导热微分方程推导优秀课件
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高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程 ppt课件
heat conduction in the anisotropic medium
何为各向异性？
qi
3
ij
j 1
t x j
下标 i,j 分别是何含义?
i= 1,2,3
ppt课件
14
[q] [] t X
其中: 矢量Vector
q1
[q] q2 ,
2t
qV
0
(泊松方程）（ 椭圆型偏微分方程）
2t 0 （拉普拉斯方程）
考虑热传播速度的有限性
对于无源项情况，
1 c2
2t
2
1 t
a
2t （双曲线
型 hyperbola 偏微分方程）
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修
温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
ppt课件
10
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
n
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所
得，没有考虑热的波动性
在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
ppt课件
5
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积
故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
何为各向异性？
qi
3
ij
j 1
t x j
下标 i,j 分别是何含义?
i= 1,2,3
ppt课件
14
[q] [] t X
其中: 矢量Vector
q1
[q] q2 ,
2t
qV
0
(泊松方程）（ 椭圆型偏微分方程）
2t 0 （拉普拉斯方程）
考虑热传播速度的有限性
对于无源项情况，
1 c2
2t
2
1 t
a
2t （双曲线
型 hyperbola 偏微分方程）
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修
温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
ppt课件
10
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
n
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所
得，没有考虑热的波动性
在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
ppt课件
5
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积
故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
第二章 传热与传质导热微分方程式
2t 2 dxdydz z
2 2 2
t t t 净热量： x 2 y 2 z 2 dxdydz
2 单位时间微元体内热源的发热量
dQv Qv dxdydz
3 单位时间微元体内能的增量
t dU c dxdydz
净导入导出热量＋内热源发热量= 内能增量
不同物质的导热系数
固体 液体 气体 金属 非金属
气体 0.006～0.6W / m C
液体 0.07～0.7W / m C
固体 2～410W / m C
常温下当λ <0.12 W/(m℃)时，这 种材料称为保温材料。高效能的保 温材料多为蜂窝状多孔结构。 1.防潮 2.避免挤压 3.在中低温使用
y
dQx+d
x
单位时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面 导出的热量：
dQz
x
dQx dx
t qx dx dydz t dx dydz x x
y
单位 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQx dQx dx
2t 2 dxdydz x
温度梯度是矢量；方向朝着温度增加最大的方向
四、热流密度矢量(Heat flux)
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大
热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的 热流密度
直角坐标系中：
温度梯度和热流密度的方向正好 相反。热流密度矢量的方向朝着 温度降落最大的方向。
t+Δ t
导热系数λ随温度变化的关系
λ＝const，不考虑温度对其的影响
0 (1 bt ) ，认为λ是温度的线性函数
高等传热学基本方程推导
方程推导1.导热微分方程x 方向导入微元体的热流量为dydz xT x ∂∂-=λφ x+dx 方向导出微元体的热流量为： dx dydz xT x dx x x x x dx x )(∂∂-∂∂+=∂∂+=+λφφφφ 同理可得y 、z 方向的导入、导出热流量。
根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加 微元体内能的增加：dxdydz T cdU ∂τ∂ρ= 微元体内的生成热：dxdydz q ⋅ 经整理有：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z y T y x T x T c ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ 该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化 圆柱坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z T r r T r r r T c ∂∂λ∂∂∂φ∂λ∂φ∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ211 球坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q T r T r r T r r r T c ∂φ∂λ∂φ∂θ∂θ∂θλ∂φ∂θ∂∂λ∂∂∂τ∂ρ22222sin 1sin sin 11 2.连续性方程 对于微平行六面体，从左边流入的质量为：τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂-∂∂-，从右边流出的质量为τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂+∂∂+，二者的净质量差为：τρdxdydzd x u x ∂∂-)( 同理可得y 、z 方向的质量变化，而经过d τ时间，微元体的质量变化为ττρdxdydzd ∂∂，因此可得平衡关系，经整理，有()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u ρρρτρ，此方程可以在有关条件下简化。
