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方程推导1.导热微分方程x 方向导入微元体的热流量为dydz xT x ∂∂-=λφ x+dx 方向导出微元体的热流量为： dx dydz xT x dx x x x x dx x )(∂∂-∂∂+=∂∂+=+λφφφφ 同理可得y 、z 方向的导入、导出热流量。
根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加 微元体内能的增加：dxdydz T cdU ∂τ∂ρ= 微元体内的生成热：dxdydz q ⋅ 经整理有：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z y T y x T x T c ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ 该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化 圆柱坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z T r r T r r r T c ∂∂λ∂∂∂φ∂λ∂φ∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ211 球坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q T r T r r T r r r T c ∂φ∂λ∂φ∂θ∂θ∂θλ∂φ∂θ∂∂λ∂∂∂τ∂ρ22222sin 1sin sin 11 2.连续性方程 对于微平行六面体，从左边流入的质量为：τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂-∂∂-，从右边流出的质量为τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂+∂∂+，二者的净质量差为：τρdxdydzd x u x ∂∂-)( 同理可得y 、z 方向的质量变化，而经过d τ时间，微元体的质量变化为ττρdxdydzd ∂∂，因此可得平衡关系，经整理，有()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u ρρρτρ，此方程可以在有关条件下简化。
微分方程中的热传导方程求解策略探讨微分方程中的热传导方程求解策略探讨热传导方程（heat conduction equation）是微分方程中的一种经典方程，描述了热量在物质中的传导过程。
在许多实际问题中，热传导方程的求解是非常重要的。
本文将探讨解决热传导方程的求解策略，并提供一些实用的方法和技巧。
一、热传导方程的一维情况首先，我们考虑一维的热传导方程。
一维热传导方程可以写成如下的形式：∂u/∂t = α ∂^2u/∂x^2其中，u是温度随时间和空间的变化，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。
对于这样的一维热传导方程，我们可以采用分离变量法来求解。
假设u的解可表示为两个函数的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)。
将这个形式带入方程，我们可以将其分离为两个方程。
首先，我们得到：∂T/∂t + α λ^2 T = 0其次，我们得到：d^2X/dx^2 + λ^2 X = 0其中，λ是分离变量的常数。
我们可以根据具体的边界条件和初始条件，来求解这两个方程，最后将它们的解组合起来，得到热传导方程的解。
二、热传导方程的二维情况接下来，我们考虑二维的热传导方程。
二维热传导方程可以写成如下的形式：∂u/∂t = α (∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)在二维情况下，我们同样可以采用分离变量法来求解。
假设u的解可表示为三个函数的乘积形式：u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)。
将这个形式带入方程，我们可以将其分离为三个方程。
对应于x方向的方程，我们得到：d^2X/dx^2 + λ^2 X = 0对应于y方向的方程，我们得到：d^2Y/dy^2 + μ^2 Y = 0对应于t方向的方程，我们得到：dT/dt + (λ^2 + μ^2)α T = 0在这里，λ和μ都是分离变量的常数。
我们可以根据具体的边界条件和初始条件，来求解这三个方程，最后将它们的解组合起来，得到热传导方程的解。
第六章热量传热微分方程一、单相对流传热的一般数学模型对流传热是一种与流体运动及流体内部导热规律均有关的一种传热现象。
所以，对此过程的描述，需要同时采用描述流体流动和传热两方面的基本方程，即传热微分方程、导热微分方程、运动微分方程、连续性方程以及相应的单值条件。
下面分别介绍。
1.传热微分方程当流体流过固体壁面时，总存在一层很薄的流体粘附在表面上，这层流体总是处于静止状态(u=0),则热量只能依靠导热在该表而层传递。
因此，在此流体层任一微元面积dA的传热量dq,可以根据付立叶定律计算：d q = -lrf— dA—— (1)和So紧结固体壁面处(11=0)的流体层屮温度梯度,kf——流体的导热系数。
另外，根据对流传热基木方程，壁面与流体之间的传热量dg乂可写为:dq = h[t s -t f^dA = hAtdA (2)式中：M = t s-t f——固体壁面与流体间的温差。
h——对流传热系数。
由⑴,(2)两式相等得：(3)h亠並丽n=0此式即为传热微分方程。
欲求出对流传热膜系数h,则应先得出在该流体中的温度分布。
其温度分布可由导热微分方程描述。
2.导热微分方程：流体内导热微分方程在前面已有推导，在无内热源时为:上式常称为能量方程。
对于稳态的温度场，里=0。
oO因此式包括有未知量代，仏，冬，因此，欲求解上式，必须知道流体内的速度分布，这就需求解流体的运动微分方程。
3•运动微分方程：粘性流体的运动微分方程，即是奈斯方程:上述三个方程中有4个未知量：u x ,u y ,u :及P,所以述应引入一个方程，才能求解。
