高中数学椭圆及其标准方程

高中椭圆的知识点总结椭圆是数学中的一个重要概念，具有很多应用。

在高中数学中，椭圆也是一个必修的内容，考试中经常会涉及到相关的知识点。

在本文中，我们将对高中椭圆的知识点进行总结和归纳。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于定长2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2被称作椭圆的焦点，定长2a被称为椭圆的长轴，长轴的中点O被称为椭圆的中心，距离中心最远的两点A和B被称为椭圆的顶点，椭圆的离心率为e=(F1F2)/2a。

二、椭圆的方程椭圆的标准方程为 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, 其中a>b>0，a为长轴长度，b为短轴长度。

当椭圆的中心不在坐标原点时，可通过平移变换将其移到原点，然后再求解方程。

三、椭圆的性质1. 椭圆的中心位于坐标原点或者与坐标轴的交点上。

2. 椭圆的长轴是平行于x或y轴的直线，短轴是垂直于长轴的直线。

3. 椭圆的离心率e=(F1F2)/2a, e<1。

4. 椭圆的焦点与顶点之间的距离F1A、F2B互相相等，且等于椭圆的长轴长度2a。

5. 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于定长2a。

6. 椭圆的面积为πab。

7. 椭圆的周长无法用初等函数表示，通常用级数来表示。

四、椭圆的几何意义椭圆的几何意义可以简单地用两条绳子相互交错吊起一个重物来表现。

在两条绳子构成的平面上，可以画出一个椭圆形的轨迹，此时重物到两条绳子的距离之和为定值2a，而椭圆的顶点即为两条绳子的交点。

五、椭圆的应用椭圆具有很多应用，在物理、工程、天文学、生物学等领域中经常会涉及到。

1. 通讯卫星轨道：通讯卫星通常被放置在椭圆轨道上，使得其在地球上的可见度更广，信号传输距离更长。

2. 医学图像：医学图像中的组织轮廓通常是椭圆形的，因此椭圆形适用于医学图像处理。

3. 自动打标机：自动打标机通常采用椭圆形的摆线轮廓来控制字母和数字的运动轨迹。

4. 椭圆滤波器：椭圆滤波器是一种常用的数字信号处理技术，用于高通、低通、带通、带阻等滤波。

高中数学椭圆知识点总结及公式大全椭圆是几何学中的重要概念，它的知识点包括定义、标准方程、性质等。

以下是椭圆知识点总结及公式大全：一、椭圆的基本概念1. 椭圆的概念：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。

2. 椭圆的标准方程：焦点在x轴上时，标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (其中 $a > b > 0$ )焦点在y轴上时，标准方程为：$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$ (其中 $a > b > 0$ )二、椭圆的性质1. 范围：椭圆上的任意一点P，它到椭圆两个焦点的距离之和为定值，等于椭圆的长轴的长度。

2. 对称性：椭圆是关于其长轴和短轴对称的。

3. 顶点：椭圆与长轴和短轴的交点称为顶点。

长轴的顶点是$(-a,0),(a,0)$，短轴的顶点是$(0,-b),(0,b)$。

4. 焦点：椭圆的两个焦点位于长轴上，焦距为$2c$，其中$c^2 = a^2 - b^2$。

5. 离心率：椭圆的离心率定义为$e = \frac{c}{a}$，离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要指标。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用角度θ表示，其中x=a×cosθ，y=b×sinθ。

