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第二章 热传导方程_图文

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数学物理方程2热传导方程

数学物理方程2热传导方程

对未来研究的展望
深入研究热传导方程的数学性质
尽管热传导方程已有广泛的研究和应用，但对其数学性质的理解仍不够深入。未来可以进一步研究热传导方程解的唯 一性、稳定性、渐近性等数学问题，以推动数学理论的发展。
拓展热传导方程的应用领域
随着科技的发展，热传导方程的应用领域也在不断拓展。例如，在新能源领域，热传导方程可以用于研究太阳能电池 板的工作原理和优化设计；在环保领域，热传导方程可用于研究污染物在环境中的扩散和迁移规律。
交换。
热传导方程是偏微分方程的一种形式，通常采用傅里叶级数或
03
有限元方法进行求解。
热传导现象的重要性
1
热传导现象在自然界和工程领域中广泛存在，如 气候变化、能源利用、材料科学等。
2
热传导方程的应用有助于深入理解热量传递的机 制，为相关领域的研究提供理论基础。
3
通过求解热传导方程，可以预测温度分布、热量 传递速率等关键参数，为实际问题的解决提供指 导。
04 热传导方程的数值解法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的、互连 的子域（或单元）的方法。在每个单元内，选择合适的基函 数，将待求的解表示为这些基函数的线性组合。通过求解一 系列线性方程组，可以得到原问题的近似解。
有限元法在求解热传导方程时，可以将复杂的几何形状离散 化为有限个简单的几何形状，从而简化计算过程。同时，有 限元法能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用于各种类 型的热传导问题。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将连续的偏微分方程离散化为差分 方程来求解。
详细描述
有限差分法的基本步骤是将偏微分方程中的空间变量离散化为有限个点，然后将偏微分 方程转化为差分方程，最后通过迭代求解差分方程得到原方程的近似解。这种方法适用

工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念

工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念

t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则

第二章__热传导方程

第二章__热传导方程

0 x l, t 0,
t 0 : u ( x),
0 x l,
x
0
:
u 0;
x l : ux hu 0,
t 0.
上述定解问题可分解为下面两个混合问题：
ut
a 2 uxx
0,
(I ) t 0 : u ( x),
0 x l, t 0, 0 x l,
x
0
:
u 0,
其中:
u( x, t) Tk (t)sin k x; k 1
f ( x, t) fk (t)sin k x; k 1
( x) k sin k x; k 1
fk (t)
1 Mk
l
f (, t)sin
0
k d;
1l
k Mk
() sin
0
k d;
l
h
Mk 2 2(h2 k ) .
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶
定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u k n dSdt k1 (u u1 )dSdt,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
| ( x, y,z )
g( x,
y, z, t).
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2

数学物理方程 齐海涛 热传导方程

数学物理方程 齐海涛 热传导方程

齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
4 / 63
热传导方程的导出
函ê������ 关u变量������, ������ , ������ 具k二阶连Y偏导ê, 关u������ 具k一阶连Y偏 导ê. 在������ 内任取一闭曲面, 它所包Œ的区••Ω, d(1.1) 知, 从ž刻������1 到������2 ž刻流入Ω 的热量• ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ������������ ������ = ������ (������, ������, ������ ) d������ d������. (1.2) ������������ ������1 Γ 在žmm隔(������1 , ������2 ) 中Ô体§度从������(������, ������, ������, ������1 ) 变化到������(������, ������, ������, ������2 ), 它所áÂ的 热量• ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������(������, ������, ������ )������(������, ������, ������ )[������(������, ������, ������, ������2 ) − ������(������, ������, ������, ������1 )]d������d������ d������ Ω ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������������ = ������������ d������d������ d������ d������, ������������ ������1 Ω 其中������ •比热, ������ •密度.
(1.6)称•齐次热传导方程, 而(1.7)称•非齐次热传导方程.