该方程就是连续性方程。
4.连续性方程：一般流体的连续性方程在前而已经导出，即:讪 | °（刊J |。
（刊J | 讥以J 二°— （6）dxdydz对于不可压缩性流体lp =常数），稳态流动（叟=0 ）时，有:30通过对上述四种方程求解，便可得出对流传热系数h 的一般解。
再加上单值 条件，便可求得具体问题的解。
前言本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。
一、概念与常量1、温度场：指某一时刻τ下，物体内各点的温度分布状态。
在直角坐标系中：t=f(x,y,z,τ)；在柱坐标系中：t=f(r,θ,z,τ)；在球坐标系中：t=f(r,θ,∅,τ)。
补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。
2、等温面与等温线：三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面；一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。
3、温度梯度：在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。
称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。
用grad t表示。
定义为：grad t=∂t∂nn补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。
对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。
在直角坐标系中：grad t=∂t∂xi+∂t∂yj+∂t∂zk3、导热系数定义式：λ=q-grad t单位W/(m⋅K)导热系数在数值上等于单位温度降度(即1K/m)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。
导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。
补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。
二、热量传递的三种基本方式热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射三、导热微分方程式（统一形式：ρc∂t∂τ=λ∇2t+q）直角坐标系：ρc∂t∂τ=∂∂x(λ∂t∂x)+∂∂y(λ∂t∂y)+∂∂z(λ∂t∂z)+q圆柱坐标系：ρc∂t∂τ=1r∂∂r(λr∂t∂r)+1r2∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+∂∂z(λ∂t∂z)+q球坐标系：ρc∂t∂τ=1r2∂∂r(λr2∂t∂r)+1r2sinθ∂∂θ(λsinθ∂t∂θ)+1r2sin2θ∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+ q其中，称α=λρc为热扩散系数，单位m2/s，ρ为物质密度，c为物体比热容，λ为物体导热系数，q为热源的发热率密度，h为物体与外界的对流交换系数。
导热微分方程的推导导热微分方程是描述物质内部热传导过程的一种数学模型。
在物理学中，热传导是指热量从高温区传递到低温区的过程。
导热微分方程通过考虑热量的传导方向和速率，可以描述物体内部温度的变化规律。
本文将从导热微分方程的推导开始，逐步介绍相关的基本概念和推导过程。
我们考虑一个一维热传导问题，即在一根长为L的杆中，热量从一端传递到另一端。
我们假设杆的横截面积为A，杆的导热系数为k。
为了简化问题，我们假设热量只在杆的长度方向上传递，不考虑杆的横截面上的热量传递。
根据热力学第一定律，单位时间内通过杆的一段长度dx传递的热量dQ等于该段长度上的温度变化量dT乘以单位时间传递的热量密度q。
根据热传导的基本规律，热量的传递方向是从高温区到低温区，因此q的方向与温度梯度-dT/dx的方向相反。
根据以上分析，我们可以得到热量传递的微分方程：dQ = -q dA dt = -q A dx dt = -k A dT dx dt根据热力学第二定律，热量传递的速率与温度梯度之间存在线性关系。
根据这个关系，我们可以得到热传导速率q与温度梯度-dT/dx 之间的关系：q = -k A (dT/dx)将上述关系代入热量传递的微分方程中，可以得到：dQ = k A (dT/dx) dx dt通过对上述微分方程进行积分，可以得到：Q = k A (dT/dx) x t其中，Q表示通过杆的热量，t表示时间。
上述方程描述了热传导过程中热量随时间和空间的变化规律。
根据以上推导，我们可以得到一维热传导的导热微分方程：∂T/∂t = k (∂^2T/∂x^2)其中，T表示杆上某一点的温度，t表示时间，x表示距离。
这个方程描述了一维热传导过程中温度随时间和空间的变化规律。
在实际应用中，导热微分方程可以用于解决各种热传导问题，如材料的热传导性能分析、热传感器的设计等。
通过求解导热微分方程，可以预测材料内部温度分布随时间的演化，为工程实践提供重要的理论依据。
推导导热微分方程的推导热平衡法推导导热微分方程的推导热平衡法尊敬的读者，今天我将向你介绍推导导热微分方程的推导热平衡法。
热传导是许多实际问题中的重要现象，了解和运用导热微分方程对于研究和解决这些问题是至关重要的。
1. 了解热传导与导热微分方程在探讨推导热微分方程之前，我们首先需要了解热传导和导热微分方程的相关概念。
热传导是指热在物质中的传递过程，这种传递是通过细微颗粒间的相互作用和能量转移进行的。
导热微分方程则是描述热传导的数学工具，它描述了热量如何在空间中从高温区域向低温区域传递的过程。
2. 推导热平衡法的基本原理推导热平衡法是一种基于热平衡条件的方法，用于推导导热微分方程。
热平衡条件要求一个封闭系统中的温度分布在空间和时间上保持不变。
基于这一条件，我们可以推导出导热微分方程并解决问题。
3. 推导导热微分方程的步骤（1）我们要根据问题的物理描述和所涉及的材料特性，建立一个适当的坐标系。