C3-4导热微分方程及其定界条件-稳态导热PPT课件
高鹏 2010.5
传热学 Heat Transfer
四、导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量 守恒。描写物体温度随时间和空间变化的关系；没 有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。 定解条件：使得微分方程获得某一特定问题的解的 附加条件。
对于非稳态导热问题，需要描述初始时刻温度分 布的初始条件，以及给出物体边界上温度或换热的 边界条件。 稳态导热问题仅有边界条件。
c
a 为材料的扩散系数，单位：m2/s c
2.若物性参数为常数且无内热源：
t
a(
2t x 2
2t y 2
பைடு நூலகம்
2t z 2
)
高鹏 2010.5
传热学 Heat Transfer 3. 若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
2t 2t 2t 0 x2 y 2 z 2
4. 一维稳态含内热源导热：
( t ) Φ 0
(4)导热体与外界没有功的交换。
高鹏 2010.5
传热学 Heat Transfer 3.建立坐标系，取分析对象（微元体）
在直角坐标系中进行分析。
dz
z
dy dx
y
x
高鹏 2010.5
传热学 Heat Transfer 4.能量变化的分析:
由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化， 因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出 微元体的热量；内热源产生的热量。
tw2。（1）导热系数为常数；（2）导热系数是温度 的函数。
2. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源，
t x
x
(T 4 w
Tc4 )
（2）界面连续条件:发生在不均匀材料中的导热问
传热学导热微分方程推导
传热学导热微分方程推导
摘要：
一、传热学简介
1.传热学基本概念
2.热量传递过程的分类
二、导热微分方程的推导
1.稳态传热过程的微分方程
2.非稳态传热过程的微分方程
三、圆柱坐标系下的导热微分方程推导
1.圆柱坐标系的建立
2.傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用
3.能量守恒定律的应用
正文：
传热学是一门研究热量传递规律的学科，它涉及到物体内和物体之间的热量传递过程。
根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。
导热微分方程是传热学中的一个重要概念，用于描述热量在物体中的传递过程。
我们可以通过推导来了解其背后的原理。
首先，我们来看稳态传热过程的微分方程。
在稳态传热过程中，物体内部的温度分布不随时间变化，因此可以得到一个关于温度分布的微分方程。
接下来，我们来看非稳态传热过程的微分方程。
在非稳态传热过程中，物
体内部的温度分布随时间变化，因此需要引入时间的变量。
通过一定的推导，我们可以得到一个关于温度分布和时间的微分方程。
此外，我们还可以通过圆柱坐标系来推导导热微分方程。
首先，我们需要建立圆柱坐标系，然后根据傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用，我们可以得到关于温度分布的微分方程。
最后，根据能量守恒定律，我们可以得到一个关于热量传递过程的微分方程。
总之，传热学导热微分方程的推导是一个复杂的过程，需要我们掌握稳态传热过程和非稳态传热过程的微分方程，以及圆柱坐标系下的导热微分方程推导方法。
10-4 导热微分方程
导出微元体的总热流量为：
dΦout dΦxdx dΦydy dΦzdz
微元体内热源的生成热为：
dQ Φdxdydz
单位时间内能增量为： dU c t dxdydz
4
z
dx
dz+dz dy
dy+dy dz
dx+dx
x
y
z
dz+dz
dy
dx
dy+dy dz
dx+dx x
qxdx
qx
qx x
源项
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
单位时间内微元体的 内能增量（非稳态项） 有缘学习交流＋Ｖ： ｙｇｄ３０７６
扩散项（导热引起）
z
dz+dz
dy
dx
dy+dy dz
dx+dx
x
y
6
导热微分方程的简化
导热系数为常数
t
a
(
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c t
1 r
r
r
t r1 r2Fra bibliotektz
t z
Φ
8
Thank You！
9
)
c
无内热源+导热系数为常数
t
2t 2t 2t
a( x2 y2 z2 )
常物性+稳态
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
泊桑（Poisson）方程
常物性+稳态+无内热源
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
拉普拉斯（Laplace）方程
dΦout dΦxdx dΦydy dΦzdz
微元体内热源的生成热为：
dQ Φdxdydz
单位时间内能增量为： dU c t dxdydz
4
z
dx
dz+dz dy
dy+dy dz
dx+dx
x
y
z
dz+dz
dy
dx
dy+dy dz
dx+dx x
qxdx
qx
qx x
源项
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
单位时间内微元体的 内能增量（非稳态项） 有缘学习交流＋Ｖ： ｙｇｄ３０７６
扩散项（导热引起）
z