参数方程可以帮助我们更方便地表达椭圆的轨迹。

以上就是关于高中数学中椭圆的全部知识点总结和相关公式，供你参考，建议咨询数学老师或者查看高中数学教辅以获取更准确全面的信息。

知识点一 高中数学选择性必修第一册：椭圆及其标准方程椭圆的定义我们把平面内与两个定点F F ,12的距离的和等于常数(大于F F 12)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点M 与焦点F F ,12的距离的和等于a 2.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集=+=P M MF MF a {|2}12．知识点二 椭圆的标准方程-c c 0()(,0,,) −c c 0()(0,,,)重难点1根据椭圆的定义求方程1．已知椭圆C 上任意一点P x y ,)(=4，则椭圆C 的标准方程为 . 【答案】+=x y 43122【分析】根据椭圆定义可得答案.【详解】由题可知椭圆C 的焦点在x 轴上，其坐标分别为−1,0,1,0)()(，=a 24，故==a c 2,1，=b 32，所以椭圆C 的标准方程为+=x y 43122.故答案为：+=x y 43122.2．已知两定点F (5,0)1，−F (5,0)2，曲线上的点P 到F 1、F 2的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 .【答案】+=x y 3611122【分析】根据椭圆的定义，再结合a b c ,,222的关系确定椭圆方程.【详解】由条件可知，+=>PF PF 121012，所以点P 的轨迹是以点F F ,12为焦点的椭圆， 且=c 210，=a 212，=a 362，=−=b a c 11222，所以椭圆的标准方程为+=x y 3611122.故答案为：+=x y 36111223．椭圆的焦点坐标为−(3,0)和(3,0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 .【答案】+=x y 2516122【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答.【详解】依题意，椭圆长轴长=a 210，则=a 5，而椭圆半焦距=c 3，因此椭圆短半轴长===b 4，所以所求椭圆标准方程是+=x y 2516122.故答案为：+=x y 25161224．已知动点M 到定点⎝⎭ ⎪−⎛⎫A 4,09与⎝⎭⎪⎛⎫B 4,09的距离的和是225，则点M 的轨迹方程是 ．【答案】+=x y 1634625122【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程.【详解】因为M 到顶点−A 4(,0)9和B 4(,0)9的距离的和为>=AB 22259，所以M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设方程为+=a bx y 12222（>>a b 0），则=c 49，=a 2225，所以=a 425，=−=b a c 34222，M 的轨迹方程为+=x y 1634625122. 故答案为：+=x y 1634625122. 5．已知B ，C 是两个定点，=BC 8，且ABC 的周长等于18．求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．【答案】+=≠±x x y 2591522)(【分析】以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，根据三角形周长公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由=BC 8，可知点−B C 4,0,4,0)()(． 由ABC 的周长等于18．得+=AB AC 10，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，但点A 不在x 轴上．设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为a b c 2,2,2，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和=⇒=a a 2105， =c 4，得=−=−=b a b 25169222，所以动点A 的轨迹方程是+=≠±x x y 2591522)(.6．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是−F F (3,0),(3,0)12，椭圆上的点P 与两焦点的距离之和等于8；(2)两个焦点分别是−F F (0,4),(0,4)12，并且椭圆经过点．【答案】(1)+=x y 167122(2)+=y x 204122【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出=a 4，=c 3，即可求得椭圆方程； （2）由焦点坐标可知=c 4且在y 轴上，设出标准方程代入计算即可. 【详解】（1）由已知得=a 28，因此=a 4． 又因为=c 3，所以=−=−=b a c 43722222， 易知椭圆的焦点在x 轴上，所以所求椭圆的标准方程为+=x y 167122．（2）因为椭圆的焦点在y 轴上，设它的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222．由已知得=c 4，又因为=−c a b 222，所以=+a b 1622．因为点=1，即+=a b 15322． 从而有++=b b1615322， 解得=b 42或=−b 122（舍去）． 因此=+=a 416202，从而所求椭圆的标准方程为+=y x 204122．7．分别写出满足下列条件的动点P 的轨迹方程： (1)点P 到点−F 3,01)(、F 3,02)(的距离之和为10； (2)点P 到点−F 0,21)(、F 0,22)(的距离之和为12； (3)点P 到点−F 4,01)(、F 4,02)(的距离之和为8．【答案】(1)+=x y 2516122(2)+=y x 3632122 (3)=−≤≤y x 0(44)【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果； （2）根据椭圆的定义可求出结果；（2）+=PF PF F F ||||||1212可知动点P 的轨迹是线段F F 12. 【详解】（1）因为+=>=PF PF F F ||||10||61212， 所以动点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆， 这里=a 210，=c 26，即=a 5，=c 3， 所以=−=−=b a c 25916222， 所以动点P 的轨迹方程为+=x y 2516122. （2）因为+=>=PF PF F F ||||12||41212， 所以动点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆， 这里=a 212，=c 24，即=a 6，=c 2， 所以=−=−=b a c 36432222，所以动点P 的轨迹方程为+=y x 3632122.（3）因为+===PF PF F F ||||8||81212，所以动点P 的轨迹是线段F F 12，其方程为=−≤≤y x 0(44).重难点2根据a b c ,,求标准方程8．已知椭圆的两焦点为−F F 4,0,4,012)()(，点P 在椭圆上．若△PF F 12的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ．