2.2.1椭圆及其标准方程(第一课时)

鹿邑三高导学案高二年级数学学科 编写人：毛新正审核人：刘雪纯备课组长签字：课题：§2.1.1椭圆及其标准方程(1) 课时：2 本期总课时：9I 、（1）课标考纲解读：理解并掌握椭圆的定义。

（2）状元学习方案：自学与小组讨论相结合。

II 、1.学习目标（1）理解椭圆的定义.（2）掌握求椭圆的方程的方法；2.学习重点：掌握椭圆的定义及其标准方程。

学习难点：椭圆的标准方程的推导与化简。

3.学法指导：通过自学讨论与课堂展示相结合。

4.知识链接：求曲线方程的方法。

III 、学习过程[教材助读]:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作道具，自画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式 ，若2a =21F F ，动点的轨迹是 ，若2a 〈21F F ，动点的轨迹是 ；问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

问题4：指出图中的哪些线段的长度是a___________________。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，阅读教材理解推导椭圆方程过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式__________________________[预习自测]1、设P 是椭圆1162522=+yx上的一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则=+21PF PF ( ) A 、10 B 、8 C 、5 D 、42、 椭圆的顶点为（-5，0），（5，0）和（0，-4），（0，4），则其方程为_________________________3、 椭圆221259xy+=的焦点坐标____________________________。

4椭圆22xy110036+=上一点P 到左焦点的距离是6.5，则到右焦点的距离是_____5、已知椭圆12222=+ya x 的一个焦点为（2,0），则椭圆的方程为( ) A 、12422=+yxB 、12322=+yxC 、1222=+yx D 、12622=+yx[合作探究 展示点评]探究一：椭圆的基本量根据下列方程，分别求出椭圆中 a,b,c 的值 1．椭圆2222146x y +=， 则a= ,b= ,c= 。

《椭圆及其标准方程》教学设计（第一课时）一、课标要求理解掌握椭圆的定义，标准方程及其推导过程，会求一些简单的椭圆的标准方程．二、教学设计思想《椭圆及其标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线,因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础,所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1)通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力．（2）由演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题,充分调动学生学习自主性和积极性,并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过:“不能只向学生奉献真理,而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学,正是本着这样的教学思想去设计的．三、教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；2、掌握椭圆标准方程的推导过程；3、会求一些简单的椭圆的标准方程．（二）过程与方法通过数形结合，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力．（三）情感态度、价值观1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．四、教学重点与难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．难点:椭圆标准方程的推导．五、教学基本流程→→→→→→→几点说明：(1）本节课容量大，建议采用信息技术创设教学情景．（2）教学中教师应该注意少讲，还应力求克服单纯展示课件的教学形式，使计算机辅助教学的作用得以充分发挥，应该给学生充分的时间去尝试、思考、交流、讨论和表述，从而使学生想象、发现问题的空间更加广阔．。

2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时）厦门双十中学梁莹莹教学目标：1．知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；（2）能根据已知条件求椭圆的标准方程；2．过程与方法（1）让学生经历椭圆概念的形成过程，培养学生动手能力和合作学习能力，锻炼学生观察分析和归纳概括能力；（2）通过椭圆标准方程的推导过程，使学生进一步理解曲线与方程的概念，体会用建立曲线方程的基本方法——坐标法，渗透数形结合思想，培养计算能力。

（3）在求解椭圆的标准方程的过程，使学生掌握待定系数法，并渗透分类讨论思想。

3．情感、态度和价值观（1）亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美（对称美、简洁美）的熏陶；（2）通过主动探索，合作交流，体会数学的理性和严谨；（3）通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神，养成扎实严谨的科学态度。

教学重点：椭圆的定义及其标准方程教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简教学方法：引导探究法教学准备：PPT，几何画板，Flash，画椭圆工具（绘图板、图钉、绳子、笔）教学过程：一、创设情境，引入课题几何画板演示一些天体运行的轨迹图，并提出问题——这些天体运行的轨迹是什么？学生经过观察，很直观地看出是椭圆。

问：你能不能列举生活中椭圆的例子？从而引出课题[设计意图]激发学习兴趣，了解生活中有椭圆，说明研究椭圆的必要性。

二、实验探究，形成概念1、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图版的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？（回顾圆定义）2、如果把细绳的两端拉开一段距离，将圆心分开变成两个，绳子两端固定在这两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线。

学生活动：拿出事先准备的学具，动手合作操作，画出椭圆。

教师活动：用教具画椭圆。

3、在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？4、你能自己归纳椭圆的定义吗？活动：学生观察分析、归纳定义，老师补充概括，给出椭圆定义，并引导学生注意对关键条件。