dz+dz
dy
dx
dy+dy dz
dx+dx
x
y
6
导热微分方程的简化
导热系数为常数
t
a
(
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c t
1 r
r
r
t r1 r2Fra bibliotektz
t z
Φ
8
Thank You！
9
)
c
无内热源+导热系数为常数
t
2t 2t 2t
a( x2 y2 z2 )
常物性+稳态
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
泊桑（Poisson）方程
常物性+稳态+无内热源
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
拉普拉斯（Laplace）方程
导热微分方程的推导
导热微分方程的推导导热微分方程是描述物质内部热传导过程的一种数学模型。
在物理学中，热传导是指热量从高温区传递到低温区的过程。
导热微分方程通过考虑热量的传导方向和速率，可以描述物体内部温度的变化规律。
本文将从导热微分方程的推导开始，逐步介绍相关的基本概念和推导过程。
我们考虑一个一维热传导问题，即在一根长为L的杆中，热量从一端传递到另一端。
我们假设杆的横截面积为A，杆的导热系数为k。
为了简化问题，我们假设热量只在杆的长度方向上传递，不考虑杆的横截面上的热量传递。
根据热力学第一定律，单位时间内通过杆的一段长度dx传递的热量dQ等于该段长度上的温度变化量dT乘以单位时间传递的热量密度q。
根据热传导的基本规律，热量的传递方向是从高温区到低温区，因此q的方向与温度梯度-dT/dx的方向相反。
根据以上分析，我们可以得到热量传递的微分方程：dQ = -q dA dt = -q A dx dt = -k A dT dx dt根据热力学第二定律，热量传递的速率与温度梯度之间存在线性关系。
根据这个关系，我们可以得到热传导速率q与温度梯度-dT/dx 之间的关系：q = -k A (dT/dx)将上述关系代入热量传递的微分方程中，可以得到：dQ = k A (dT/dx) dx dt通过对上述微分方程进行积分，可以得到：Q = k A (dT/dx) x t其中，Q表示通过杆的热量，t表示时间。
上述方程描述了热传导过程中热量随时间和空间的变化规律。
根据以上推导，我们可以得到一维热传导的导热微分方程：∂T/∂t = k (∂^2T/∂x^2)其中，T表示杆上某一点的温度，t表示时间，x表示距离。
这个方程描述了一维热传导过程中温度随时间和空间的变化规律。
在实际应用中，导热微分方程可以用于解决各种热传导问题，如材料的热传导性能分析、热传感器的设计等。
通过求解导热微分方程，可以预测材料内部温度分布随时间的演化，为工程实践提供重要的理论依据。
第二讲-导热微分方程
c
t
1 r2
r
(r2
t ) r
1 r2 sin
( sin
t )
r2
1 sin2
(
t
)
qv
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传递现象， 如 激光加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或 者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物 体的边界上
物体的温度场通常用等温面或等温线表示
温度梯度 (Temperature gradient ）
等温面上没有温差，不会有热量传递
不同的等温面之间，有温差，有热量传递
t t n s
圆柱坐标系
（r, , z）
qr
t r
q
1 r
t
qz
t z
q
gradt
t
i
t r
j
1 r
t
k
t z
c t
1 r
r
(r
t r
)
1 r2
(
t
)
z
(
t z
)
qv
导热微分方程式、导热过程的能量方程
c t
x
(
t x
)
y
(
t y
传热学第三讲优秀课件
传热学第三讲
§2 导热微分方程
导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热
=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（即内能）的增量
一、直角坐标系导热微分方程的形式
1.导入微元体的总热流量
x
t x
dydz
y
t y
dxdz
z
t z
dxdz
2.导出微元体的总热流量
xdx
x
x
dx
x
x
t x
dydz dx
、 及c 各为微元体的密度、时间及比热容
c t
x
t x
y
t y
z
t z
•
三维直角坐标系非稳态有内热源的导热微分方程
※ 为常数时
•
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c
热扩散率（导温系数） ，m2 / s c
※ 为常数且无内热源时 ※ 为常数且稳态时
t
a
2 x
t
2
2t y 2
2t z 2
•
2t x2
2t y 2
2t z 2
0
※ 为常数、无内热源、稳态时 2t 2t 2t 0
x2 y 2 z 2
二、圆柱坐标系导热微分方程的形式
x r cos; y r sin ; z z
圆柱坐标系
（r, , z）
qr
t r
q
1 r
t
qz
t z
c t
1 r
r
r
t r
2
t
•
四、定解条件
1.初始条件 0时 t f (x, y, z) 2.边界条件
§2 导热微分方程
导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热
=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（即内能）的增量
一、直角坐标系导热微分方程的形式
1.导入微元体的总热流量
x
t x
dydz
y
t y
dxdz
z
t z
dxdz
2.导出微元体的总热流量
xdx
x
x
dx
x
x
t x
dydz dx
、 及c 各为微元体的密度、时间及比热容
c t
x
t x
y
t y
z
t z
•
三维直角坐标系非稳态有内热源的导热微分方程
※ 为常数时
•
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c
热扩散率（导温系数） ，m2 / s c
※ 为常数且无内热源时 ※ 为常数且稳态时
t
a
2 x
t
2
2t y 2
2t z 2
•
2t x2
2t y 2
2t z 2
0
※ 为常数、无内热源、稳态时 2t 2t 2t 0
x2 y 2 z 2
二、圆柱坐标系导热微分方程的形式