【答案】+=x y 259122【分析】由题意可知当P 在y 轴上时△PF F 12的面积最大，从而可求出b ，再结合c 可求出a ，从而可求出椭圆的标准方程.【详解】如图，当P 在y 轴上时△PF F 12的面积最大，所以⨯=b 28121，所以=b 3．又=c 4，所以=+=a b c 25222，所以椭圆的标准方程为+=x y 259122．故答案为：+=x y 2591229．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在原点，一个焦点坐标为0,5)(，短轴长为4；(2)中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.【答案】(1)+=y x 294122(2)+=x y 43122【分析】（1）根据题意求出a b ,，再由焦点位置得出椭圆方程； （2）由题意求出a b ,，根据焦点在x 轴写出方程. 【详解】（1）由题意得：=c 5，=b 24， 故=+=+=a b c 42529222，因为焦点在y 轴上，故椭圆方程为+=y x294122.（2）如图，由题意得：==a AF ||2，=−=BF a c ||1， 所以=c 1，=−=−=b a c 413222，结合焦点在x 轴上，故椭圆方程为：+=x y 43122.10．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距为−0,4)(；(2)焦距为4，且经过点)．【答案】(1)+=x y 16122(2)+=y x 5122或+=y x 95122【分析】（1）利用待定系数法求出a b ,可得结果； （2）讨论焦点位置，求出a b ,可得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，依题意得⎩⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪⎪+=⎧a b c c a b 2116022222，解得⎩=⎪⎨=⎪=⎧c b a 14，所以该椭圆的标准方程为+=x y 16122.（2）当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为+=>>a ba b x y 1(0)2222，依题意得=c 2，=a ，则=−=−=b a c 541222，故椭圆的标准方程为+=y x 5122.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，依题意得=c 2，=b =+=+=a b c 549222， 故椭圆的标准方程为+=y x 95122.11．求焦点在x轴上，焦距为的椭圆的标准方程．【答案】+=x y 93122【分析】根据题意，设椭圆方程为+=>>a b a b x y 102222)(，结合题意，列出方程组，求得a b ,的值，即可求解.【详解】由椭圆焦点在x 轴上，所以可设其方程为+=>>a ba b x y 102222)(，因为椭圆的焦距为=c 2，所以c =+a b 622，又因为椭圆过点，所以+=a b13222，联立方程组，可得==a b 9,322，所以所求的方程为+=x y 93122．12．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)+=a c 4，−=a c 2；(2)焦点坐标为−0,4)(，0,4)(，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；(3)焦点在x 轴上，=a 4，且经过点A (；(4)=c 4，且经过点P 0,(.【答案】(1)198x y 22或+=y x 98122(2)+=y x 259122(3)+=x y 164122 (4)+=x y 4024122或+=y x 248122 【分析】(1)直接联立方程组，求出a 、c 的值，再利用椭圆的基本性质求出b 的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可；(2)由椭圆的定义，直接写出a 、c 的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出b 的值，即可直接写出椭圆的标准方程；(3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可；(4)由题意结合椭圆的性质，可列出a 、b 的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可.【详解】（1）由题意，联立⎩−=⎨⎧+=a c a c 24，解得：⎩=⎨⎧=c a 13， 则由椭圆的性质得：=−=b a c 8222，所以当椭圆的焦点落在x 轴上时，椭圆的标准方程为：198xy 22；当椭圆的焦点落在y 轴上时，椭圆的标准方程为：+=y x 98122，故椭圆的标准方程为：198x y 22或+=y x 98122.（2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为=a 210，即=a 5， 又椭圆的两个焦点坐标为−0,4)(，0,4)(，则=c 4，且焦点落在y 轴上，所以由椭圆的性质得：=−=b a c 9222，故椭圆的标准方程为：+=y x 259122.（3）因为椭圆的焦点在x 轴上，且=a 4，所以可设椭圆的标准方程为+=b x y 161222，又因为椭圆经过点A (， 所以+=b161432，解得：=b 42， 故椭圆的标准方程为：+=x y 164122. （4）因为=c 4，由椭圆的性质得=−=c a b 16222，则=+a b 1622，所以可设椭圆的标准方程为++=b b x y 1612222或++=b b y x 1612222又因为椭圆经过点P 0,(， 所以=b 1242或+=b 161242，解得：=b 242或=b 82， 所以，当=b 242时，椭圆的焦点落在x 轴上，此时椭圆的标准方程为：+=x y 4024122；当=b 82时，椭圆的焦点落在y 轴上，此时椭圆的标准方程为：+=y x248122，故椭圆的标准方程为：+=x y 4024122或+=y x 248122.13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为−5,0)(和5,0)(，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)焦点坐标为−0,3)(和0,3)(，且椭圆经过点8,3)(.【答案】(1)+=x y 169144122(2)+=y x 8172122 【分析】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(，根据椭圆的定义求出a 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 102222)(，根据椭圆的定义求出a 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程.【详解】（1）解：因为椭圆的焦点坐标为−5,0)(和5,0)(，设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(， 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26，则=a 226，可得=a 13，所以，==b 12，因此，椭圆的标准方程为+=x y 169144122.