椭圆及其标准方程（第一课时）教案一．教材及学情分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修2－1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时．用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线．圆锥曲线的发现与研究始于古希腊．当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广．17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修2中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．二．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三．重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四．教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．五．教学过程创设情境——提出问题,学生活动——体验数学,意义建构——感知数学,数学理论——建立数学,数学应用——巩固新知,回顾反思——归纳提炼,课后作业——巩固提高（一）创设情境——提出问题以折纸游戏创设问题情境请学生将课前统一发放的圆形纸片拿出来，并按如下步骤进行操作：1．将圆心记作点，然后在圆内任取一定点2．在圆周上任取10个点，分别记作，将它们与圆心相连，得半径3．折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径的交点记作；然后再次折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径的交点记作；……；依此类推，最后折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径的交点记作4．用平滑曲线顺次连接点，你有何发现？设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望（二）学生活动——体验数学1．学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆2．展示学生成果3．用几何画板展示动点生成轨迹的全过程，印证猜想4．展示椭圆实际应用的幻灯片5．导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知．数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？——椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？——椭圆的标准方程．这就是我们这节课的重点内容．设计意图：从折纸游戏中导出新课，明确研究课题（三）意义建构——感知数学椭圆定义的初步生成学生每4人一组，合作探究，在刚才的折纸游戏中，折痕与对应半径的交点的共同属性，教师巡视指导．如学生有困难，可按如下提示铺设认知阶梯：如何用数学语言表达点与定点重合——点与定点关于折痕轴对称对称轴有什么特点——折痕即对称轴是线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点有什么几何性质——到线段两个端点距离相等，即动点与定点之间有什么关系——请学生代表本小组交流探究结论——与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆（四）数学理论——建立数学1．椭圆定义的完善提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？如何体现点在定圆的内部？引导学生回答：点在定圆的内部即点到圆心的距离小于圆的半径，也就是，从而意识到在“定义”中需要加上“常数>”的限制．应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；当常数<时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义．设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风2．椭圆的标准方程(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性(2)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设焦距为，则．设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为．②动点满足的几何约束条件:③坐标化：④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项后两次平方法链接到几何画板，分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将轴、轴的名称换为轴、轴或轴、轴．（1） （2） 焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反之亦然．联系：它们都是二元二次方程，共同形式为两种情况中都有（五）数学应用——巩固新知例1：判断分别满足下列条件的动点M 的轨迹是否为椭圆（1）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）（3）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）（4）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（是）设计意图：巩固椭圆定义例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点M 到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点M 到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．设计意图：提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程 变式二：已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆经过点，求该椭圆的标准方程． ()22221222335321142132222143a MF MF a cb ac x y ⎛⎫=+=+++=+=∴==∴=-= ⎪⎝⎭∴+=解：椭圆的标准方程为设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用（六）回顾反思——归纳提炼1．知识点：椭圆的定义及其标准方程2．数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程3．数学思想：数形结合思想、化归思想（七）课后作业，巩固提高1．必做题：课本49页习题2．2 A组2，5(1)(2)，6，92．思考题：(1)在化简椭圆方程的过程中有成立，该式有什么几何含义?你能从函数观点看待等式右端的代数式吗？你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗？(2)将稍作变化即可得到，两个代数式的商为常数，它又有什么几何含义？设计意图：为引入椭圆第二定义及焦半径公式作适当铺垫，体现数学知识之间的联系，培养学生养成深入思考的习惯．《椭圆及其标准方程》教学设计说明我在进行《椭圆及其标准方程》教学设计过程中力图在如下三方面作文章，以期能有所突破和创新．一．椭圆定义的生成（方案一）用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形．当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形．看来，椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线．圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆．将细绳的一贯固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可．将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，即可画出一个椭圆．再根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．（方案二）实际授课时所采用的折纸游戏法两种方案比较各有优势．方案一基本上是教材中所介绍的方法，只是在画椭圆之前做了些铺垫工作，从日常喝水这样一个熟悉的情景中引出话题，突出椭圆与圆的联系，过渡自然、节约时间，但缺点是从椭圆画法中概括椭圆定义过于显性，没有给学生留下足够的探究空间．方案二实际上是由课本49页习题2.2A组第7题改编而成，原题为：圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？该方案趣味性较强，能充分调动学生的学习兴趣和探究欲望，椭圆定义相对较隐性，为学生探究留下一定余地，但学生活动用时较长，需要教师合理控制折纸活动和探究交流时间，以防完不成教学计划．新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．教师应努力改变教学观念，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．因此，最终采用了方案二，不为教学进度所累，放弃繁难习题演练，采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，充分尊重学生作为学习主体的情感、认知水平和发展需求，使数学概念自主建构生成势必比被动接受教师灌输式讲授会取得更好效果．二．椭圆方程的推导在选修2中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．在教师教学用书中明确指出，不仅要求学生能化简得到椭圆的标准方程，还要求学生掌握化简含根号等式的方法．因此，在教学设计中，我在这一部分作了较为充分的准备，除教材中介绍的移项后两次平方这种方法，又准备了两个预案：引入共轭无理数对和等差数列．在实际教学中，学生思维活跃，三种方案都得以实施，学生感受到了数学知识间的普遍联系，更感受到了创新思维带来的成就感和满足感，教师确实做到了既讲结果，更重过程和方法．在讲解焦点在轴上的椭圆的标准方程时，教材只是一带而过，“容易知道，此时（焦点在轴上）椭圆的标准方程是”，没有过程．其实这是培养学生运用化归思想解决问题的一个很好的机会，引导学生抓住事物间联系，化未知为已知，用已知解决未知，可以通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在轴上椭圆的标准方程得到焦点在轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程．三．思考题引导学生对椭圆方程推导过程中产生的作进一步思考，为后续引入椭圆的第二定义及焦半径公式作适当铺垫．现行教材对椭圆的焦半径公式、椭圆第二定义及圆锥曲线统一定义等知识呈弱化趋势，仅通过一个具体的例子使学生感受椭圆的另外一种定义方式，学生会感觉很突兀，为什么到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数（常数在0、1之间）的点的轨迹就是椭圆呢？椭圆第一定义与第二定义之间有何联系？认真研究思考题，学生就可从中找到这些问题的答案，从而深刻体会到知识的形成过程中蕴含着丰富内容，从而自觉改变只重结果和习题演练而轻视过程的功利主义学习方法，自觉将目光转移到对知识本身的探求过程中来，学会发现问题和解决问题的方法，终身学习能力也会在这一过程中逐渐提高．。

