高中数学椭圆及其标准方程

3
若2a < |F1F2|，则轨迹为 不存在
1.定义
平面内到两定点F1，F2的距离之 和等于常数（大于|F1F2|) 的点的轨 迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫 做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做 椭圆的焦(|F1F2|=2c)。
二、椭圆标准方程的推导
（平面内到两定点F1，F2的距离之和等于 常数2a（大于2c）的点的轨迹方程）
椭圆的标准方程
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F 2
M
图 形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c间的 关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
演示
y P
M
O
D
x
例3 如图，设点A、B的坐标分别为(-5,0)，
(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率
之积为 ,求M的轨迹方程. 4 9 A y
M
O B x
课后练习：
2 2 2 2 x ( y 3 ) x ( y 3 ) 10 1 化简方程：
2 椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点 坐标是 3 方程
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
x2 y2 (2)已知椭圆的方程为： 1 ,则 4 5 a=_____ ，c=_______ ， 2 1 5 ，b=_______
(0,-1)、(0,1) ，焦距 焦点坐标为：__________
F2 P
F1
等于_________; 2
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________ 2 5 3 ，
x2 y2 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： 25 16 5 ，b=_______ 4 a=_____ ，c=_______ ，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为：____________ 若CD为过 左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
M
图 形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c间的 关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2，a>c>0,a>b>0
判断椭圆标准方程的焦点在哪个 课前练习 轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 填空：
A 建立直角坐标系设点
B 动点的集合 C 坐标化，列出式子 D
化简方程
椭圆的标准方程
y
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
（a>b>0）
2 2
2
2
F1
c · ·
o
a
b
F2
x
F2
F1
a · c b ·
o
y
x
椭圆的标准方程
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
§2.1.1 椭圆及其标准方程
一、椭圆的定义
取一条定长的细绳，把细绳的两端绑在 两个图钉上，让图钉固定在两点处(有一定距 离)，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的 轨迹是什么曲线？
结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等 于常数2a的点的轨迹为：
1
2
若2a > |F1F2|，则轨迹为
椭圆
若2a = |F1F2|，则轨迹为 线段
3 5 （2，0），并且椭圆经过点（ ， ）， 2 2
求它的标准方程。
练习：
x2 y2 3 椭圆 1 的焦距是 16 7
6
y F1
;焦点坐标是
(3,0) , (-3,0) ;一直线过F1交椭圆于两点A,B
则△ABF2的周长为
16
A
B F2
x
1、椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定 点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆 的焦距。 2、椭圆的标准方程 2 2 2 2 y x + y x 1 = + 2 = 1 （a>b>0） 或 2 2 2 a b a b 3、椭圆的标准方程焦点位置与方程形式的关系。
(1) a 4, b 1,焦点在x轴上 (2) a 4, b 15, 焦点y在轴上. (3) a b 10,c 2 5 ,
x y 1 上一点到焦点F1的距离 2 椭圆 100 36 等于6,则P点到另一焦点F2的距离是 14
2
2
例题讲解：
例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2，0），
c2=a2-b2，a>c>0,a>b>0
作业：P49习题2.2
1，2
2018年7月22日星期日11时22分2秒
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1.1 椭圆及其标准方程
（第二课时）
2018年7月22日星期日11时22分2秒
椭圆的标准方程
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F 2
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
x y 例1 若 1表示椭圆，求系 m 2m 1 数m的取值范围.
2
2
例2 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点， 半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴源自文库垂 线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时， 线段PD的中点M的轨迹是什么？
x2 y2 1 表示焦点在x轴上的 25 m 16 m
椭圆,则m的取值范围为
A - 16 m 25 C - 16 m 4.5
B 4.5 m 25 D m 4.5
4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足
|MF1|+ |MF2|=6,则动点的轨迹是（ （A）椭圆 （B）直线 ）
y
M
y
F 2
M
图 形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c间的 关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2，a>c>0,a>b>0
练习：
1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（C）线段
（D）圆
5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，
0<k<1 则k的取值范围是_______
6 已知B、C是两个定点，│BC│=6，且 △ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程