（2）解：因为焦点坐标为−0,3)(和0,3)(，设椭圆的标准方程为+=>>a ba b y x102222)(，因为椭圆经过点8,3)(，由椭圆定义可得==a 218，所以，=a 9，则=b ，因此，椭圆的标准方程为+=y x 8172122.14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为−4,0)(和4,0)(，且椭圆经过点5,0)(； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点0,2)(和1,0)(； (3)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M 3,2)(．【答案】(1)+=x y 259122(2)+=x y 4122(3)+=y x 1612122 【分析】（1）设标准方程+=>>a ba b x y 102222)(，由条件分别计算出a c ,，再求b 即可；（2）设标准方程+=>>a ba b y x 102222)(，将两点代入利用待定系数法计算即可；（3）由题意可得焦点坐标，再利用椭圆定义可得长轴长，从而得椭圆标准方程. 【详解】（1）由题意知，椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(，易知=a 210，∴=a 5，又=c 4，∴=−=b a c 9222，故所求椭圆的标准方程为+=x y 259122；（2）∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为+=>>a b a b y x 102222)(，∵椭圆经过点0,2)(和1,0)(， ∴⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎧a b a b 1011402222，解之得==a b 4,122， 故所求椭圆的标准方程为+=x y 4122；（3）根据题意可知=c 2，又焦点在y 轴上，故焦点坐标为−0,2,0,2)()(， ∵椭圆经过点M 3,2)(， ∴由椭圆的定义可得=a 28，即=a 4，∴=−=b a c 12222，故椭圆的标准方程为+=y x 1612122.重难点3根据方程表示椭圆求参数15．若方程−++=m m x y 259122表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．−9,25)(B ．−⋃9,88,25)()(C ．8,25)(D ．+∞8,)(【答案】B【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】依题意，方程−++=m m x y 259122表示椭圆，则⎩+≠−⎪⎨+>⎪⎧−>m m m m 92590250， 解得−<<m 98或<<m 825， 即实数m 的取值范围是−⋃9,88,25)()(. 故选：B16．已知方程+−+=k kx y 53122表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为（ ）A ．−∞−⋃+∞,13,)()(B ．−∞−,1)(C ．−1,3)(D ．+∞3,)(【答案】C【分析】根据题意列出含有参数k 的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程+−+=k kx y 53122表示焦点在x 轴上的椭圆,需满足⎩+>−⎪⎨−>⎪⎧+>k k k k 533050,解得−<<k 13. 故选:C.17．若关于x ，y 的方程−−+=t t x y 31122表示的是曲线C ，给出下列三个条件：①若曲线C 是椭圆，②焦点在y 轴上，③焦点在x 轴上．请选择其中2个条件与已知组成命题，并求出t 的取值范围．【答案】选①②时，<<t 23，选①③时，<<t 12.【分析】根据曲线方程选①②，选①③时，由长轴位置列出不等式求解即可. 【详解】若选①若曲线C 是椭圆，②焦点在y 轴上， 则−>−>t t 130，解得<<t 23，若选①若曲线C 是椭圆，③焦点在x 轴上， 则−>−>t t 310，解得<<t 12，综上，当选①②时，<<t 23，当选①③时，<<t 12.18．已知曲线C ：−−+=−k k x y 53122，则“≤<k 45”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，列不等式求出k 的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】将曲线C 的方程化为−−+=k k x y 53122，若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则−>−>k k 350，即<<k 45， 而“≤<k 45”不能推出“<<k 45”；“<<k 45”可以推出“≤<k 45”，故“≤<k 45”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：A.19．若方程−−+=t t x y 83122表示焦点在y 轴上的椭圆，则t 的取值范围为 .【答案】⎝⎭⎪⎛⎫2,811 【分析】由焦点在y 轴上的椭圆方程的特征求解即可．【详解】∵已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩−>−⎪⎨−>⎪⎧−>t t t t 38,30,80,解得<<t 2811.∴t 的取值范围是⎝⎭⎪⎛⎫2,811. 故答案为：⎝⎭⎪⎛⎫2,811. 20．“>>m n 0是“方程+=mx ny mn 22表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】把方程化为+=n mx y 122，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，方程+=mx ny mn 22，可化为标+=n mx y 122，当>>m n 0时，方程+=n mx y 122表示焦点在y 上的椭圆，即充分性成立； 若方程表示焦点在y 上的椭圆，则满足>>m n 0，即必要性成立，所以>>m n 0时方程+=mx ny mn 22表示焦点在y 上的椭圆的充要条件.故选：A.21．已知P ：<<m 13，Q ：−−+=m mx y 13122表示椭圆，则P 是Q 的 条件．【答案】必要不充分【分析】先求出方程−−+=m m x y 13122表示椭圆时m 的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可．【详解】若方程−−+=m mx y 13122表示椭圆，则⎩−≠−⎪⎨−>∴<<⎪⎧−>m m m m m 1330,1310且≠m 2， {13m m <<∣且≠m 2} ∣<<m m {13}，∴<<m 13是方程−−+=m mx y 13122表示椭圆的必要不充分条件，即P 是Q 的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分．重难点4根据椭圆方程求a b c ,,22．已知椭圆+=x ky 222的焦点在y 轴上，若椭圆的焦距为4，则k 的值为（ ）A ．31B ．41C ．3D ．4【答案】A【分析】将椭圆方程化为标准式，即可得到a 2，b 2，从而求出c ，即可得解.【详解】椭圆+=x ky 222即+=kx y 22122，焦点在y 轴上， 所以=k a 22，=b 22，所以=c 又椭圆的焦距为4=2，解得=k 31. 故选：A23．已知椭圆+=x y 259122上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23【答案】B【分析】不妨设点M 到该椭圆左焦点F 的距离为2，设右焦点为F 1，作出图象，根据椭圆的定义可求出MF 1，再根据中位线定理即可求出线段ON 的长. 【详解】不妨设点M 到该椭圆左焦点F 的距离为2，如图所示：设椭圆左焦点为F ，右焦点为F 1.