【精品】2019年高中数学教师优质课教学设计★★§2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）一、教学内容解析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1第二章第二节第一课时，主要学习椭圆的定义和标准方程.在必修2学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形.这一节课是在学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，是继续学习椭圆的几何性质的基础；椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用.另外本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想、化归思想等.因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值. 基于以上分析确定了本节课的教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；教学难点：椭圆标准方程的推导与化简．二、教学目标设置：1.借助动手实验让学生画出圆、椭圆、线段，找到它们三者之间的联系，为后面研究椭圆做准备。

2.通过播放圆的研究过程的微课，让学生回忆起研究圆的基本流程，从而让学生学会类比圆的研究过程研究椭圆。

3. 通过类比圆的标准方程的推导，小组合作给出椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。

4. 通过经历椭圆标准方程的推导, 对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识，同时增强学生战胜困难的意志品质，并体会数学的简洁美、对称美。

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．三、学生学情分析：本节课是在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容; 但在推导椭圆的标准方程时，学生需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。

2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计设计者：吴夏松一、内容及其解析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用，在高考中也是一个考点。

本节是选修2-1中《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义及其标准方程。

它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。

前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。

而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。

二、目标及其解析1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导；能应用椭圆的定义及其相关知识解决一些简单问题。

2. 过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想。

[来通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力。

三、学生情况分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的相关知识，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。

2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生在探究学习过程中受阻，教师要适时加以点拨指导。

课题：2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【课标要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【考纲要求】（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

（2）了解圆锥曲线的初步应用。

编写者试图通过本节教材，使学生系统地掌握坐标法并进一步激活数形结合的数学思想。

【教学目标叙写】根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识。

通过典故的课堂引入及从圆和相关的图片引入着手学生亲自体验画椭圆，激发学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，掌握椭圆的概念。

从而推导出椭圆标准方程并会利用待定系数法求椭圆标准方程。

【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P38-P40的基础知识，自主高效预习；2.阅读导学案预习案部分的内容，自主自主完成各项要求；3.结合课本基础知识和例题及预习案，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。

4.本导学案中题号后凡标明A ，B ，C 的只要求相应层次的学生完成即可。

5.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。

【预习案】一. 温故夯基1．圆心为O ，半径为r 的圆上的点M 满足集合P ＝{M||MO|＝r}，其中r>0. 2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________ 二．知新益能1．课堂引入：这是一个发生在古希腊的故事：西西里岛的一个岩洞里，被关押的犯人不堪忍受这非人的待遇，他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的办法。

但是，他们商量好的计划很快就被看守人员掌握了，看守人员提前采取了措施，使商量好的计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为一定是出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么回事呢？原来，并没有人当叛徒去告密，当然找不到告密者了。

