第3章静电场及其边值问题的解法

静电场的解法第三章静电场的解法第三章静电场的解法静电场问题的类型唯一性定理分离变量法镜像法有限差分法第三章静电场的解法静电场问题的类型分布型问题已知全空间的电荷分布利用电场强度或电位的计算公式直接计算场中各点的电场强度或电位这类问题称为分布型问题对此问题有如下几种解法。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电场。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电位再根据计算电场。

、若电荷分布具有某种对称性从而判断场的分布也具有某种对称性时可用高斯定理直接求解电场此法主要是要正确选取高斯面一般高斯面上的场强要保持常量并且方向与所在面的法向相同计算才可化简。

第三章静电场的解法边值型问题已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的法向导数分布求解该区域中电位的分布状况这类问题称为边值型问题或简称为边值问题边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。

第一类边值问题：给定整个边界上的电位函数求区域中电位分布这类问题又称为狄利克莱问题。

第二类边值问题：给定整个边界上电位函数的法向导数求区域中电位分布这类问题又称为诺伊曼问题。

第三类边值问题：一部分边界上的电位给定另一部分边界上的法向导数给定求区域中电位分布这类问题又称为混合型边值问题。

如果边界是导体则上述三类问题分别变为：已知导体表面的电位已知各导体的总电量已知一部分导体表面上的电位和另一部分导体表面上的电量。

第三章静电场的解法唯一性定理唯一性定理：满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。

或：如果给定一个区域中的电荷分布和边界上的全部边界条件则这个区域中的解是唯一的。

格林定理格林定理是由散度定理直接导出的数学恒等式。

将散度定理用于闭合面S所包围的体积V内任一矢量场式中参量是在区域内两个任意的标量函数并要求在边界上一阶连续在区域内二阶连续。

第三章静电场的解法则有格林第一恒等式上述两式相减得格林第二恒等式第三章静电场的解法唯一性定理的证明设φφ是同一无源区域的边值问题的解。

场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。

第三章 静电场的解法 3.2.2 唯一性定理的证明 设φ1φ2是同一无源区域的边值问题
2 0 的解。 | s f ( x, y , z )
2 1 0 和 2 2 0 ，同时满足边界条件。 即它们应满足 因此，两个解的差 ' 1 应满足拉普拉斯方程 2
对于实际的工程问题， φ必须在所求解的区域中是单值的， 即n≠0 ，所以圆柱坐标系中，二维场φ的通解为：
r n An sin n B n cosn r n Cn sin n Dn cosn
n 1



第三章 静电场的解法
φ必须是单值
[k ( 2 ) (k )
d 2 g ( ) k 2 g 0 d 2
g[k ( 2 ) g (k )
方程的解为
k必须为整数
g ( ) A sin(n ) B cos(n )
d df (r ) r (r ) n 2 f (r ) 0 dr dr
2' 0
在格林第一恒等式中，取
' ，可得
' ' ' ' ' 2 s n dS v d v d
对于第一类边值问题，φ1φ2应满足相同的边界条件
' | s (1 2 ) | s 0
第三章 静电场的解法
可得
' 0
第三章 静电场的解法
3.1.2 边值型问题 已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的 法向导数分布，求解该区域中电位的分布状况，这类问题称为 边值型问题或简称为边值问题，边值问题根据边界条件给出的 形式不同可分为以下三种类型。 第一类边值问题：给定整个边界上的电位函数求区域中电位 分布，这类问题又称为狄利克莱问题。 第二类边值问题：给定整个边界上电位函数的法向导数求区 域中电位分布，这类问题又称为诺伊曼问题。 第三类边值问题：一部分边界上的电位给定，另一部分边界 上的法向导数给定，求区域中电位分布，这类问题又称为混合 型边值问题。 如果边界是导体，则上述三类问题分别变为：已知导体表面的 电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面上的电位和 另一部分导体表面上的电量。

静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件：已知场域边界面上各点的电位值，即给定边界上的电位(2)第二类边界条件：已知场域边界面上各点的电位法向导数值，即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件：一部分边界上给定每一点的电位，一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解，是给定场域静电场的唯一解：
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程；
(2)在不同媒质分界面；
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。

4.静电场边值问题的求解
(1)直接法：直接求解电位的微分方程得到解析解，如直接积分法、分离变量法；(2)间接法：依据唯一性定理和物理概念间接求解，如镜象法；
(3)数值法：利用数值分析求近似解，如有限差分法、有限元法。