∵=a 210，=MF 2，∴=−=MF a MF 281. 又∵N 为MF 的中点，O 为FF 1的中点， ∴==ON MF 2411. 故选：B.24．已知两椭圆+=ax y 822与+=x y 92510022的焦距相等，则a 的值为 ． 【答案】179或9/9或179 【分析】讨论焦点所在位置，根据题意列式求解.【详解】因为两椭圆方程分别为+=ax y 88122，+=x y 94100122，由题意可得：⎩⎪−=−⎪⎨⎪⎪>⎧a a 984810088或⎩⎪−=−⎪⎨⎪⎪<<⎧a a9848100088，解得=a 179或=a 9.故答案为：179或9 25．F F ,12是椭圆+=x y 164122的两个焦点，P 是椭圆上的一点，则△F PF 12的周长是 ．【答案】8【分析】根据椭圆定义可得△F PF 12的周长为+a c 22，代入数值即得结果. 【详解】根据椭圆定义可得△F PF 12的周长为为+a c 22， 所以△F PF 12的周长为++=+=PF PF F F a c 2281212 故答案为: 826．已知F F ,12是椭圆198x y 22的左、右焦点，P 是椭圆上的一点，若PF =21，则=PF 2【答案】4【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果.【详解】由椭圆的方程198x y 22，可知=a 3，又P 是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，+==PF PF a ||||2612， 又PF =21，则=PF ||42. 故答案为：4.重难点5椭圆的焦点三角形问题27．已知椭圆+=C x y 2516:122的左､右焦点分别为F F ,12，点P 在椭圆C 上，则△PF F 12的周长为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．+10【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的a b c ,,，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由+=x y 2516122，得==a b 25,1622，即==a b 5,4，所以=−=−=c a b 25169222，即=c 3.由椭圆的定义知，+====PF PF a F F c 210,261212, 所以△PF F 12的周长为++=+=PF PF F F 106161212. 故选：B.28．已知F F ,12为椭圆+=x y916122的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若+=F A F B 1022，则=AB ||（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.【详解】由+=x y 916122，即+=y x 169122，可得=a 4，根据椭圆的定义+++==F A F A F B F B a 4161212，所以=+=AB F A F B 611. 故选：B.29．已知F 1，F 2为椭圆+=x y 95122的两个焦点，P 为椭圆上一点且=PF PF 212，则△PF F 12的面积为（ ）A ．BC ．4D 【答案】B【分析】利用椭圆定义求得PF PF ,12的值，判断△PF F 12为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆+=x y 95122可知====a b c 3,2，故+==PF PF a 2612，结合=PF PF 212， 可得==PF PF 4,212，而==F F c 2412，故△PF F 12为等腰三角形，其面积为⨯=221故选：B30．已知点F F ,12为椭圆+=C x y 43:122左右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则⋅PF PF 12的取值范围为（ ）A ．[3,4]B ．2,3][C ．1,4][D ．1,7][【答案】A【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.【详解】椭圆+=C x y 43:122的焦点−F F 1,0,1,012)()(，设≤<θθθP π2cos ,02)(，⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⋅=++⨯−+⎡⎤⎡⎤θθθθPF PF 2cos 12cos 112222222))())(=−⨯+=−θθθcos 2cos 2cos 42222)()()(，所以⋅==−θPF PF 4cos 122，由于≤≤θ0cos 12，≤−≤θ34cos 42， 所以⋅PF PF 12的取值范围为[3,4]. 故选：A31．（多选）F 1，F 2是椭圆+=x y 259122的两个焦点，A 是椭圆上一点，△AF F 12是直角三角形，则△AF F 12的面积为（ ）A ．9B ．536C ．D ．【答案】AB【分析】对△AF F 12的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】由+=x y 259122得c ==4，不妨−F 4,01)(，F 4,02)(，则=F F 812，当⊥AF AF 12时，则 ②①⎩⎪+=⎨⎪+=⎧AF AF AF AF 6410122212 ①平方减去②得⋅=AF AF 1812， ∴12AF F SAF AF =⨯⋅=29112， 当⊥AF F F 112 (或者⊥AF F F 212)时，−F 4,01)(，令=−x 4，则+=−y 2591422)(，解得=±y 59， 则==a AF b 5912，12AF F S =⨯⨯=25581936.故选：AB.32．如图所示，已知F F ,12是椭圆+=x y10036122的两个焦点．(1)求椭圆的焦点坐标；(2)过F 1作直线与椭圆交于A B ,两点，试求△ABF 2的周长． 【答案】(1)−F F 8,0,8,012)()(． (2)40【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算即可； （2）由椭圆的定义计算即可.【详解】（1）设焦距为c 2，由+=x y 10036122得=c 8，所以椭圆的焦点坐标为−F F 8,0,8,012)()(．（2）设椭圆长轴长a 2，则易得==a 220， 又△ABF 2的周长2ABF C为++=+++=+++AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF 2211221212)()()(,由椭圆的定义可知+==+AF AF a BF BF 21212，故2ABF C=40.33．已知椭圆的焦点在x 轴上，且过点⎝ ⎛23，焦距为P 为椭圆上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若∠=F PF 6012，求：(1)椭圆的标准方程；(2)△PF F 12的面积． 【答案】(1)+=x y 94122【分析】）（1设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；）（2利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 1(0)2222，由已知得，，⎩⎪=+⎪⎨+=⎪⎪=⎧a b c a b c 4193222222解得=a 3，=c ，=b 2，故椭圆的标准方程为+=x y 94122．