《椭圆及其标准方程》导学案

名师精编 优秀教案 第1课时 椭圆及其标准方程 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,理解椭圆标准方程的推导与化简. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.学好数形结合数学思想的运用. 3.通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力,提高探索数学的兴趣,激发学习热情.

问题1:我们如何作出一个椭圆?要准确地作出一个椭圆,需要哪些几何要素? 用图钉、一段绳子等,焦点间距离(焦距)、 到 间的距离和. 问题2:椭圆的概念:在平面内与两个定点F1、F2的距离的 等于常数( |F1F2|)的点的轨迹叫作 .这两定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 . 问题3:你能分别写出焦点在x轴和y轴上的椭圆的标准方程吗? 名师精编 优秀教案 (1)椭圆的焦点为(-c,0),(c,0),椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a,记b=,则椭圆的标准方程为 . (2)椭圆的焦点为(0,-c),(0,c),椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a,记b=,则椭圆的标准方程为 . 问题4:轨迹为椭圆的标准方程求解时需注意什么? 动点P到两个定点F1, F2的距离和为2a,两定点距离=2c,则动点的轨迹分以下几种情况进行讨论: (1)当 时,动点轨迹为以F1, F2为焦点的椭圆; (2)当 时,动点轨迹为线段F1F2; (3)当 时,动点轨迹不存在.

1.“0A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( ). A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆

3.椭圆+=1的焦点坐标为 . 4.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,求此椭圆的标准方程.

用待定系数法求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10; (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 名师精编 优秀教案 (3)经过点(,)和点(,1). 椭圆定义的应用 (1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( ). A.2 B.6 C.4 D.12 (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),E是圆C上的一个动点,EF的垂直平分线PQ与CE交于点B,与EF交于点D.则点B的轨迹方程为 .

求与椭圆有关的轨迹方程 △ABC的三边a,b,c成等差数列,A、C两点的坐标分别是(-1,0)和(1,0),求顶点B的轨迹方程.

求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为F1(-3,0),F2(3,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10;

(2)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);

(3)经过两点(2,-),(-1,). 名师精编 优秀教案 (1)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若F2A+F2B=12,则AB= . (2)在△ABC中,已知B,C的坐标分别为(-3,0),(3,0),且△ABC周长为16,则顶点A的轨迹方程为 .

已知椭圆的中心为原点,焦距为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求椭圆的方程.

1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( ). A.4 B.5 C.8 D.10 2.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( ). A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.无法确定

3.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2为焦点,且∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积是 .4.已知椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为6,N是MF1的中点,求|ON|的值. 名师精编 优秀教案 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,),求椭圆C的方程.

考题变式(我来改编):

第二章 圆锥曲线与方程 第1课时 椭圆及其标准方程 知识体系梳理 问题1:动点 焦点 问题2:和 大于 椭圆 焦点 焦距 名师精编 优秀教案 问题3:(1)+=1(a>b>0) (2)+=1(a>b>0) 问题4:(1)a>c (2)a=c (3)a基础学习交流

1.C 若0m<9,且m>0,即“02.C ∵|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|,∴点M的轨迹是线段F1F2,故选C. 3.(-3,0)和(3,0) 由已知椭圆的焦点在x轴上,且a2=16,b2=7,∴c2=9,c=3.∴椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0).

4.解:由已知2a=8,2c=2,∴a=4,c=, ∴b2=a2-c2=16-15=1,

∴所求椭圆的标准方程为+x2=1. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)∵椭圆的焦点在x轴上,

∴设它的标准方程为+=1(a>b>0). ∵2a=10,∴a=5,

又∵c=4,∴b2=a2-c2=52-42=9.

∴所求椭圆的标准方程为+=1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上,

∴设它的标准方程为+=1(a>b>0). ∵椭圆经过点(0,2)和(1,0),

∴⇒

故所求椭圆的标准方程为+x2=1. (3)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).

∵点(,)和点(,1)都在椭圆上, 名师精编 优秀教案 ∴即

∴ 故所求椭圆的标准方程为x2+=1. 【小结】求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程,最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设

成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的坐标轴,从而简化求解过程.

探究二:【解析】(1)如图,由题意知a=.再根据椭圆的定义可知|BA|+|BF|=2a,|CA|+|CF|=2a.从而△ABC

的周长为|AB|+|BC|+|CA|=|AB|+|BF|+|CF|+|AC|=4a=4,故选C.

(2)因为PQ是EF的垂直平分线,从而|BF|=|BE|,所以|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4,因为|BC|+|BF|>|CF|=2,从而,由椭圆的定义可知点B的轨迹是以C,F为焦点,长轴长为4的椭圆,即2c=2,2a=4,

所以c=1,a=2,从而b2=a2-c2=3,

所以点B的轨迹方程为+=1.

【答案】(1)C (2)+=1 【小结】一般地,涉及椭圆上的点与两个焦点的距离的问题,通常可借助椭圆的定义来求解. 探究三:【解析】设B(x,y),∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,即+=2,

∴+=4>2,根据椭圆的定义知:点B在以A、C两点为焦点的椭圆上,

∴点B的轨迹方程为+=1. [问题]所求轨迹上的点都能和A、C组成三角形吗? [结论]不一定,椭圆中的点存在与点A、C共线的情形,此时不能组成三角形. 于是,正确解答如下: 名师精编 优秀教案 设B(x,y),∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,即+=2, ∴+=4>2,根据椭圆的定义知:点B在以A、C两点为焦点的椭圆上,

∴点B的轨迹方程为+=1. 又∵当x=±2时,A、B、C三点共线,不能构成三角形,

∴x≠±2,∴点B的轨迹方程为+=1(x≠±2). 【小结】在求与椭圆有关的轨迹方程时要注意两点:一是要紧密联系定义,二是要注意对自变量取值范围进行讨论. 思维拓展应用 应用一:(1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上,且c=3,2a=10,

所以a=5,b===4.

所以椭圆的标准方程为+=1. (2)(法一)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0). 由椭圆的定义知2a=+=12, 所以a=6. 又c=2,所以b==4.

所以椭圆的标准方程为+=1. (法二)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设其标准方程为+=1(a>b>0).

由题意得解得 所以椭圆的标准方程为+=1. (3)若椭圆的焦点在x轴上, 名师精编 优秀教案 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 同理可得:焦点在y轴上的椭圆不存在.

综上,所求椭圆的标准方程为+=1.

应用二:(1)8 (2)+=1(y≠0) (1)由椭圆的定义得AF1+AF2=10,BF1+BF2=10,两式相加得AB+AF2+BF2=20,即AB+12=20,所以AB=8. (2)因为△ABC周长为16,且BC=6,从而AB+AC=16-6=10,从而可知点A的轨迹是以B,C为两焦点的椭圆(除去椭圆上与B,C共线的两点),且a=5,c=3,则b2=a2-c2=16,焦点在x轴上,又A,B,C三点不能共线,故点A

的轨迹方程是+=1(y≠0). 应用三:当椭圆的焦点在x轴上时, 设它的标准方程为

+=1(a>b>0). ∵2c=8,∴c=4,又a=6,

∴b2=a2-c2=20,∴椭圆的方程为+=1. 当椭圆的焦点在y轴上时, 设它的标准方程为

+=1(a>b>0). ∵2c=8,∴c=4,又b=6,∴a2=b2+c2=52,

∴椭圆的方程为+=1.