热传导方程

热传导方程

热传导方程引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间演变的一种偏微分方程。

它广泛应用于热传导领域，如材料科学、工程热学、地球科学等。

热传导方程描述了热量在物质内部的传递方式，是研究热传导过程和温度场分布的重要工具。

热传导方程的一维形式考虑物质在一维情况下的热传导，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u为物质内部的温度，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。

热传导方程的二维形式对于二维的情况，假设热传导方程适用于平面内任意点，可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x和y为平面内的空间坐标，α为热扩散系数。

热传导方程的三维形式在三维情况下，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x、y和z为空间坐标，α为热扩散系数。

定解条件为了求解热传导方程，需要给定一些定解条件。

常见的定解条件有：•初始条件：指定初始时刻的温度分布，即u(x, y, z, 0)，其中u是温度，x、y和z分别是空间坐标，0表示初始时刻。

•边界条件：指定物体表面的温度或热流密度。

常见的边界条件有：第一类边界条件（温度指定），即u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)；第二类边界条件（热流密度指定），即-k * ∂u/∂n = q(x, y, z, t)，其中k为导热系数，n为法向量，q为热流密度。

热传导方程的数值解热传导方程是一个偏微分方程，通常无法得到解析解。

因此，需要借助数值计算方法来求解。

常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。

在有限差分法中，可以将空间离散为若干个网格点，时间离散为若干个时间步长。

热传导方程与扩散方程讲解

热传导方程与扩散方程讲解

x,
y,
z)
u n
dS dt .

在时间间隔[t1, t2 ]中, 温度从u( x, y, z, t1 )变化到u( x, y, z, t2 ), 它所吸收的热量是
c( x, y, z)( x, y, z)[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dxdydz.
D 为扩散系数
第二节 初边值问题的分离变量法
定解问题
ut a2uxx , 0 x L u |x0 0, u |xL 0 u |t0 ( x)
未知函数分离 u(x, t) X(x)T(t)
T' X a2TX"

泛定方程分离
T' X a 2T X
u u(x,t)
u Tk Xk
典型问题的求解
例题1
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
ut a2uxx 0, 0 x u |x0 0, u |x 0 u |t0 sin x( A B cos x)
u(x,t) X (x)T (t)
分离结果的求解
X" 2 X 0
X (0) X (L) 0
T'a2 2T 0
X ( x) C cos x D sin x
空间方程解出 X (0) C 0
X (L) D sin L 0
非零解条件 非零解
sin L 0 L k k / L, k N
它构成一个定解问题
u
初始问题： t

a2
2u x2
,
x ,t 0
u(x, 0) (x), x

数学物理方法-热传导方程

数学物理方法-热传导方程

[t2
t1
kgradu ds]dt
S
流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔 [t1, t2 ] 内区域V内各点温
度从 u(x, y, z, t1) 变化到 u(x, y, z, t2 ) ，则在 [t1,t2 ] 内V内温度升高所
需要的热量为
Q2 c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dV V
移方向的张力应该为零，即 T sin2 T tg2 Tux |xL 0
所以边界条件是：
ux
u x
|xL
0
第二类边界条件又称为Neuman条件。
3.第三类边界条件 给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系
(u
u )
n
f3(M ,t)
其中 为常数。
弦振动问题的弹性支承，即是这类边界条件。
)
——三维热传导方程
其中 a2 k c
若物体内有热源，其强度为 F(x, y, z,t) , 则相应的热传导方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
f
(x,
y, z,t)
其中 f F
c
作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不 是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或x，y，t）有关，则三维 热传导方程就变成一维热传导方程
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
t2 (
t2
k2udV )dt (
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
由于时间间隔 [t1, t2 ] 及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以 上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即

传热学课件第 二 章 稳 态 热传导

传热学课件第 二 章 稳 态 热传导

d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：

t w1 t w 2
ql
Q l

t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1

i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0

数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出

数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出

n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯 西
初始条件 u
a2u f
问 题
t0
初 边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN

热传导方程

热传导方程

热传导方程热传导方程：恒温下，物体各部分之间的传热量与传热面积成正比，这一规律称为热传导定律。

通过查表得知，温度为45摄氏度时，传热系数为0.038，即0.038KJ/m2。

1。

恒温，可求各处温度2。

标准大气压下，可以忽略体积功3。

利用表面传热系数4。

在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 5。

画出热传导图： 1-2。

4。

45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。

利用物理关系求传热速率： 0.038kJ/m2*s=12.2kJ/（ m2。

s*s） =16.4KJ/s1。

查热传导方程2。

三次的不同结果都是温度，说明所得数据有误差，故采用插值法，用x表示x分之一，代入上式，解出p= 0.0383。

绘制热传导方程图4。

求各个点的传热速率（ p。

m。

） 5。

根据平均值求传热速率（ 4。

15KJ/s*s= 2。

28KJ/s*s=1。

6。

45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。

利用物理关系求传热速率： 0。

15KJ/m2*s=4。

33KJ/s*s= 1。

4。

当然也可求每个点的温度6。

实际上任何一个热力学系统，除了整个系统处于热平衡外，总还存在着各种各样的内能变化和相变。

内能是能量转化和守恒的量度。

对于一个孤立系统，由于能量在各处是不相互作用的，而且系统和环境都是绝热的，因此系统的内能只取决于系统本身的性质。

温度对内能有着直接的影响。

从能量观点看来，温度是物体分子热运动平均动能的标志。

在绝热条件下，热运动总是从高温区向低温区单方向地进行。

而分子热运动的平均动能是温度的量度，温度越高，分子平均动能就越大，分子平均动能越大，反应速度也就越快。

4。

利用表面传热系数5。

在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 6。

画出热传导图： 1-2。

4。

45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。

利用物理关系求传热速率： 0。

15KJ/m2*s=3。

热传导PPT课件

热传导PPT课件
（傅利叶导热定律）
负号表示热量向低温处传递，常数λ称为热导率（或导热系数）
热导率：材料传输热量的能力的表征参数。指单位温度梯度下，
单位时间内通过单位垂直面积的热量，所以其单位为W/(m•K)
或J/(m•s•K)
.
3
傅利叶导热定律适用条件：稳定传热的条件，即传热过程中， 材料在x方向上各处的T是恒定的，与时间无关，ΔQ/Δt是常数。
.
7
.
8
2、声子热导
从晶格格波的声子理论可知，热传导过程 ------声子从高浓度区域到低浓度区域的扩散过程。
热阻：声子扩散过程中的各种散射。
根据气体热传导的经典分子动力学，热传导系数 λ ：
1 c l 3
cV：单位体积气体分子的比热------单位体积中声子的比热； v ：气体分子的运动速度------声子的运动速度； l：气体分子的平均自由程------声子的平均自由程。
• 化学组成复杂的固体 具有小的热传导系数
如MgO,Al2O3和 MgAl2O4结构一样，而 MgAl2O4的热传导系数 低，2Al2O33SiO2莫来 石比尖晶石更小。
• 晶体是置换型固溶体， 非计量化合物时，热传 导系数降低。
0 20 40 60 MgO 体积分数
80 100 NiO
.
22
思考题：陶瓷、聚合物的导热情 况如何？
➢ 非稳定传热（物体内各处的温度随时间而变化 ） 一个与外界无热交换，本身存在温度梯度的物体，随着时间的 推移温度梯度趋于零的过程，即存在热端温度不断降低和冷端 温度不断升高，最终达到一致的平衡温度。该物体内单位面积 上温度随时间的变化率为：
（ρ为密度，CP为恒压热容）
.
4
二、热传导的物理机制

热传导方程

热传导方程

4热传导方程§1方程的导出和定解问题§2初值问题§3有界域上的定解问题§4应用举例——————————————————————————————————————1 方程的导出和定解问题1. 1热传导方程由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。