（2）如图，由椭圆的定义可得+=PF PF 612， 由余弦定理可得||2cos6020+−=PF PF PF PF 121222，整理得+−=PF PF PF PF ||20121222，又++=PF PF PF PF ||236121222，所以⨯=PF PF 31612， 故121116223PF F SPF PF =⨯⨯=⨯=sin601234．如图所示，已知椭圆的方程为+=x y 43122，若点P 为椭圆上的点，且∠=︒PF F 12012，求△PF F 12的面积．【分析】在1PF F 中，利用余弦定理结合椭圆的定义可求出PF 1，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】由已知==a b 2,，得==c 1， 则==F F c 2212，+==PF PF a 2412，在1PF F 中，由余弦定理，得︒=+−PF PF F F PF F F 2cos1202112112222，所以=++PF PF PF 4221122，由+==PF PF a 2412，得=−PF PF 421， 所以−=++PF PF PF 44211122)(，化简解得=PF 561，所以△PF F 12的面积为︒=⨯⨯PF F F 225sin1202116112 重难点6与椭圆有关的轨迹问题35．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点P x y ,)(到定点A 1,0和到定直线=x 4的距离之比是21，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【分析】利用轨迹的直接法求解.=21，整理得：+=x y 43132，所以点P 的轨迹为椭圆． 故选：B ．36．已知动圆过点,−A 30)(，并且在圆B ：−+=x y (3)10022的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．+=x y 167122B ．+=x y 169122C ．+=x y 259122D ．+=x y 2516122【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案. 【详解】由圆−+=B x y :310022)(，则其圆心B 3,0)(，半径为=R 10，设动圆的圆心为C ，半径为r ，由圆C 在圆B 的内部与其相切，则−=R r CB ， 由圆C 过点A ，则−=R CA CB ，即=+CA CB 10， 所以动点C 的轨迹为以A B ,为焦点的椭圆，则=a 5，==c AB23，==b 4，所以其轨迹方程为+=x y 2516122. 故选：D.37．已知A 是圆C 内异于圆心的一定点，动点P 满足：在圆C 上存在唯一点Q ，使得0QA QP ⋅=，则P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】C【分析】根据向量垂直关系可确定Q 点轨迹是以AP 为直径的圆，且该圆与圆C 相内切；根据圆与圆的位置关系可确定=+>r MC MA AC ，知M 点轨迹为椭圆；采用相关点法可确定P 点轨迹方程，由此可得结论.【详解】0QA QP ⋅=，∴⊥QA QP ，∴Q 点轨迹是以AP 为直径的圆， 又Q 在圆C 上且唯一，∴以AP 为直径的圆与圆C 相内切， 设AP 中点为M ，圆C 半径为r ， ∴由两圆内切且点A 在圆C 内可得：−=r AP MC 21，∴=+>r MC MA AC ，∴点M 轨迹是以A C ,为焦点，r 为长轴长的椭圆，以A C ,所在轴为x 轴，AC 中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，不妨设−A c ,0)(，C c ,0)(，点M 轨迹为+=>>a b a b x y 102222)(， 设M x y ,00)(，P x y ,)(，则⎩⎪=⎪+⎨⎪⎪=⎧−y y x x c20200，∴+=−a b y x c 4412222)(，∴P 点轨迹为椭圆. 故选：C.38．如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且=AB 2，P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是（ ）A ．面积为π的圆B ．面积为π2的圆C ．离心率为41的椭圆 D ．离心率为21的椭圆【答案】D【分析】连接BQ ，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得+==>=AQ BQ AP AB 42，再由椭圆的定义可得其轨迹.【详解】连接BQ ，因为线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，所以=BQ PQ ，因为+==>=AQ PQ AP AB 42， 所以+==>=AQ BQ AP AB 42，所以点Q 的轨迹是以A B ,为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆， 所以椭圆的离心率为====a a e c c 242221， 故选：D39．若线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，=AB 6，点M 是线段AB 上一点，且=AM 2，则动点M 的轨迹方程是 . 【答案】+=x y 164122【分析】利用M x y A x B y ,,,0,0,00)()()(，根据题意可得⎩=⎪⎨⎪=⎧y yx x22300，进而结合两点间距离公式运算求解.【详解】设M x y A x B y ,,,0,0,00)()()(， 则()(,,,AM x x y AB x y =−=−000)， 如图，因为=AB 6，=AM 2，可得1AM AB =3， 则⎩⎪=⎪⎨⎪⎪−=−⎧y y x x x 3131000，解得⎩=⎪⎨⎪=⎧y y x x 32300， 又因为===AB 6，整理得+=x y 164122， 则所求动点M 的轨迹方程为+=x y 164122故答案为：+=x y 164122.40．在ABC 中，已知点−A 1,0)(和点C 1,0)(．若边>>a b c ，且满足=+B A C 2sin sin sin ，求顶点B 的轨迹方程．【答案】+=−<<x x y 4312022)(【分析】根据正弦定理，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】根据正弦定理由=+⇒=+⇒+=>B A C b a c BA BC AC 2sin sin sin 24， 所以顶点B 的轨迹是以−A 1,0)(和点C 1,0)(为焦点的椭圆， 因此半焦距为1，半长轴长为2=，所以该椭圆的方程为+=x y 43122，设B x y ,)(，点B x y ,)(是三角形的顶点，所以−<<x 22又因为>>a b c ，所以<>⇒−<<⎪+=⎧x x y 222043122，所以顶点B 的轨迹方程为+=−<<x x y 4312022)(.41．如图，在圆+=x y 922上任取一点P ，过点P 向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.【答案】+=x y 499122【分析】根据相关点代入法求得M 的轨迹方程.【详解】设点M 的坐标为x y ,)(，点P 的坐标为x y ,00)(， 则=x x 0，=y y 2. 因为点P x y ,00)(在圆+=x y 922上，所以+=x y 90022.把=x x 0，=y y 20代入上述方程，得+=x y 4922.即所求轨迹方程为+=x y 499122. 点M 的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆.