2.2.1椭圆及其标准方程

x2/15+y2/5=1
• (2)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点 (3,0)的椭圆的标准方程。
•
x2/9＋y2/8＝1 若知椭圆的焦点在
x轴上可以设方程为
x2 m c2

y2 m
1
若知椭圆的焦点在
y轴上可以设方程为
x2 m

m
y2 c2
1
• (3)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦点到直线l：
即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即: a2 cx a (x c)2 y2
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
xBaidu Nhomakorabea
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
x2 y2 1 16
(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
x2 y2 1或 x2 y 2 1
16
16
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），
椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），
16 m 9 2
解题感悟： 方程表示椭圆时要看清楚限
制条件，焦点在哪个轴上。
思考：方程Ax2 By2 1表示椭圆的充要条件是____, 表示焦点在y轴上的充要条件是______
A 0, B 0, A B AB0
练习3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴 上的椭圆，求k的取值范围。
y
F2
M
o
F1
x
y2 a2

x2 b2
1
a

b

0
四、两类标准方程的对照表：
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2

y2 b2
1
a

b

0
F(±c，0)在Ｘ轴上
ox
F1
y2 a2

x2 b2
16 m 25且m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
(1)m 9 2
析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
所以椭圆的标准方程为：x2 y2 1
25 9
(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且 椭圆经过点P (5 , 3) 。
22
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：
x2 a2

y2 b2
1(a b 0)
由椭圆的定义可知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
因为2a>2c，即a>c，所以 a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中 b>0，代入上式可得：
b2x2+a2y2=a2b2
F1
(-c,0)
Y M(x,y)
O
F2 X
(c,0)
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
• 例1求焦点在坐标轴上，且经 过两点 A( 3,2), B(2 3,1)
• 的椭圆的标准方程。
分析一：当焦点在x轴上时， 设方程x2/a2+y2/b2=1
当焦点在x轴上时， 设方程x2/b2+y2/a2=1
分析二：设方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)
内到两定点F1、F2距离之
F1
O
F2 X 和为定值2a（2a>2c)的动
(-c,0)
(c,0) 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
则:|MF1|+ |MF2|=2a
x2
y2
(3)
1
16 16
(5)
x2 m2

y2 m2 1
1
(4)9x2 25 y 2 225 0
? (6) x2 y2 1 24 k 16 k
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
①表示一个圆；
析：方程表示圆需要满足的条件：
a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是
(y≠0).
x2 y2 1 36 20
定义法
练习：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、 AB、CB的长成等差数列，则点C的 轨迹方程是___x_2/_4_+y_2_/3_=_1___.
椭圆及其标准方程 (2)
复习旧知
标准方程
不
图形
同
点
x2 + y2 = 1a > b > 0
垂线段PP',点M在PP'上，并且PM 2MP',求点M的轨迹。
y P
M
x2 y2 1 9
o P’
x
例3：P是椭圆 x2 100

y2 64

1上的一点，F1,
F2是两个焦点
若F1PF2 600 求
（1）三角形F1PF2的面积
（2）PF1 • PF2 的最大值
P
解：由椭圆定义知PF1 PF2 20，(1) 在△F1PF2中由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 - 2 PF1 • PF2 cos600 122 PF1 2 PF2 2 PF1 • PF2 144 ( PF1 PF2 )2 3 PF1 • PF2 144
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
一个轴上。
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的 值。
五、数学应用：
例１ 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
16 m 25且m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
①表示一个圆； ②表示一个椭圆；
(1)m 9
(2)
16

m
2
25且m

9
2
③表示焦点在x轴上的椭圆。
析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
2
2
2
2
所 以 a 10 又因 c=2， 故 b2=a2-c2=10-22=6
所以椭圆的标准方程为：
x2
y2
1
10 6
课堂练习2：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x2 (1)

y2
1
25 16
(2) 3x2 2 y 2 1
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1，分别求方程满足下列条件
的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
(1)m 9 2
析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
课堂练习1
（1）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离
之和为8，则P点的轨迹为
（ B）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
（2）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0） 的距离之和为不小于8，则P点的轨迹为 （ ）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
202 3 PF1
•
PF2
144
PF1
•
PF2

256 3
S

1 2
PF1
•
PF2
sin
F1PF2

64 3
3
(2) a 10，又 PF1 PF2 20，
PF1 PF2 2
PF1
且椭圆经过点P
(
5 2
,
3 2
)。
(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭 圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程
为： x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)
2a=10，2c=8 即 a=5，c=4
故 b2=a2-c2=52-42=9
两边同时除以a2b2得：
x2 a2

y2 b2
1 (a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
三、①椭圆方程的几何意义：
y
y
F1 o F2 x
B2 A1 b a A2
F1 O c F2 x
B1
x2 a2

y2 b2
1
a

b

0
②椭圆的第二种形式：
如果椭圆的焦点在y轴上， 焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (对称、“简
Y
M (x,y)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的定点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
下面我们来求椭圆的标准方程.
1
a
b 0
F(0，±c)在Ｙ轴上
c2=a2-b2
注: 哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
YM
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
x2 a2

y2 b2
1(a b 0)
椭圆的标准方程的再认识：
Y
F2(0 , c)
M X
O
F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
天体的运行
一.课题引入：
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
椭圆的画法
椭圆及其标准方程
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
x－y－2＝0的距离为 2 2 ，求椭圆方程。
• x2/8＋y2/4＝1
例2、在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作x轴
的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线 段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
y
P
Dx o
相关点法(转移法):即利用中间变量求曲线方程.
变式：已知圆x2 y2 9,从这个圆上任意一点P向x轴作
解：由4 x 2
ky2
1得
x2 1

y2 1
1
4k
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
1 1 k4
解之得：0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。
例3、过椭圆4x2 y2 1的一个焦点
交于A、B两点，求 ABF2 的周长。
F1 的直线与椭圆
y
F2
oB
x
A F1
例4:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的 轨迹方程.
解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示 的直角坐标系,则B､C两点的坐标分别为(-4,0)､(4,0).
∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,
∴|AB|+|AC|=12>|BC|,
∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆 (除去与x轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得
问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？ 线段F1F2
问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？ 轨迹不存在
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：