c2 tw1
ppt课件
6
线性
t

tw2 tw1

x
tw1
分布



dt

tw2
tw1
带入Fourier 定律

dx

r

L
1 + h 1 ⋅ 2 π r1
∑
n
i =1
3 通过空心球壁的导热
Heat conduction through a spherical shell
第一类边界条件
Constant surface temperature
热导率λ=C, 圆筒内径r1, 外径r2, 无内热源
•微分方程
Heat equation
• 热流密度
Heat flux
t w1 − t w 2 dt 1 q = −λ =λ ⋅ 2 = f (r ) dr 1 / r1 − 1 / r2 r t w1 − t w 2 1 1 1 − 4πλ r1 r2
• 热流量
Heat rate Φ = − λ A dt = dr

• 热流量
Heat rate
材料热导率随温度而变
λ= λ0(1+bt) •微分方程
Heat equation
d dx t t
dt λ =0 dx = t w1 = tw2
• 边界条件
Boundary condition
x=0 x =δ
• 温度分布
Temperature distribution
t A − tB Rc = q
7 延伸体的导热
Heat conduction from extended surfaces
Fin configurations
延伸体的种类
Straight Fins of uniform cross section
7.1 等截面直肋
假设(Assumptions)
r = r1
r = r1 → r 2

23/40
图中肋片高度为H，肋片厚
度为，肋片宽度为b，肋片
b
根部（肋基）的温度为t0，
Φc
环境温度为t，环境与肋片 之间的换热系数为h。肋片 δ 0 Φx Φ x+dx
x
的横截面积为Af及截面周边
dx
长度为U。导热系数和换热
系数均为常数。
H
24/40
由于肋片的作用是为了
增大传热，故肋片材料
b
的导热性能都比较好，
1、通过单层圆筒壁的导热
导热微分方程:
d r dt 0 r r1,t t1
dr dr
r r2 ,t t2
t1
r1 t2
积分上面的微分方程两次得r
到其通解为 : t c1nr c2
r2
得出圆筒壁的温度分布为:
n r
t t1
r1
t 2 t1 n r2
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r1
圆筒壁内的温度分布是 一条对数曲线。
截面积Af＝4.65cm2，周长U＝12.2cm，导热系数
＝22W/ (m℃）。燃气有效温度Tge=1140K，叶根 温度Tr=755K，燃气对叶片的总换热系数h＝390W/ (m2℃）。假定叶片端面绝热，求叶片的温度分
布和通过叶根的热流。解：
m hU 68.2,
Af
由＝o
chmH x
chmH
6150.0295W / m
2 r1 50 15
17/40
再由圆筒壁的温度分布
r
n
t t1
r1
t2 t1 n r2
r1
代入已知数据有
t 40 nr n0.015
20
n 25
15
18/40