人民教育A版选修1-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案导学案

3.复数除法的实质是怎样的？ 提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先 把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，再把结果化简即可.
➡根据以上探究过程，试着写出共轭复数的定义以及复数的除法法则.
1.共轭复数
(1)条件：两个复数实部_____，虚部互为_______.
【拓展延伸】虚数单位i的周期性 (1)i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1(n∈N). (2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N). n也可以推广到整数集.
4.若z，z1，z2∈C，m，n∈N，则zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)m= 成立吗？
z
2.两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系 是什么？
提示：当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数.事实
上，若z=a+bi(a，b∈R)，那么z· =(a+bi)·(a-bi)=a2+b2，且
有z· =|z|2=| |2.
z
z
z
【过关小练】
1.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )
A.x=3，y=3
B.x=5，y=1
C.x=-1，y=-1
D.x=-1，y=1
【解析】选D.由题意得
x y
2 1，
3x，所以xy
1， 1.
2.复数 5 等于( ) 2i
A.2 iB. 2 1 iC.10 5iD.10 5 i
55
33
【解析】选A.
5 2
i

复数代数形式的乘除运算学习目标：1. 理解共轭复数的概念；2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。

重点：理解共轭复数的概念难点：能进行复数的代数形式的乘、除运算教学过程：1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P58～P60的内容，回答下列问题．(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？(2)观察下列三组复数：①z1＝2＋i，z2＝2－i；②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；③z1＝4i，z2＝－4i.每组复数中的z1与z2有什么关系？2．归纳总结(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝ .(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有(3)一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z ，虚部不等(4)复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数[问题思考](1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？(2)复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i(a ，b ∈R)有什么关系？z 1·z 2为何值？ (3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？ (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|与|z 2|之间有什么关系？(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？ 讲一讲 1．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋12i (1＋i)；(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i .练一练 1．计算：(1)(－1＋3i)(3－4i)；(2)2－i3－4i1＋i2＋(1－i)2[思考] 若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z，z·z各为何值？讲一讲2．(1)若z＝1＋2ii，则复数z＝( )A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．B C．C D．D(3)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z z－z－1＝( )A．－2i B．－i C．i D．2i练一练2．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数z＝1－i，求实数a、b使az＋2b z＝(a＋2z)2.课堂归纳1．本节课的重点是复数的乘除运算及共轭复数问题，难点是复数的除法运算和解复数方程问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数的乘除运算(2)共轭复数的有关问题(3)复数范围内的方程根问题。

§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法。

教学重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算。

教学难点：复数除法的运算法则。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学过程：复习引入：1.加法、减法的运算法则2.加法运算律：讲解新课：探究点1 复数乘法运算规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究点2 复数乘法的运算律(1)z1z2=z2z1证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)(z1z2)z3=z1(z2z3)证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z 1(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i .z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )(a 3+b 3i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i +(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.例1、计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2、计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2. 解：（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i ）2=9-(-16)=25; (2) （1+i)2=1+2i+i 2=1+2i-1=2i. 探究点3 共轭复数的定义当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z =a-bi 。

教学设计§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：一．复习引入学生回顾并回答：复数的加减法及其几何意义。

（师）前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致，那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？（师生互动）让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得的结果与教科书的规定对照，从而引入新课。

二．讲解新课１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3(2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3(3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3 ，（师讲解）例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.（生）练习1若复数12121,3,z i z i z z =+=-=（ ）答案42i +思考：例2中3+4i 与3-4i 有何特殊关联？引出共轭复数概念。