高联平面几何训练题(附答案)
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平几综合问题
例 1】 在 ABC 中， AB AC ，其内切圆 I 分别切三边于点 D, E,F ，P为弧 EF（不含点 D的弧）上一
点. 设线段 BP交圆 I 于另一点 Q.直线 EP,EQ分别交直线 BC于点 M,N. 证明：
1
） P, F,B,M 四点共圆；
EM BD EN BP
且 ABF ACE 90 ． ⑴求证： BE CF EF ；
例 2 】 如图，在锐角△
ABC 中， AB AC ， cosB cosC
1． E、F分别是 AB、 AC延长线上的点，
⑵设 EBC的平分线与 EF交于点 P，求证： CP平分 BCF ．
例3】 在三角形 ABC中， AB AC， CAB和 ABC的内角平分线分别与边 BC 和CA相交于点 D和
E ．设 K 是三角形 ACD 的内心．若 BEK 45 ，求 CAB 所有可能的值．
例4】 （ * ）过圆外一点 P向圆 O作切线 PA、PB及割线 PCD，过C作 PA的平行线，分别交 AB、AD
于 E 、 F ．求证： CE EF ．
F
例 5】 在 △ ABC中， B C ，△ ABC的内切圆 ⊙I 与 BC ，CA ，AB 的切点分别为 D，E，F ．记 AD
与
⊙
I 的不同于点 D 的交点为 P ．过点 P 作 AD 的垂线交 EF 于点 Q ， X ，Y 分别是 AQ 与直线
DE ，DF
的交点．
求证： A 是线段 XY的中点．
BQ∥ AP交 OC于点 Q ．证明：五边形 OAQPB
的面积与点 C 、 P的选取无关．
例 6】 如图， C 为扇形 AOB 的弧
?
AB
上一点，在射线
OC 上任取一点 P ，连结 AP ，过点 B 作直线
D
例7】 给定圆 1和 2相交于点 X和Y ．l1是一条过 1的圆心的直线且与 2交于 P 、Q ．l2是一条过
2
的圆心的直线且与 1交于 R、S．求证：若 P、 Q 、 R 、 S四点共圆，则此圆的圆心在直线 XY
上．
O
大显身手
1． 设不过平行四边形 ABCD顶点的任意一条直线分别与直线 AB、BC、CD、DA交于 E、F、G、H
，
则圆
EFC与圆 GHC的另一个交点 Q
必在定直线上
如图）．求证： POQ 2 MDC ．
3． 两圆⊙O1 、⊙O2相切于点 M ，⊙O2的半径不小于 ⊙O1的半径．点A是⊙O2上的一点，且满足 O
1
、
O2和A三点不共线． AB 、AC是点 A到⊙O1的切线，切点分别为 B、C，直线 MB、MC与⊙O
2
的
另一个交点分别为 E、F，点 D是线段 EF和⊙O2的以 A为切点的切线的交点． 证明：当点A 在 ⊙O2上
2
．
已知⊙ O与 ABC 的边 AB
、
AC分别相切于 P和Q，与 ABC外接圆相切于 D，M 是PQ的中点
移动且保持 O1、 O2和 A三点不共线时，点 D 沿一条固定的直线移动．
4． （* 选做，不作要求 ）
水平直线 m通过圆 O的中心，直线 l m，l 与 m相交于 M，点 M在圆心的右
侧， 直线 l 上不同的三点 A，B，C在圆外，且位于直线 m上方， A 点离 M点最远， C点离 M点
最近，
AP， BQ，CR为圆 O的三条切线， P，Q，R为切点．试证：
提示与解 ：
与圆 O相切
时，
AB CR+BC AP＝AC BQ
；
与圆 O相交
时，
AB CR+BC
AP
；
与圆 O相离
时，
AB CR+BC
AP>AC
BQ
．
(1)
l
(2)
l
(3)
l
1、画图可得到 Q点应在在定直线 AC上，即证 A、 C、Q共线 .
连 AQ、CQ、 EQ、 HQ，往证∠ EQA=∠EQC，
E、F、 C、Q共圆→∠ EQC=∠GFC
，
G、H、 Q、C 共圆→∠ HQC=∠FGC， ∠GFC+∠FGC+∠FCG=180
0→∠ EQC+∠ HQC∠+ GFC=1800
，
∵∠ BAD=∠FCG，∴∠ EQH+∠EAH=1800→ A、E、Q、H共圆 →∠ EQA=∠EHA，而 AH∥BC→∠
GFC=∠EHA→∠ EQA=∠ EQC →A、 C、Q共线，即 Q必在定直线 AC上.
2、如图，连接 AO、AD、DO和DQ
．
∵ AP、AQ分别与⊙ O相切于 P 、Q．
∴
AP AQ
∵ OP 和 OQ 都是⊙ O 的半
径，
∴ 由对称性知
POQ 2
AOQ，且 OA PQ
于 M
22
OD OA
∴ OD 2 OQ2 OM OA即
OD
OM OD
又∵ DOM AOD ，∴
DOM
∽
AOD
∴ ODM
OAD
APO AQO 90
过 D 作两圆的公切线 DE ，则
CDE CAD
所以点 D 在定直线 y 轴上移动．
又∵ OD DE ，即 ODE 90
MDC 90 ODM COE 90 OAD DAC
90 OAQ AOQ
故 POQ 2 MDC ．
图所
示，
设 ⊙O1 方程为 22 x 1 y2 1 ， ⊙O2 方程为
2 2
2
rr1
xr
y
设
Ar
r cos ， r sin ， 0
，
π U π，2π
因
为 BC 是⊙O1的切点弦，
所 以 BC 方 程为
r 1 r cos x 1 yr sin
1
，
即
1 r r cos x r sin y r 1 cos 0
又易得 EF ∥BC，
设 EF 方程为 1 r r cos x r sin y t 0 ．
又因为
O1C
∥
O2F ，所以 yF xF r
，
yC x
C
所以 yC 1 1 yF ，xC xF ( 其中 F xF ， yF ， C xC ， yC ）．
r
r
1
所以
1
1r r cos xF r sin 1 y F r 1 cos
0
，
r r
所以
1
rr cos xF r sin
y
F
2
r 1 cos
0
，
所以直
线
EF
方程为
1 r
r cos x r sin y r 2 1 cos 0
又因为 AD 是⊙O2的以点 A 为切点的切线，
所以直线 AD 方程为
r x r cos r sin y r
2
0
．
即
rx cos
2
r sin y r (1 cos ) 0
设
D xD ，y
D
，因为点 D在EF和 AD上，所以 1 r xD 0 ，即 xD 0，
3、以 M 为原点， O1O2 为 x
轴建立直角坐标系，
如
4、其实只要第一问完成了，后面两问可类似完成 .
本题实际上是一道计算题，先设基本量然后代入
计
算，通过漫长的化简得到显然成立的等价式 . 具体过程略
.