§2.2 椭 圆2．2.1 椭圆的标准方程(一)一、基础过关1． 设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 2． 设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________． 3． “1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的______________条件． 4． 已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y 249＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面积等于________．5． 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为________________．6． 方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 7.已知如图椭圆两焦点为F 1、F 2，且方程为49x 2＋y 2＝1，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______．8． 求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程． 二、能力提升9． 已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为________．10．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．11．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且PF 1－PF 2＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．12．如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，P 点是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．三、探究与拓展13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝22，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持P A＋PB的值不变，求曲线E的方程．答案1． 线段 2． 18 3． 必要不充分 4．24 5． x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 6．0<m <137． 68． 解 方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1， ⇒⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴方程无解． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＝1，⇒⎩⎨⎧ a 2＝14，b 2＝15. 故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0)．依题意，得⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫132＋B ⎝⎛⎭⎫132＝1，B ⎝⎛⎭⎫－122＝1， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝5，B ＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214＝1. 9． 9或917解析 先将9x 2＋25y 2＝100化为标准方程x 21009＋y 24＝1，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－83，0和⎝⎛⎭⎫83，0， ∴焦距为163，ax 2＋y 2＝8⇒x 28a＋y 28＝1， ①若焦点在x 轴上，则8a>8， ∴0<a <1,28a －8＝163， 解得a ＝917； ②若焦点在y 轴上，则0<8a<8， ∴a >1,28－8a ＝163，解得a ＝9. 综上，a ＝9或a ＝917. 10．411．解 (1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1. 所以a 2＝4.因此b 2＝3.从而椭圆方程为y 24＋x 23＝1. (2)由于点P 在椭圆上，所以PF 1＋PF 2＝2a ＝2×2＝4，又PF 1－PF 2＝1，所以PF 1＝52，PF 2＝32， 又F 1F 2＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 即∠F 1PF 2的余弦值等于35. 12．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°， ∴4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2·cos 60°，∴4＝16－3PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝4，∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝12×4×32＝ 3. 13．解如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2＋AB 2＝322， ∵P A ＋PB ＝CA ＋CB ＝22＋322＝22， 且P A ＋PB >AB ，∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。

教学设计数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第一课时)》巨野县第一中学谷建荣《2.2.1椭圆及其标准方程》教学设计巨野县第一中学谷建荣一、教材及学情分析本节课时《普通高中课程标准试验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究室开发中心编著）选修2---1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时，本节继续采用坐标法来探究椭圆的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与椭圆有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合思想的魅力。

本节是直线，圆的进一步加深，也是为学习后面双曲线，抛物线知识而奠基，椭圆是圆在某一方向上的拉伸或压缩，故在学习椭圆时学生并非感到很突然，而是一种似曾相识的感觉，让学生在相似中找到不同，在不同中发现问题探索新知。

根据学习的最近发展区理论，在熟悉中发现问题并解决问题是数学学习动力的主要来源。

高二的学生探究问题的意识加强、好胜，抓住这个心理、生理特点，在教学中注意探究的应用，授人以鱼，不如授人以渔，让学生去发现问题并解决问题。

二、教学目标1、知识与技能目标（1）、理解椭圆的定义（2）、掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2、过程与方法目标（1）、通过探究点的运动情况经历椭圆概念的形成过程，学习在问题中发现数量关系，提炼数学概念的能力，由具体到抽象，从个别到一般的数学归纳的方法，逐步掌握数学概念形成的本质，提高学生的抽象概括能力。

（2）、学会动点轨迹问题的求解思路--------转移关系法（3）、对学生进行发现问题，解决问题的方法指导，培养学生的数学素养3、情感态度价值观目标（1）、发挥学生的主体地位，让学生在试验中通过观察，思考，尝试，归纳，反思，改进最终形成概念增强学生的问题意识，（2）、重视学生的知识获得过程，知其然更知其所以然，让他们在经历知识产生过程中找到学习数学的乐趣，激发学习数学的热情。

三、教学重点难点（1）、教学重点：椭圆的定义及其标准方程，标准方程的推导(2)、教学难点：椭圆定义核心的发现，标准方程的化简及建系不同的速写方程（3）、难点的突破方法：通过试验演示，突破定义理解难题。

《椭圆及其标准方程》（第一课时)教学设计一、教学内容分析教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。

椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练,同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面,教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点,并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。

因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。

椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，这是本节课的一个教学重点;而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程,有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

学生对“曲线与方程"的内在联系仅在“圆的方程"一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。

通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。

根据以上分析,确定本课时的教学难点和教学重点分别是:教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程,体会坐标法的应用。

教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程.二、学生学情分析在学习本节课前,学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。

因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。

而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的能力要求比较高，可能困难要大一点,导致学生在学习中可能出现的困难是:学生动手作图慢;用尺规作图的思路可能出现障碍；受教材的影响，学生选择坐标系的思维可能受到限制；方程的化简也是一个难点.三、教学目标与目标解析根据新课程标准对本节课的要求以及对教材和学生情况的分析，本节课教学目标确定为：1、感受建立曲线方程的基本过程，使学生理解椭圆的定义。