介质内部的温度分布用函数u(x,y,z,t)表示。

定义热流密度q (x,y,z,t ) 为单位时间里通过单位横截面积的热量。

Fourier定理热流密度q与温度函数u的梯度成正比，比例系数k称为导热系数，记为q= -k▽u (4.1) 在介质内部取一体积元，在x, x+dx ; y , y+dy ; z , z+dz 间，如图4.1图4.1 体积元热流从一个面流入，则会从另一个面穿出，净流人体积元的热量等于从一些面元流入的减去从其它面元流出的热量．这里符号规则规定热流流出为正．单位时间内流入小体积元内的总热量dQ为dxdydzuk dxdyq qdxdzqqdydzqqdQzzdzzzyydyyyxxdxxx) ()|| ()||()|| (∇∇=------=+++如果小体积元内无热源，则小体积元的温度变化正比于流入净热量，由比热定律有dxdydzdt u k dudxdydz c )(∇∇=ρ ( 4.2 )其中C 是介质的比热，ρ是质量密度．对于均匀和各向同性的介质， k c ,,ρ 都是正常数，式(4.2)可写成Ω∈=∇-a y x u a u t ,,022其中c k a ρ/2=成为热导率。

其大小取决于介质性质。

表4.1列出部分材料的热导率。

表 4.1 部分材料的热导率 a 2 (cm 2/sec )银 1.71铜 1.14铝 0.86铁 0.12若物体内部有热源，比如有电流或有化学反应做出热量，将单位时间单位体积产热率称为热密度，记为 F= ( x , y , z , t )．那么，在式（4．2）右边应加上Fdxdydzdt 如如何一项．从而，导出非齐次热传导方程),,,(22t z y x f u a u t =∇- ( 4.4 ) 其中，ρc F t z y x f /),,,(=定解条件① ① 初始条件),,(),,,(z y x o z y x u ϕ= ( 4.5 )热传导方程只需一个初值条件，是因为热传导方程只含有u 对时间一阶偏导数u t 。

《传热学》第2章_稳态热传导

《传热学》第2章_稳态热传导
t 0 f (r)
2021/8/11
第2章 稳态热传导
边界条件: 导热物体边界上温度或换热情况，共分三类：
1. 规定了边界上的温度值，称为第一类边界条件。对于非稳态 导热，这类边界条件要求给出以下关系式：
0 时 tw ， f1
2. 规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件。对于非稳 态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：
问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？
qt1 ntn1 t1ntn1
ri
i
2021/8/11 i1
i1 i
ti1 ti qii
第2章 稳态热传导
例2-1 一锅炉炉壁采用密度为300kg/m3的珍珠岩制作,壁厚δ=120mm， 已知内壁温度t1=500℃,外壁温度t2=50℃，试求每平方米炉壁·每小时 的热损失。
均匀且各向异性材料：
木材、石墨、变压器的铁芯(顺木纹方向>>垂直纹方向)
不均匀且各向同性材料：
空心砖(空心率为40%,导热系数减少50%)
不均匀且各向异性材料：
多层不均匀板壳(注意连续性条件)
2021/8/11
第2章 稳态热传导
2.2 导热问题的数学描述
物理问题
分析主要的 物理量
应用相应的 物理定理
两次积分，得通解： d dxtc1tc1xc2
带入边界条件：
2021/8/11
c1
t2 t1
c2 t1
d 2t dx 2
0
导热微 分方程
ห้องสมุดไป่ตู้
t
t1
t2
o
第2章 稳态热传导
t
dt
dx
t2
t2

热传导动方程

热传导动方程

用 F ( x , y , z , t ) 表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 t 1 到 t 2 这段时间内 内热 源所提供的热量为 t2 Q2 [ F ( x, y, z, t )dV ]dt (1.3)
t1
Q2
第二章 热传导方程
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV ]dt [ ( ( k ) ( k ) ( k ))dV ]dt t1 [ t1 t x x y y z z t2
u n u