（2）我们根据热平衡条件，假设系统中的温度分布是稳定的，并且不随时间改变。
这意味着系统中各点的温度随空间变量的导数为零。
（3）接下来，我们将这个假设代入导热微分方程中，通过对温度分布进行数学运算，得到导热微分方程的表达式。
（4）根据所涉及的材料特性和边界条件，我们可以确定导热微分方程的参数（如热导率和边界条件）。
（5）我们可以解导热微分方程，得到系统中温度分布的数值解，并从中获取所需的有价值的信息。
4. 个人观点与理解在我看来，推导热平衡法是一种有效而强大的推导导热微分方程的方法。
通过假设系统处于稳定的热平衡状态，我们可以建立起方程，并通过求解这个方程，获得系统中的温度分布。
这种方法具有实用性并且易于理解，对于解决实际问题非常有用。
回顾与总结：在本文中，我们介绍了推导导热微分方程的推导热平衡法。
我们首先了解了热传导和导热微分方程的概念，然后详细讨论了推导热平衡法的基本原理和步骤。
在进行推导时，我们假设系统处于稳定的热平衡状态，并根据这个假设推导出导热微分方程的表达式。
热传导微分方程
导热又称热传导,是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象.此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。
热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说,单纯的导热只发生在密实的固体物质中。
1 傅立叶定律
傅立叶定律是导热理论的基础。
其向量表达式为：
q gradT
λ=-⋅
（2-1)
式中：q ——热流密度,是一个向量,2/()Kcal m h
gradT ——温度梯度，也是一个向量,℃／m .
λ--导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C ；
式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。
2 导热系数（ｔh ｅrm ａl c ｏｎdu ｃt ｉv ｉty ）及其影响因素
导热系数λ（/()Kcal mh C ）是热传导过程中一个重要的比例常数,在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量.
导热系数是指在稳定传热条件下,1m 厚的材料,两侧表面的温差为１度（Ｋ,°C),在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示,单位为瓦/米·度,w/m·k(W/m·K,此处的K 可用℃代替).
导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量.单位是:Ｗ/（m·K）。
在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程. ３．热传导微分方程推导 在ｔ时刻ｗ界面的温度梯度为
x
T
∂∂ 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x
T x T dx x x T x T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂
+∂∂
单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x
T
∂∂-λ
; 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为:dydz dx x T x T ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∂∂+∂∂-22λ； 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T
22∂∂λ
图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图
同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为:dxdydz y
T
22∂∂λ
单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T
22∂∂λ
单位时间内流入六面体的总热量为：
dxdydz z T y T x
T ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ （3－1)
六面体内介质的质量为:
dxdydz ρ
单位时间六面体内热量的变化量（增加）为：
Cdxdydz t
T
ρ∂∂ 根据热量守恒定律:
Cdxdydz t T dxdydz z T y T x
T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222
C t T
z T y T x T ρλ∂∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222
t
T
z T y T x T C ∂∂=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222ρλ
t T z T y T x T a ∂∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222
C
a ρλ=
α称为热扩散率或热扩散系数（ther ｍal diffusi ｖi ｔｙ)，单位ｍ^2/s 。
λ:导热系数，单位W/（m·K)； ρ:密度，单位kg/m^3
c:热容，单位Ｊ／（kg·Ｋ)．
思考：如果单元体内有热源：单位体积单位时间的散热量是ｑ 方程怎么变？
4．岩石的热扩散率(导温系数） ｔｈermal ｄif ｆusi ｏn c ｏｅ
ff ｉcie ｎt ;ｔｈerma ｌ dif ｆｕsi ｖity; t ｈermal de ｇr ａdatio ｎ 岩石的热扩散率也叫或热扩散系数,表示岩石在加热或冷却时各部分温度趋于一致的能
力.它反映岩石的热惯性特征，是一个综合性参数。
热扩散率越大的岩石，热能传播温度趋于
一致的速度越大，透入的深度也越大.