x r cos; y r sin ; z z
圆柱坐标系
（r, , z）
qr
t r
q
1 r
t
qz
t z
c t
1 r
r
r
t r
2
t
•
四、定解条件
1.初始条件 0时 t f (x, y, z) 2.边界条件
第2章-导热微分方程推导ppt课件
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
2 2 2 t t t t q t q 2 v 或 a t v a ( 2 2 2 ) c x y z c
②若物性参数均为常数，且无内热源
2 2 2 t t t t 或 t 2 a t a ( 2 2 2) x y z ③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热
导热体内取一微元体
热力学第一定律：
Ｕ = Q ＋ W
Q ：微元体与环境交换的热 Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量
W ：微元体与环境交换的功
W = 0, ∴ Q = ΔU
Q = ΔU
导入与导出净热量
Q
内热源发热量
dτ 时间内微元体中：
[ [导入与导出净热量]+ ] [内热源发热量]= [热力学能的增加]
• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。 a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ， a铝 / a木材 ≈600 a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
t t t t c ( ) ( ) ( ) q v 简化该式： x x y y z z
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一 般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的 变化关系。
t t t t 简化该式： c ( ) ( ) ( ) q v x x y y z z
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
2 2 2 t t t t q t q v 2 a ( 2 2 2) 或 a t v x y z c c
2 2 2 t t t t q t q 2 v 或 a t v a ( 2 2 2 ) c x y z c
②若物性参数均为常数，且无内热源
2 2 2 t t t t 或 t 2 a t a ( 2 2 2) x y z ③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热
导热体内取一微元体
热力学第一定律：
Ｕ = Q ＋ W
Q ：微元体与环境交换的热 Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量
W ：微元体与环境交换的功
W = 0, ∴ Q = ΔU
Q = ΔU
导入与导出净热量
Q
内热源发热量
dτ 时间内微元体中：
[ [导入与导出净热量]+ ] [内热源发热量]= [热力学能的增加]
• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。 a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ， a铝 / a木材 ≈600 a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
t t t t c ( ) ( ) ( ) q v 简化该式： x x y y z z
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一 般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的 变化关系。
t t t t 简化该式： c ( ) ( ) ( ) q v x x y y z z
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
2 2 2 t t t t q t q v 2 a ( 2 2 2) 或 a t v x y z c c
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[3]ct dxdyddz
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增
加]
[1]
+
)(t)d ] xdyd
x x y y z z
[2]qvdxdyddz
[3]ct dxdyddz
由[1]+ [2]= [3]： 导热微分方程式、导热过程的能量方程
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v
内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热体在单 位时间内放出的热量
导热体内取一微元体
热力学第一定律：
Ｕ = Q ＋ W
Q ：微元体与环境交换的热
Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量
W ：微元体与环境交换的功
W = 0,
∴ Q = ΔU
Q = ΔU
导入与导出净热量
Q
内热源发热量
dτ 时间内微元体中：
dτ 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ zdQ zdzqzzdxdd ydz[J]
[导入与导出净热量]:
[1](qx qy qz)dxdyddz[J]
x y z
[导入与导出净热量]:
[1](qx qy qz)dxdyddz[J]
x y z
傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
qz
t z
[1][(t)(t)(t)d ] xdy[Jd ]
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量
dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x 表面导入的热量：
dQx= qx dydz∙dτ [J]
dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x+dx 表面导出的热量：
