高中数学椭圆及其标准方程

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高中数学椭圆及其标准方程

a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2a 2c, 即a c, 所以
a 2 c 2 0, 设 a 2 c 2 b 2 (b 0),
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不同点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标相同点定义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
♦提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：
坐标法
回忆圆标准方程推导步骤
1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 P（M） ; 3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a b 得
2 2
x y 2 1(a b 0). 2 a b
2
2
椭圆的标准方程
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？

高中数学选修二《椭圆及其标准方程》课件

线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，
椭圆的方程形式又如何呢？
o
x
[设计意图] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生
的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.
[设计意图]通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.
四、教学过程 <布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做，其余学生不做探究题） >
[设计意图] 一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了学生的自主学习能力和探究性学习习惯.
3、教学手段：多媒体辅助教学.
通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.
四、教学流程
创自师初自
知
布
设主生步我
识
置
情探互运评
整
作
景究动用价
理
业
，，，，，
，
，
提形导强反
形
巩
出成出化馈
一、教材分析
(五) 教学的重点难点
1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程 2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
二、学情分析
在此之前,学生对坐标法解决几何问题掌握不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么的办法来补充这些知识.

高中数学选修1课件：2.1.1椭圆及其标准方程

2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.
1.椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于__常__数____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两___个__定__点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距____．
思考探究定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于 |F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
特（4）a、b、c都有特定的意义，
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
点有关系式a2 b2 c2成立。
变式演练加深理解
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
（
2
）
两个焦点的坐标分别是（新疆王新敞奎屯
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
归纳：椭圆的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
y2 49
1的两个焦点，过
F1的直线与椭圆交于A、B两点，则 ABF2的
周长为（）
(A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28
反思总结提高素质
标准方程
不
同
图形
点
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y
o
x
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
y

高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.1椭圆及其标准方程》课件

2．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直线 AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2 的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝4a.
即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|，
所以 100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以
S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin
()
A．10
B．8
C．5
D．4
解析：∵a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案：A 3．已知椭圆中 a＝5, c＝ 5，焦点在 x 轴上，则椭圆的标准方程为_________．
答案：2x52＋2y02 ＝1
题型一椭圆的定义及应用
[学透用活]
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
[解] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝2，b＝1. 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
()
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)

人教A版高中数学选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程课件

因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，

令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2

高中数学椭圆的定义与标准方程优秀课件

∴ 设它的标准方程为 ∵ 2a=10， 2c=8
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
∴ a=5， c=4
b 2 a 2 c2 5 2 4 2 9
∴ 所求的椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 25 9
（2）两个焦点的坐标分别是（0,－2）,（0,2）,
并且椭圆经过点
3 2
,5 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
〔2〕椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
〔3〕由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
〔4〕椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，那么焦点在
4.根据所学知识完成下表
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
1，则a＝
5 ，b＝
3；
2. x2 y2 1，则a＝ 6 ，b＝ 4 ；
42 62
3. x2 y2 1，则a＝ 3 ，b＝ 2 ；
94
4. x2 y2 1，则a＝ 7 ，b＝ 3 ．
37
2.判定以下椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标
x2 y2 1
25 16
x2 y2 1 144 169
2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？怎样推导出方程的？
在平面内，到定点的距离等于定长
的点的轨迹。
以圆心O为原点，建立直角坐标系
设圆上任意一点P(x，y)
y
P(x, y)
•
r
OPr x2 y2 r

椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件

必备素养一 1.平面内到两定点 F₁,F₂ 的距离之和为常数，即|MF₁|+|MF₂| =2a, 当 2a>|F₁F₂ | 时，轨迹是椭圆；当2a=|F₁F₂ | 时，轨迹是一条线段F₁F₂; 当 2a<|F₁F₂| 时，轨迹不存在.
2.由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).
表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值
(-6,一2)U(3,十一)[由a²>a+6>0 得a>3 或-6<a < 一
2.]
类型 1 求椭圆的标准方程
【例 1】求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F₁(一4,0),F₂(4,0), 并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10; (2)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 √2); (3)经过两点(2,一 √2),
[解]由椭圆方
知a=2,c=1,由椭圆定义，得
+PF₂ |=2a=4,且F₁F₂ |=2,在△PF₁F₂ 中，∠PF₁F₂=90° .
.1
从而(4—
+4,
则
因此
·F₁F₂l
故所求△PF₁F₂ 的面积为
2.本例(2)中方程改为
且“∠PF₁F₂=120°”
改为“∠F₁PF₂=120°”,若△PF₁F₂ 的面积为 √ 3,求b的值.
[解](1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c=4,2a=10, 所以a=5, b=√a²-c²=√25- 16=3, 所以椭圆的标准方程
(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程 1(a>b>0).
法一：由椭圆的定义知2a= √ (4-0)²+(3√2+2)²+

高中数学选修2《椭圆及其标准方程》课件

∴|AB|+|AC|=12>|BC|,
∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆 (除去与x轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得
a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是
(y≠0).
x2 y2 1 36 20
定义法
练习：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、 AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是___x_2/_4_+y_2_/3_=_1___.
y2
1
10 6
课堂练习2：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x2 (1)
y2
1
25 16
(2) 3x2 2 y 2 1
x2
y2
(3
x2 m2
y2 m2 1
1
(4)9x2 25 y 2 225 0
? (6) x2 y2 1 24 k 16 k
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
Y
M (x,y)
如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面
分析二：设方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)
x2/15+y2/5=1
• (2)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点 (3,0)的椭圆的标准方程。

课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版

思考为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa，为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为，所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.

高中椭圆的知识点总结

高中椭圆的知识点总结椭圆是数学中的一个重要概念，具有很多应用。

在高中数学中，椭圆也是一个必修的内容，考试中经常会涉及到相关的知识点。

在本文中，我们将对高中椭圆的知识点进行总结和归纳。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于定长2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2被称作椭圆的焦点，定长2a被称为椭圆的长轴，长轴的中点O被称为椭圆的中心，距离中心最远的两点A和B被称为椭圆的顶点，椭圆的离心率为e=(F1F2)/2a。

二、椭圆的方程椭圆的标准方程为 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, 其中a>b>0，a为长轴长度，b为短轴长度。