特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，表示物体绝热。
g( x, y, z , t ), ( x, y, z ) ,
t 0,
(1.10)
k1 k1 其中： 0, g u1 . k k
数学物理方程 注意第三边界条件的推导：
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
t 0 : u( x , t ) ( x , y , z ), ( x, y, z ) G , (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u

g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
数学物理方程
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n

第二章 热传导方程
g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
t 0,
(1.9)

热力学热容和热传导方程

热力学热容和热传导方程

热力学热容和热传导方程热力学热容和热传导方程是研究物体热力学性质和热传导过程中的重要方程。

本文将就热力学热容和热传导方程的定义、特点以及应用进行讨论和探索。

一、热力学热容热力学热容是描述物体吸热能力的物理量，通常用符号C表示。

热容的定义是单位质量物质温度升高1摄氏度所需吸收的热量。

根据定义，热容可以用下式表示：C = dq / (m * dT)其中，C表示热容，dq表示吸收的热量，m表示质量，dT表示温度变化。

热容有两种不同的定义，分别是定压热容和定容热容。

定压热容表示在压强不变的情况下，单位质量物质温度升高1摄氏度所需吸收的热量，用符号Cp表示；定容热容表示在体积不变的情况下，单位质量物质温度升高1摄氏度所需吸收的热量，用符号Cv表示。

在实际应用中，定压热容和定容热容往往有一定的差别，因此需要根据实际情况进行选择。

例如，在气体热力学问题中，往往使用定压热容；而在固体热力学问题中，定容热容更为常用。

二、热传导方程热传导是指物体内部因温度差异而发生的热量传递过程。

热传导方程描述了热传导的数学规律，通常用符号∇·(k∇T) = ρc∂T/∂t来表示。

其中，∇表示梯度算子，k表示热传导系数，T表示温度，ρ表示密度，c表示热容，t表示时间。

热传导方程的形式可以根据不同情况进行推导和变形，常见的形式有一维稳态热传导方程、一维非稳态热传导方程以及三维热传导方程等。

这些方程在热传导问题的计算和分析中有着重要的应用。

热传导方程的求解可以通过数值方法或者解析方法进行，具体方法根据实际问题的复杂程度和求解精度来选择。

通过热传导方程的求解，可以研究物体的热传导特性以及温度分布的变化情况，对于工程设计和科学研究具有重要意义。

三、应用与展望热容和热传导方程的应用涵盖了多个领域。

在工程领域中，热容和热传导方程的研究可以用于热工系统的设计与优化，例如锅炉、换热器、冷却器等设备。

同时，研究热传导方程可以帮助我们了解材料的热传导性能，指导材料的选择与设计。

化工基础第二章(热传导)2008

化工基础第二章(热传导)2008
2.2 热传导
第二章
2.2.1 傅立叶定律 2.2.2 导热系数 2.2.3 平面壁的稳态热传导 2.2.4 圆筒壁的稳态热传导
热量传递
2013-9-10
2.2.1
傅立叶定律
热传导是起因于物体内部分子微观运动的一种传热方式，虽 然其微观机理非常复杂，但热传导的宏观规律可用傅立叶定律 来描述。由于只有固体中有纯导热，本节只讨论的对象仅为各 向同性、质地均匀固体物质的热传导。
厚的普通砖砌成，其导热系数分别为1.0 W/(m.℃)及0.8(
W/m.℃)。操作稳定后，测得炉壁内表面温度为720℃，外表
面温度为120℃。为减小燃烧炉的热损失，在普通砖的外表 面增加一层厚为30mm，导热系数为0.03(W/m.℃）的保温材 料。待操作稳定后，又测得炉壁内表面温度为800℃，外表 面温度为80℃。设原有两层材料的导热系数不变，试求： （1）加保温层后炉壁的热损失比原来减少的百分数； （2）加保温层后各层接触面的温度。
t1 t 4 800 80 q2 Q / S 600(W / m 2 ) 0.10 0.08 0.03 b1 b2 b3 1 0.8 0.03 1 2 3
q1 q 2 3000－600 100％＝ 100％＝80％ q1 3000
2013-9-10
（2）液体的导热系数
由于液体分子间相互作用的复杂性，液体导热系数的理论 推导比较困难，目前主要依靠实验方法测定。
液体可分为金属液体（液态金属）和非金属液体。液态金 属的导热系数比一般的液体要高。大多数金属液体的导热系 数均随温度的升高而降低。
除水和甘油外，大多数非金属液体的导热系数随温度的升 高而降低。 液体的导热系数基本上与压力无关。 一般来说，纯液体的导热系数比其溶液的要大。 溶液的导热系数在缺乏实验数据时，可按纯液体的λ值进行 估算。

