导热微分方程推导优秀课件

方程推导1.导热微分方程x 方向导入微元体的热流量为dydz xT x ∂∂-=λφ x+dx 方向导出微元体的热流量为： dx dydz xT x dx x x x x dx x )(∂∂-∂∂+=∂∂+=+λφφφφ 同理可得y 、z 方向的导入、导出热流量。

根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加 微元体内能的增加：dxdydz T cdU ∂τ∂ρ= 微元体内的生成热：dxdydz q ⋅ 经整理有：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z y T y x T x T c ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ 该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化 圆柱坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z T r r T r r r T c ∂∂λ∂∂∂φ∂λ∂φ∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ211 球坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q T r T r r T r r r T c ∂φ∂λ∂φ∂θ∂θ∂θλ∂φ∂θ∂∂λ∂∂∂τ∂ρ22222sin 1sin sin 11 2.连续性方程 对于微平行六面体，从左边流入的质量为：τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂-∂∂-，从右边流出的质量为τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂+∂∂+，二者的净质量差为：τρdxdydzd x u x ∂∂-)( 同理可得y 、z 方向的质量变化，而经过d τ时间，微元体的质量变化为ττρdxdydzd ∂∂，因此可得平衡关系，经整理，有()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u ρρρτρ，此方程可以在有关条件下简化。

传热学导热微分方程推导
摘要：
一、传热学简介
1.传热学基本概念
2.热量传递过程的分类
二、导热微分方程的推导
1.稳态传热过程的微分方程
2.非稳态传热过程的微分方程
三、圆柱坐标系下的导热微分方程推导
1.圆柱坐标系的建立
2.傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用
3.能量守恒定律的应用
正文：
传热学是一门研究热量传递规律的学科，它涉及到物体内和物体之间的热量传递过程。

根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。

导热微分方程是传热学中的一个重要概念，用于描述热量在物体中的传递过程。

我们可以通过推导来了解其背后的原理。

首先，我们来看稳态传热过程的微分方程。

在稳态传热过程中，物体内部的温度分布不随时间变化，因此可以得到一个关于温度分布的微分方程。

接下来，我们来看非稳态传热过程的微分方程。

在非稳态传热过程中，物
体内部的温度分布随时间变化，因此需要引入时间的变量。

通过一定的推导，我们可以得到一个关于温度分布和时间的微分方程。

此外，我们还可以通过圆柱坐标系来推导导热微分方程。

首先，我们需要建立圆柱坐标系，然后根据傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用，我们可以得到关于温度分布的微分方程。

最后，根据能量守恒定律，我们可以得到一个关于热量传递过程的微分方程。

总之，传热学导热微分方程的推导是一个复杂的过程，需要我们掌握稳态传热过程和非稳态传热过程的微分方程，以及圆柱坐标系下的导热微分方程推导方法。

导热微分方程的推导导热微分方程是描述物质内部热传导过程的一种数学模型。

在物理学中，热传导是指热量从高温区传递到低温区的过程。

导热微分方程通过考虑热量的传导方向和速率，可以描述物体内部温度的变化规律。

本文将从导热微分方程的推导开始，逐步介绍相关的基本概念和推导过程。

我们考虑一个一维热传导问题，即在一根长为L的杆中，热量从一端传递到另一端。

我们假设杆的横截面积为A，杆的导热系数为k。

为了简化问题，我们假设热量只在杆的长度方向上传递，不考虑杆的横截面上的热量传递。

根据热力学第一定律，单位时间内通过杆的一段长度dx传递的热量dQ等于该段长度上的温度变化量dT乘以单位时间传递的热量密度q。

根据热传导的基本规律，热量的传递方向是从高温区到低温区，因此q的方向与温度梯度-dT/dx的方向相反。

根据以上分析，我们可以得到热量传递的微分方程：dQ = -q dA dt = -q A dx dt = -k A dT dx dt根据热力学第二定律，热量传递的速率与温度梯度之间存在线性关系。

根据这个关系，我们可以得到热传导速率q与温度梯度-dT/dx 之间的关系：q = -k A (dT/dx)将上述关系代入热量传递的微分方程中，可以得到：dQ = k A (dT/dx) dx dt通过对上述微分方程进行积分，可以得到：Q = k A (dT/dx) x t其中，Q表示通过杆的热量，t表示时间。