当椭圆的中心不在坐标原点时，可通过平移变换将其移到原点，然后再求解方程。

三、椭圆的性质1. 椭圆的中心位于坐标原点或者与坐标轴的交点上。

2. 椭圆的长轴是平行于x或y轴的直线，短轴是垂直于长轴的直线。

3. 椭圆的离心率e=(F1F2)/2a, e<1。

4. 椭圆的焦点与顶点之间的距离F1A、F2B互相相等，且等于椭圆的长轴长度2a。

5. 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于定长2a。

6. 椭圆的面积为πab。

7. 椭圆的周长无法用初等函数表示，通常用级数来表示。

四、椭圆的几何意义椭圆的几何意义可以简单地用两条绳子相互交错吊起一个重物来表现。

在两条绳子构成的平面上，可以画出一个椭圆形的轨迹，此时重物到两条绳子的距离之和为定值2a，而椭圆的顶点即为两条绳子的交点。

五、椭圆的应用椭圆具有很多应用，在物理、工程、天文学、生物学等领域中经常会涉及到。

1. 通讯卫星轨道：通讯卫星通常被放置在椭圆轨道上，使得其在地球上的可见度更广，信号传输距离更长。

2. 医学图像：医学图像中的组织轮廓通常是椭圆形的，因此椭圆形适用于医学图像处理。

3. 自动打标机：自动打标机通常采用椭圆形的摆线轮廓来控制字母和数字的运动轨迹。

4. 椭圆滤波器：椭圆滤波器是一种常用的数字信号处理技术，用于高通、低通、带通、带阻等滤波。

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（C）线段
（D）圆
5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，
0<k<1 则k的取值范围是_______
6 已知B、C是两个定点，│BC│=6，且 △ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程
y
M
y
F 2
M
图形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方程焦点 a,b,c间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2，a>c>0,a>b>0
练习：
1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
x2 y2 (2)已知椭圆的方程为： 1 ,则 4 5 a=_____ ，c=_______ ， 2 1 5 ，b=_______
(0,-1)、(0,1) ，焦距焦点坐标为：__________
F2 P
F1
等于_________; 2
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________ 2 5 3 ，
x2 y2 1 表示焦点在x轴上的 25 m 16 m
椭圆,则m的取值范围为
A - 16 m 25 C - 16 m 4.5
B 4.5 m 25 D m 4.5
4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足
|MF1|+ |MF2|=6,则动点的轨迹是（（A）椭圆（B）直线）
椭圆的标准方程
定义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F 2
M
图形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方程焦点 a,b,c间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
(1) a 4, b 1,焦点在x轴上 (2) a 4, b 15, 焦点y在轴上. (3) a b 10,c 2 5 ,
x y 1 上一点到焦点F1的距离 2 椭圆 100 36 等于6,则P点到另一焦点F2的距离是 14
2
2
例题讲解：
例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2，0），
§2.1.1 椭圆及其标准方程
一、椭圆的定义
取一条定长的细绳，把细绳的两端绑在两个图钉上，让图钉固定在两点处(有一定距离)，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹为：
1
2
若2a > |F1F2|，则轨迹为
椭圆
若2a = |F1F2|，则轨迹为线段
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a
x y 例1 若 1表示椭圆，求系 m 2m 1 数m的取值范围.
பைடு நூலகம்
2
2
例2 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
演示
y P
M
O
D
x
例3 如图，设点A、B的坐标分别为(-5,0)，
(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率
之积为 ,求M的轨迹方程. 4 9 A y
M
O B x
课后练习：
2 2 2 2 x ( y 3 ) x ( y 3 ) 10 1 化简方程：
2 椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点坐标是 3 方程
A 建立直角坐标系设点
B 动点的集合 C 坐标化，列出式子 D
化简方程
椭圆的标准方程
y
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
（a>b>0）
2 2
2
2
F1
c · ·
o
a
b
F2
x
F2
F1
a · c b ·
o
y
x
椭圆的标准方程
定义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
M
图形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方程焦点 a,b,c间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2，a>c>0,a>b>0
判断椭圆标准方程的焦点在哪个课前练习轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。填空：
x2 y2 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： 25 16 5 ，b=_______ 4 a=_____ ，c=_______ ，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为：____________ 若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
c2=a2-b2，a>c>0,a>b>0
作业：P49习题2.2
1，2
2018年7月22日星期日11时22分2秒
第二章圆锥曲线与方程
§2.1.1 椭圆及其标准方程
（第二课时）
2018年7月22日星期日11时22分2秒
椭圆的标准方程
定义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F 2
3 5 （2，0），并且椭圆经过点（，）， 2 2
求它的标准方程。
练习：
x2 y2 3 椭圆 1 的焦距是 16 7
6
y F1
;焦点坐标是
(3,0) , (-3,0) ;一直线过F1交椭圆于两点A,B
则△ABF2的周长为
16
A
B F2
x
1、椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距。 2、椭圆的标准方程 2 2 2 2 y x + y x 1 = + 2 = 1 （a>b>0）或 2 2 2 a b a b 3、椭圆的标准方程焦点位置与方程形式的关系。
3
若2a < |F1F2|，则轨迹为不存在
1.定义
平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦(|F1F2|=2c)。
二、椭圆标准方程的推导
（平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a（大于2c）的点的轨迹方程）

高中数学椭圆及其标准方程

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