图3－1 微分单元体各面上进出流量示意图
ﻬ在t 时刻
w 界面流体速度为Ｕ，流体温度为T
单位时间流入微元体的流体质量为:udydz dm ρ=1
带入微元体的热量为:uTCdydz ρ
e 界面流体速度为dx x u u ∂∂+
,流体温度为dx x
T T ∂∂+ 单位时间流出微元体的流体质量为：dydz dx x u u dm ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂+=ρ2 带出微元体的热量为: Cdydz dx x T T dx x u u ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
∂∂+
ρ dxdydz x
T
dx x u C Cdxdydz x T u TCdxdydz x u uTCdydz ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+ρρρ
ρ 如果不考虑x 方向速度变化,略去高阶微量,则ｅ界面带出微元体的热量为：Cdxdydz x
T
u
uTCdydz ∂∂+ρρ 单位时间内在x 方向流入六面体的净热流量为：dxdydz x
T
uC
∂∂-ρ； 同理， y 方向：dxdydz y T vC
∂∂-ρ ｚ方向：dxdydz z
T wC ∂∂-ρ
2。
２巷壁与风流间的对流换热
运动着的流体与所接触的固体壁面之间的热量传递过程称为对流换热，它是流体(液体或气体）由于宏观相对运动，从某一区域迁移到温度不同的另一区域时引起热量传递的现象。
固体壁面与流体之间存在温度差将产生对流换热,由于实际流体的粘性和壁面摩擦的共同影响，近壁流体分层流动,尤其与壁面直接接触的几何面上,总有一层很薄的流体粘附于表面，该层流体处于静止状态,所以热流通过表面层的传递只能依靠导热。
显然，在流体发生热对流的同时，由于流体中温度分布的不均匀,也将伴随产生导热现象。
因此,对流换热过程实际上是热对流和热传导的综合作用过程。
牛顿冷却公式
对流换热过程是一个受很多因素影响的复杂过程,如流体的流动状况、流体的物理性质、壁的形状和大小、表面粗糙度等。
一般情况下对流换热的计算可采用牛顿冷却公式.根据对流换热定律,可以计算出从壁面某处进入通风风流的显热热流密度:
)
(T T q w s -=α （3）
式中:
w
T ＝ 巷道壁面的温度；
T = 巷道内风流的平均温度;
α= 巷道壁面的换热系数.在围岩与风流的热交换过程中,多半是井巷低温风流流经高温岩壁，井巷壁面向风流放热,所以矿内常把上式中的对流换热系数
α(2
/()Kcal m h C ）称为巷壁与风流的换热系数，简称为放热系数。
地热通过围岩向风流的传热现象与围岩本身的热传导、巷道壁面向风流的对流换热以及壁面上的水分蒸发等因素有关。
由于实际情况下围岩的散热是一个很复杂的过程，为了方便本论文的研究，对要研究的物理模型做了简化和假设：
1) 巷道为圆形、无限扩展，围岩岩石均质、各向同性; 2) 不考虑围岩壁面的热辐射作用。
根据上述假设,可得到描述考虑壁面水分蒸发时围岩与风流热质传递的数学方程,如式（３－1）：
020200001() (;0)(,) ()(,) (0)()() (0)t r R w a v w a r r T T T
a r r R t t r r r T r t T r r R T r t T t T
T T f L m m t r λασ===⎧∂∂∂=+⋅<<>⎪∂∂∂⎪⎪
⎪=<≤⎪
⎨⎪=≥⎪⎪⎪∂=-+-≥⎪∂⎩
（3-1）
式中：R —-调热圈半径，m ;其他符号的意义同前章所述。
根据简化的数学模型，可将巷道围岩划分为一系列等间距 （R ∆）的同心圆,取垂直于长轴的巷道断面角度为θ∆，如图3—1所示。
图3-1 巷道围岩内节点划分 Fig.3-1 Node division in surrounding rock。