传热之热传导PPT课件

传热之热传导PPT课件

方向：垂直于等温面，沿 温度增加的方向， 与热量传递的方向 相反
第4页/共18页
热传导
热传导的基本概念和定律
傅立叶定律 热传导的基本定律，表示单位时间内传导的热量与温
度梯度及垂直热流方向的截面积成正比
传热方向和温度梯度相反
导热速率 W
dQ dA t
x
导热面积
温度梯度
物质热导率
m2
W/m•K ➢ 物质的物理性质之一，λ越大,导热越快，导热性能越好
热传导
通过平壁的定态热传导
例 某炉膛由三种材料的平砖构成，内层为耐火砖，厚度为150 mm；中间层为绝热层砖，厚度
为130 mm；外层为普通砖，厚度为230 mm。已知炉内外壁表面温度分别为900 ℃和40 ℃，
求耐火砖与绝热砖之间的温度。（热导率w/(m•℃),：耐火砖1.15，绝热砖0.15，普通砖0.8）
解 示意图如图所示
Q1 Q
900 ℃
t1 t2
t1 t4
b1
b1 b2 b3
40 ℃
1A 1A 2 A 3 A
b1=150 mm
b3=230 mm
b2=130 mm
等号两侧消去A， 代入数据得
t2 812.70C
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热传导
通过圆筒壁的定态热传导
L
dQ dA t
x
模型条件：1. 定态传热，即传热速率为常数，但热通量变化； 2. 圆筒壁长L，内外径为r1、r2； 3. 内外壁温度恒定，分别为t1、t2.
本章章节
第一节 概述（重点） 第二节 热传导（重点） 第三节 对流传热（重点） 第四节 传热过程计算（重点） 第五节 对流传热系数经验关联式 第六节 辐射传热 第七节 换热器

2 热传导方程的离散化(讲义)

2 热传导方程的离散化(讲义)

