椭圆及其标准方程 PPT

a2 ＞ b2 a2 ＞0 b2 ＞0
m2－3＞２m m2 －3＞０ ２m＞０
例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴.两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆
上一点P到两焦点距离的和等于10；
P到两焦点距离的和等于10，也就是2a=10
两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，也就是c=4
思路二： 待定系数法
判断出焦点所在坐标轴，设出相应方程… 列方程组，求a、b的值…
例1 练习 例2 小结
课堂小结：
1. 椭圆定义
平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合．
P={M | |MF1|＋|MF2|=2a }． 2.两种标准方程
焦点在x轴
： x2 a2
y2 b2
1 ，（a b 0）.
椭圆的方程的推导
M (x，y)
以两定点F1、F2的直线为x轴， 线段F1F2的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系．
(-Fc1，0) O
(cF，2 0)x
设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，
那么，焦点 F1、F2 的坐标分别是 (－c,0) (c,0)． 又设M与F1和F2的距离的和等于常数 2a (a＞0) ．
(-c，0)
④2a=| MF1 | + | MF2 |．
F1
M
x
(c，0)
5
3
－4 0
4 40
2a-6=4
如果使点F1、F2在y轴上，以线段F1F2的 垂直平分线为x轴，建立直角坐标系．
y2 x2 1 ，（a b 0）. a2 b2
y
F2
(0，c) M (x，y)
O
x
①它所表示的椭圆的焦点在y轴上， F1 (0，-c)
b
0 ）.
①椭圆的焦点在y轴上，
②焦点是(0 ,－c)、(0 , c)，
③a2=b2+c2．
④2a=| MF1 | + | MF2 |．
y
(0,-1),(0,1)
x
(-1,0),(1,0)
m>3m或>3m<－1 －0 1<m<m<3<3
m>3
分析: a2=m2－3, b2=2m 0 <m<3 因为a2=b2+c2,所以a2>b2>0
∴ a2＝25，c2＝16．∴ b2=a2－c2=9．
∴ 所求椭圆的标准方程为
例1 练习 例2 小结
练习：
动点M到两个定点A（0，- 6）、B（0，6）的 距离的和是20，求动点M的轨迹方程。
解： M到两焦点距离的和等于20 ， 也就是2a=20
又由两个焦点的坐标得c= 6
∴ a2＝100，c2＝36． ∴ b2=a2－c2=64．
②焦点是F1(0 ，－c)、F2(0，c)，
④2a=| MF1 | + | MF2 |．
两种标准方程的比较
x2 a2
y2 b2
1பைடு நூலகம்
，（a b
0 ）.
①椭圆的焦点在x轴上，
②焦点是 (－c,0)、(c,0)，
③a2=b2+c2．
④2a=| MF1 | + | MF2 |．
y2 a2
x2 b2
1
，（a
即:a2=b2+c2
代入上式得： b2 x2 a2 y2 a2b2 ，
两边同除以a2b2，得：
x2 y2 1 ，（a b 0）
a2 b2
椭圆的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1
，（a b 0）.
y
①它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上，
F2
②焦点是F1(－c，0)、F2(c，0)，
O
③这里a2=b2+c2 ．
焦点在y轴 :
y2 a2
x2 b2
1 ，（a b 0）.
例1 练习 例2 小结
课后练习：
①推导椭圆焦点在y轴上的标准方程 ②习题8.1 3. ⑴ , ⑷
谢谢大家！
思考：如何建立椭圆的方程？ 建立椭圆的方程需要哪些步骤呢？
根据椭圆的定义来求椭圆的方程， 步骤：
(1)建系设点(x,y) (2)写关系式 (3)将（x,y）代入关系式，列出方程 (4)化简方程 (5)证 明
椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离 y 的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合．
y2 x2
∴ 所求椭圆的标准方程为
1
100 64
例1 练习 例2 小结
(2)两个焦点的坐标分别是A(0,－2)、B(0,2)，并且椭
圆经过点C (- 3 ,5 )的椭圆方程.
22
y
思路一： 直接法
已知A、B、C三点坐标，
2B C
2a=|AC|+|BC|=…
C=2
O
x
b2 =a2－c2…
-2 A
代入相应的标准形式…
即： |MF1|＋|MF2|=2a．
将这个方程移项
两边平方，得: 整理得:
上式两边再平方，得：
a4 - 2a2cx c2x2 a2x2 - 2a2cx a2c2 a2 y2,
上式整理得:
(a2 - c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 - c2 )
由椭圆的定义可知，
令a2 - c2 b2，其中b > 0,
生活中有哪些椭圆？
性质：
M
椭圆上任意一点M 都有
|MF1|+|MF2|=绳长（定长）
定长 > |F1F2|
请同学们类比： 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆．
想一下如何定义椭圆：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做 椭 圆 ．
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距．