上述方程描述了热传导过程中热量随时间和空间的变化规律。

根据以上推导，我们可以得到一维热传导的导热微分方程：∂T/∂t = k (∂^2T/∂x^2)其中，T表示杆上某一点的温度，t表示时间，x表示距离。

这个方程描述了一维热传导过程中温度随时间和空间的变化规律。

在实际应用中，导热微分方程可以用于解决各种热传导问题，如材料的热传导性能分析、热传感器的设计等。

通过求解导热微分方程，可以预测材料内部温度分布随时间的演化，为工程实践提供重要的理论依据。

导热微分方程的推导Jacob〇．傅立叶定律⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=k j i z T y T x T gradT q λλ 其中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 坐标轴上的单位矢量。

λ为导热率（单位K m W ⋅）。

其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流q （单位2mW ），与该处的温度梯度gradT 成正比，但方向相反。

一．导热微分方程的推导依据1．依据根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程；A E Q +∆=Q ，物体在单位时间内获得的热量；E ∆，物体在单位时间内内能的增加；A ，物体对外界所做的功。

对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功A 可忽略不计，上式变为：E Q ∆=2．一般性假设(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；(2) 热导率、比热容和密度均为已知；(3) 物体内具有内热源，强度V q （单位3m W ），表示单位体积、单位时间内放出的热量二．直角坐标系下导热微分方程的推导考察dt 时间内微元体中：[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]1. 导入与导出微元体的净热量（1）dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导入表面导入的热量：dydzdt q dQ x x ⋅= (单位J )同理，dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导出表面导出的热量：dydzdt q dQ dx x dx x ++= (单位J )x q ，dx x q +分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位2m W 。

请注意，事实上这里有： dx x q q q x dxx x ∂∂-=-+，所以导入与导出的热量差为： dydzdt dx xq dQ dQ x dx x x ⋅∂∂-=-+ (单位J ) 同理： （2）dt 时间内、沿y 轴方向、经垂直于y 轴 的两表面导入导出的热量差：dxdzdt dy y q dQ dQ ydy y y ⋅∂∂-=-+ (单位J )（3）dt 时间内、沿z 轴方向、经垂直于z 轴 的两表面导入导出的热量差：dxdydt dz zq dQ dQ z dz z z ⋅∂∂-=-+ (单位J ) 2． 微元体自身的发热量dt 时间内，微元体自身的发热量dv Q ：dxdydzdt q Q v dv =3．微元体热力学能的增量（即微元体温度升高耗费的能量）dt 时间内，微元体温度升高耗费的能量T Q ∆：dxdydz dt tT c Q T ⋅∂∂=∆ρ 根据前面所述的能量守恒，有：[]T dv dz z z dy y y dx x x Q Q dQ dQ dQ dQ dQ dQ∆+++=+-+-+-)()()( 即 dxdydz dt t T c dxdydzdt q dxdydt dz z q dxdzdt dy y q dydzdt dx x q v z y x ⋅∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂-⋅∂∂-⋅∂∂-ρ整理得：t T c q z q y q xq v z y x ∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-∂∂-ρ 又因为傅立叶定律，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=k j i z T y T x T gradT q λλ ，所以： 22x T x q x ∂∂-=∂∂λ， 22yT y q y ∂∂-=∂∂λ， 22z T z q z ∂∂-=∂∂λ，带入上式，得直角坐标系下的导热微分方程：t T c q z T y T xT v ∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρλ222222三．柱坐标系下导热微分方程的推导注意，直接写出柱坐标系下的傅立叶定律：)1(k j i zT T r r T T gradT q ∂∂+∂∂+∂∂-=∇-=-=φλλλ 解释如下：沿着r 方向的温度梯度：r T ∂∂，容易理解； 沿着φ方向的温度梯度：φ∂∂T r 1，我们把它写成φd r T ⋅∂，注意分母是沿着φ方向的微小增量，或许就容易理解了；沿着z 方向的温度梯度：zT ∂∂，这个很好理解，不多解释。