但是，这样给出的结果是否符合实际情况呢？一个特殊的情况 是在采用等节点间距时，我们有
W
w
W
w
ke =
k P + kE 2
2.1 一维稳态导热问题的离散化
考虑一种极限的情况，如果一侧的导热系数极小，而 另外一侧的导热系数很大，从物理上看，这个界面应 该表现为一个绝热的界面。而从算术平均的计算方法 来看，显然这个界面的导热系数是很大的。为了解决 这个困难，我们回顾一维复合壁面的稳态导热问题
(δ x)w
(δ x)w+ (δ x)w−
(δ x)e (δ x)e− P ∆x E
(δ x)w
(δ x)w+ (δ x)w−
(δ x)e (δ x)e− P ∆x E
dT + S ∆x = 0 dx w T −T −qE − kw P W + ( Sc + S PTP )∆x = 0 (δ x)w
T
aP ≥ ∑ anb
W
w
P
e
E
2.1 一维稳态导热问题的离散化
（13）代数方程组的求解方法
在代数方程组求解时，有直接解法和迭代解法可供 选择，以下我们分别来讨论。 首先我们来讨论直接解法。将离散化方程改写成
2.1 一维稳态导热问题的离散化
整理成矩阵形式 a1 −c 2 − d1 a2 O −d 2 O O T1 e1 T e 2 2 M M = M M −d n −1 Tn−1 en −1 an Tn en
(δ x) e + (δ x) e − ke = k P + kE (δ x ) e (δ x ) e
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（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问
题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问
题为：
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t), ( x, y, z, t) ,
u( x, y, z, t) |t0 ( x, y, z), ( x, y, z, t) ,
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
t 0 : u(x, t) (x, y, z), (x, y, z) G, (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g( x, y, z, t), ( x, y, z) , t 0, (1.8)
区域 内各点的温度从时刻 t1 的温度u(x, y, z, t1 ) 改变为时刻 t2 的温度 u(x, y, z, t2 ) 所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 t1 到时刻 t2 这
段时间内通过曲面S 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1 +热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q
设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C
所需要的热量）为 c c(x, y, z), 密度为 (x, y, z),
那么包含点 (x, y, z) 的体积微元 dV 的温度从u(x, y, z, t1 变为 u(x, y, z, t2 )所需要的热量为
u t
a2
2u x 2
2u y2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
.
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
度为 u1(x, y, z, t) ，它与物体表面的温度 u(x, y, z, t)
并不相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导试 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
验定律或 牛顿定律
dQ k1(u u1)dSdt,
(1.11)
其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n g( x, y, z, t), ( x, y, z) ,
t 0, (1.9)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，表示物体绝热。 注：
u
n 表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方 向导数
通过边
热源放
化吸收
界流入
出的热
的热量
的热量
量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
dQ k( x, y, z) u dS dt , n
k( x, y, z) 为热传导系数。
热传导方程的推导：
任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区
域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n
u
g( x,
y,
z, t),
(x, y, z) ,
其中： k1 0,
k
g
k1 k
u1 .
t 0,
(1.10)
注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入
空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温
（3）热源提供的热量 Q2
用 F( x, y, z, t)表示热源强度，即单位时间内从单位
体积内放出的热量，则从 源所提供的热量为
t1
到
t2
这段时间内
内热
Q2
[t2
t1
F( x, y, z, t)dV ]dt
由热量守恒定律得：
(1.3)
[t2
c u dV ]dt [t2
u u u ( (k ) (k ) (k ))dV ]dt
dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
整个 内温度变化所需要的能量 Q
Q dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
c( t2 udt)dV [t2 c u dV ]dt
t1 t
t1
t
(1.1)
u |(x, y,z) g( x, y, z, t), t 0.
t 0,
定义2 在区域 R3 [0, )上，由方程（1.5）和初 始条件（1.7）组成的定解问题称为初值问题或柯西问
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t1 到 t2 这段时间内通过 S
进入 内的热量为
Q1
t2 k( x, y, z) u dS dt ,
t1 S
n
由高斯公式
divAdxdydz A ndSx
S
知
Q1
[t2
t1
( (k u) (k u) (k u))dV ]dt .(1.2) x Fra bibliotek y y z z
定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
k u dSdt n
k1 (u u1 )dSdt ,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
|( x, y,z )
g( x,
y,
z, t).
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初
始条件（1.7）和边界条件（1.9）、（1.10）、
第二章 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件
一、热传导方程的导出： 模型：给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x, y, z)
在时刻 t 的温度为 u( x, y, z, t)。 问题： 研究温度 u( x, y, z, t) 的运动规律。
分析：（两个物理定律）
1、热量守恒定律:
温度变
t1
t
t1 x x y y z z
[t2 F(x, y, z,t)dV ]dt t1
由 及 t1 , t2 的任意性知
c u
(k
u )
(k
u )
(k
u )
F
(
x,
y,
z,
t ).(1.4)
t x x y y z z
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c, , k 都为常数的物体）