重难点7椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值42．（多选）已知点F 为椭圆C ：+=x y 43122的左焦点，点P 为C 上的任意一点，点A 的坐标为1,3)(，则下列正确的是（ ）A ．+PA PFB ．+PA PF 的最大值为7C ．−PF PAD ．−PF PA 的最大值为1 【答案】ABD【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，===a b c 2,1，所以−F 1,0)(，+PA PF 的最小值，即是AF 的长，当点P 在'P 位置时取到，所以+PA PF 的最小值为==AF A 正确； 设椭圆的右焦点为'F ，所以+=+−'PA PF PA PF 4， 则当点P 在''P 位置时取到最大值，所以+PA PF 的最大值为+=437，故B 正确； −PF PA 的最小值当P 在'''P 位置时取到，即−PF PA 的最小值为−=AF C 错误； 由−=−−=−+''P A A PF A P PF PF P 44()， 则当点P 在''''P 位置时取到最大值，所以−PF PA 的最大值为−=431，故D 正确. 故选:ABD43．已知椭圆+=C x y 32:122的左、右焦点分别为F F M ,,12为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y (5)(3)122上任意一点，则−MN MF 1的最小值为 .【答案】−4【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得≥−MN ME ||||1，再结合椭圆定义将−MN MF 1化为+−MN MF ||||2≥−MN ME ||||1以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知M 为椭圆+=C x y 32:122上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y (5)(3)122上故F E 105,,,32)()(，故+=≥−MF MF MN ME ||||||||112，当且仅当M N E ,,共线时取等号，所以=−−N F N MF M M M ||||21)(=+−≥+−≥−MN MF ME MF EF ||||||||1||1222，当且仅当M N E F ,,,2共线时取等号，而=EF ||52,故−MN MF 1的最小值为−=−514，故答案为：−444．设F 1是椭圆+=x y95122的左焦点，P 为椭圆上任一点，点Q 的坐标为−1,4)(，则+PQ PF 1的最大值为 .【答案】11【分析】先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案.【详解】由题意可得==a b 3,===c 2， 所以−F F 2,0,2,012)()(, 因为+==PF PF a ||||2612，所以+=−+≤+PF PQ PF PQ QF ||||6||||6||122;因为==QF ||52，所以+≤PF PQ ||||111.45．已知椭圆C ：+=x y 43122的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y 32122)()(上任意一点，则−MN MF 1的最小值为 .【答案】5/−+5【分析】根据椭圆定义可将−MN MF 1转化为+−MN MF ||||42，再根据≥−MN ME ||||1可得−MN MF 1的最小值为−EF ||52，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】由题意椭圆C ：+=x y 43122，M 为椭圆C 上任意一，N 为圆E ：−+−=x y 32122)()(上任意一点，故+=≥−MF MF MN ME ,||||4||||112，当且仅当M N E ,,共线时等号成立， 故−=−−=+−MN MF MN MF MN MF ||||||4||||||4|122)( ≥+−≥−ME MF EF ||||5||522，当且仅当M N E F ,,,2共线时等号成立，而F E 3,10,,22)()(，故EF ||2即−MN MF 1的最小值为5，故答案为：546．已知椭圆C ：+=x y 2516122，F 1，F 2为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐标为（2，1），则+PA PF 1的范围为 ．【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得=−PF PF 1012，再根据三角形三边长的关系可知，当A P F ,,2共线时即可取得+PA PF 1最值.【详解】由椭圆标准方程可知==a c 5,3，−F F (3,0),(3,0)12又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得+==PF PF a 21012，所以=−PF PF 1012 所以+=+−PA PF PA PF 1012易知−≤−≤AF PA PF AF 222，当且仅当A P F ,,2三点共线时等号成立；又==AF 2≤+≤PA PF 10101；即+PA PF 1的范围为[10.故答案为：[1047．椭圆+=C x y 2516:122，F F ,12是左、右焦点，点Q 2,2)(，点P 为椭圆上一动点，则＋PF PQ 1的最大值为 ，最小值为 ．【答案】 1010 1010【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得＋PF PQ 1的取值范围，进而确定正确答案.【详解】椭圆+=C x y 2516:122，∴===a b c 5,4,3，∴−F F 033,0,,12)()(.如图所示，点Q 在椭圆内部，∵点P 为椭圆上的点，则+==PF PF a 21012，∴=−PF PF 1012， ∵＋=−+PF PF PQ PQ 1021，又−≤=PQ PF QF 22≤−≤PQ PF 2即＋⎣∈⎡PF PQ 101.故答案为：+101048．已知A (4,0)､B (2,2)是椭圆+=x y259122内的点，M 是椭圆上的动点，则+MA MB ||||的最大值为 ；最小值为 .【答案】 +1010 −10/−10【分析】由题意可得A 为椭圆右焦点，设左焦点为−F (4,0)，B 在椭圆内，根据椭圆的定义得+=+−MA MB MB MF ||||10||||，由图可知当M 在直线BF 与椭圆交点上时，+MA MB ||||取得最值.【详解】由题意可得A 为椭圆右焦点，设左焦点为−F (4,0)，B 在椭圆内， 则由椭圆定义+==MA MF a ||||210， 于是+=+−MA MB MB MF ||||10||||.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形， 于是−<MB MF BF ||||||，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时， 在第一象限交点时，有−=−MB MF BF ||||||， 在第三象限交点时有−=MB MF BF ||||||.显然当M 在直线BF 与椭圆第一象限交点时，+MA MB ||||有最小值，其最小值为+=+−=−==−MA MB MB MF BF 10101010当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时，+MA MB ||||有最大值，其最大值为+=+−=+==+MA MB MB MF BF ||||10||||10||1010故答案为：+10−10.。

椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}.(3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x225＋y216＝1.椭圆标准方程的两种形式 焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x 轴上 _________ (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2______ 2c焦点在y 轴上 __________ (a >b >0) F 1 ，F 2(0，c ) 2c椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一：椭圆的定义【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹.【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程.即(x －3)2＋(y －0)2－(x ＋3)2＋(y －0)2＝3，方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆. 设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3，整理得x 294－y 2274＝1(x <0).类型二：求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程.方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 132a 2＋132b2＝1，0＋－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14.由a>b>0知不合题意，故舍去②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a 2＋132b2＝1，－122a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ②已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ②到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. ②2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；②到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴).所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m ≠n).则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.【变式】求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m>0，n>0).(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1 (a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ).【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).据题2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ②所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.（2）椭圆过点(3，2)，(5，1)；设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A ≠B)，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.（3）椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).由⎩⎨⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，②所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程【例3】已知一动圆M 与圆C1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值.【变式3】已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253， 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即a ＝ 5.据题C 1(－3，0)，r 1＝1，C 2(3，0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ， 故|MC 1|＋|MC 2|＝10，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴. 在Rt②PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ②c 2＝53，②b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.类型三: 椭圆中焦点三角形问题【例4】已知P 是椭圆y 25＋x 24=1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且②F 1PF 2＝30°，求②F 1PF 2的面积.解：由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ②c ＝a 2－b 2＝1，②|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ②|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3).② ＝12|PF 1|·|PF 2|sin②F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.【例5】已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|＝4，求②F 1PF 2的大小.解：由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，②c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，②cos②F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.12F PFS △【变式】(1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，②F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：②PF 1F 2的面积S ②PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(2)已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足②PF 1F 2＝90°(如图).求②PF 1F 2的面积.（1）S ②PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|.所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式，得 ＝12|PF 1||PF 2|sin α＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α.又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以S ②PF 1F 2＝b 2tan α2.（2）由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.在②PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a .两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.②根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2. ② ②－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2，从而|F 1F 2|＝2c ＝2. 在②PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以②PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即②PF 1F 2的面积是32.总结：(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy. (2)设点：设点M(x ，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程， 并将其坐标化为x ＋c2＋y 2＋x －c 2＋y 2＝2a . ②(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). ②知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于xa与yb的平方和，并且分母为不相等的正值．【问题2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．【问题3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．(1)椭圆的标准方程的形式(2)方程(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为____a2＝b2＋c2____．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．【变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)； (2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)．解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知：2a ＝ (－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. ∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1. 所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆．反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ). (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2. ∴BQ →＝2QP →. 设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎨⎧ x 0＝3x －22，y 0＝3y 2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上．∴(3x －22)2＋(32y )2＝1. ∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.。