dQx+dx= qx+dx dydz ∙dτ [J]
qxdxqx
qx x
dx
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ xdQ xdxqxxdxdd yd[Jz]
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ xdQ xdxqxxdxdd yd[zJ]
dτ 时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ ydQ ydyqyy dxdyddz [J]
2t 2t 2t 0 或 2t 0 x2 y2 z2
二、其他坐标下的导热微分方程
1. 对于圆柱坐标系 （r, ϕ, z）
x = r cosϕ ; y = r sinϕ ; z=z
q gr a td t ( ti 1 t j tk ) r r z
c t 1 r r(r r t) r 1 2 ( t) z( z t) q v
导热微分方程推导优秀课件
第二章 导热的基本定律及稳态导热
§2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热 §2-4 通过肋片的导热分析
§2-1 导热的基本概念和定律
温度场 t = f (x, y, z,τ )
等温面与等温线
t+Δt t t-Δt
等温线疏密程度的物理意义
导热微分方程式
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v
非稳态项
扩散项
源项
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一 般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的 变化关系。
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v 简化该式：
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
t a(x2t2y2t2z2t2)qcv 或
t a2t qv
c
式中，a/(c)-热扩散率，m2/s.
（Thermal diffusivity）
∇2 — 拉普拉斯算子
• 热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力（ λ ）与 沿途物质储热能力（ ρ c ）之间的关系。
温度梯度
gradLtim tn tn n 0n n
热流密度矢量 q gradt
t+Δt t
t-Δt
导热系数 q
gradt
• 影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温 度、湿度、压力、密度等。
• 不同物质的导热性能不同：
金属非金属
固体 液体 气体
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
傅里叶定律 qgraW/(d m·ºtC)
x x y y z z
[导[导入入与与导导出出净净热热量量] ]+[内[内热加热源]源发发热热量量] ][=热[力热学力能学的能增的加增] 2、 微元体内热源的发热量
d时间内微元体中内热源的发热量：
[2]qvdxdyddz [J]
3、微元体热力学能的增量 dτ 时间内微元体中热力学能的增量：
[3]mcd dtxdcy tddz
a/(c)
• 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力。
• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。
a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ，
a铝 / a木材 ≈600
a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v 简化该式：
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
t a(x2t2y2t2z2t2)qcv 或
t a2t qv
c
②若物性参数均为常数，且无内热源
t a(2t 2t 2t) 或
x2 y2 z2
t a2t
③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:
t = f (x, y, z,τ )
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 理论基础：傅里叶定律+ 热力学第一定律
一、导热微分方程的推导
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导 热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导 热微分方程。
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度qv [W/m3];
2. 对于球坐标系（r, θ, ϕ）
x = r sinθ ⋅ cosϕ ; y = r sinθ ⋅ sinϕ ; z = r cosθ
q gr a t d ( t ti 1 t j1 tk ) r r r si n
c t r 1 2 r (r 2 r t ) r 2 s 1i ( n s i t) n r 2 s 1 2 i n ( t) q v
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增
加]
[1]
+
)(t)d ] xdyd
x x y y z z
[2]qvdxdyddz
[3]ct dxdyddz
由[1]+ [2]= [3]： 导热微分方程式、导热过程的能量方程
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v
内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热体在单 位时间内放出的热量
导热体内取一微元体
热力学第一定律：
Ｕ = Q ＋ W
Q ：微元体与环境交换的热
Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量
W ：微元体与环境交换的功
W = 0,
∴ Q = ΔU
Q = ΔU
导入与导出净热量
Q
内热源发热量
dτ 时间内微元体中：
dτ 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ zdQ zdzqzzdxdd ydz[J]
[导入与导出净热量]:
[1](qx qy qz)dxdyddz[J]
x y z
[导入与导出净热量]:
[1](qx qy qz)dxdyddz[J]
x y z
傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
qz
t z
[1][(t)(t)(t)d ] xdy[Jd ]
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量
dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x 表面导入的热量：
dQx= qx dydz∙dτ [J]
dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x+dx 表面导出的热量：
dQx+dx= qx+dx dydz ∙dτ [J]
qxdxqx
qx x
dx
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ xdQ xdxqxxdxdd yd[Jz]
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ xdQ xdxqxxdxdd yd[zJ]
dτ 时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ ydQ ydyqyy dxdyddz [J]
2t 2t 2t 0 或 2t 0 x2 y2 z2
二、其他坐标下的导热微分方程
1. 对于圆柱坐标系 （r, ϕ, z）
x = r cosϕ ; y = r sinϕ ; z=z
q gr a td t ( ti 1 t j tk ) r r z
c t 1 r r(r r t) r 1 2 ( t) z( z t) q v
导热微分方程推导优秀课件
第二章 导热的基本定律及稳态导热
§2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热 §2-4 通过肋片的导热分析
§2-1 导热的基本概念和定律
温度场 t = f (x, y, z,τ )
等温面与等温线
t+Δt t t-Δt
等温线疏密程度的物理意义
导热微分方程式
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v
非稳态项
扩散项
源项
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一 般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的 变化关系。
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v 简化该式：
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
t a(x2t2y2t2z2t2)qcv 或
t a2t qv
c
式中，a/(c)-热扩散率，m2/s.
（Thermal diffusivity）
∇2 — 拉普拉斯算子
• 热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力（ λ ）与 沿途物质储热能力（ ρ c ）之间的关系。
温度梯度
gradLtim tn tn n 0n n
热流密度矢量 q gradt
t+Δt t
t-Δt
导热系数 q
gradt
• 影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温 度、湿度、压力、密度等。
• 不同物质的导热性能不同：
金属非金属
固体 液体 气体
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
傅里叶定律 qgraW/(d m·ºtC)
x x y y z z
[导[导入入与与导导出出净净热热量量] ]+[内[内热加热源]源发发热热量量] ][=热[力热学力能学的能增的加增] 2、 微元体内热源的发热量
d时间内微元体中内热源的发热量：
[2]qvdxdyddz [J]
3、微元体热力学能的增量 dτ 时间内微元体中热力学能的增量：
[3]mcd dtxdcy tddz
a/(c)
• 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力。
• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。
a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ，
a铝 / a木材 ≈600
a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v 简化该式：
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
t a(x2t2y2t2z2t2)qcv 或
t a2t qv
c
②若物性参数均为常数，且无内热源
t a(2t 2t 2t) 或
x2 y2 z2
t a2t
③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:
t = f (x, y, z,τ )
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 理论基础：傅里叶定律+ 热力学第一定律
一、导热微分方程的推导
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导 热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导 热微分方程。
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度qv [W/m3];
2. 对于球坐标系（r, θ, ϕ）
x = r sinθ ⋅ cosϕ ; y = r sinθ ⋅ sinϕ ; z = r cosθ
q gr a t d ( t ti 1 t j1 tk ) r r r si n
c t r 1 2 r (r 2 r t ) r 2 s 1i ( n s i t) n r 2 s 1 2 i n ( t) q v