极限习题及答案：极限的四则运算

1 / 13 分类讨论求极限

例 已知数列na、nb都是由正数组成的等比数列，公比分别为qp,，其中qp，且1p，1q，设nnnbac，nS为数列nC的前n项和，求1limnnnSS.

（1997年全国高考试题，理科难度0.33）

解： 111111qqbppaSnnn

111111111111111nnnnnnqpbpqaqpbpqaSS.

分两种情况讨论；

（1）当1p时，∵ 0qp，故10pq，

∴1limnnnSS

1111111111111111111limnnnnnnnnnnppqpbpqapppqpbpqap

01011010111111pbqapbqap

pqaqap1111

（2）当1p时，∵ 10pq，

∴

1limnnnSS

11111111lim111111nnnnnqpbpqaqpbpqa

1011011011011111pbqapbqa

111111111pbqapbqa.

说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．

自变量趋向无穷时函数的极限

例 求下列极限：

（1）42242115limxxxxx

（2）1212lim223xxxxx

分析：第（1）题中，当x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则．

第（2）题中，当x时，分式1223xx与122xx都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“”型或“00”型，再求极限．

解：（1）211151lim2115lim24424224xxxxxxxxxx

.212000012lim1lim1lim1lim5lim1lim2442xxxxxxxxxx

（2）)12)(12()12()12(lim1212lim2223223xxxxxxxxxxxx

)12)(12(11lim)12)(12(lim2223xxxxxxxxx

41)02)(02(01)12(lim)12(lim)11(lim2xxxxxx

说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法．

无穷减无穷型极限求解

例 求极限：

（1）)11(lim22xxxxx

（2）)11(lim22xxxxx

分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．

解：（1）原式22112limxxxxxx

222112limxxxxxx

.11111112lim22xxxxx

（2）原式22112limxxxxxx

.11111112lim22xxxxx

说明：当0x时，2xx，因此211111121122222xxxxxxxxx．

利用运算法则求极限

例 计算下列极限：

（1）123171411lim2222nnnnnn；

（2）nnn3112719131lim1.

（1992年全国高考试题，文科难度0.63）

解： （1）原式11321lim2nnnn

232213lim123lim222nnnnnnn.

（2）原式31131131limnn

41014131141limnn.

说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：

（1）原式123lim14lim11lim222nnnnnnn

（2）原式

413113102719131311lim271lim91lim31lim1nnnnnn

用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限

例 设*Np，求nnpn1111lim1．

分析：把111pn用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．

解：111221111)1()1(1111ppppppnCnCnCn

pppppppnCCnCnCnn)1()1(111111131221111

11111lim111pCnnppn

或：逆用等比数列求和公式：

原式pnnnn1111111lim2

11111pp个

说明：要注意p是与n无关的正整数，111pn不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．

零乘无穷型转化为无穷除无穷型

例 求.)1(limnnnn

分析：当n时，所求极限相当于0型，需要设法化为我们熟悉的型．

解： nnnn)1(lim

.211111lim1lim)1()1)(1(limnnnnnnnnnnnnnn

说明：对于这种含有根号的0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nnn1，即为型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n，完成极限的计算．

根据极限确定字母的范围

例 已知161)2(44lim2nnnnm，求实数m的取值范围．

分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．

解：16142161lim)2(44lim2nnnnnnmm

于是142m，即26,424mm．

说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161limnnm可知，nm42的极限必为0，而0nq的充要条件是1q，于是解不等式142m．

零比零型的极限

例 求xxx11lim100．

分析：这是一个00型的极限，显然当0x时，直接从函数xx1110分子、分母中约去x有困难，但是1110x当0x时也趋近于0，此时x化为1)1(1010x，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101xy，则110yx．

解：设101xy，则110yx，于是，当0x时，1y．

原式10111lim11lim891101yyyyyyy

说明：本题采用的换元法是把0x化为01y，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些00型的极限问题．

例如对于11lim21xxx，我们一般采用因式分解，然后约去1x，得到2)1(lim1xx．其实也可以采用这种代换，即设1xt，则当1x时，0t，这样就有

.2)2(lim1)1(lim11lim02021tttxxttx

组合与极限的综合题

例 ) (lim1222nnnnnCC

A．0 B．2 C．21 D．41

分析：将组合项展开后化简再求极限．

解： 1222limnnnnnCC

.4126412lim)22)(12()1(lim)!22()!1()!1(!!)!2(lim222nnnnnnnnnnnnnnnn

故应选D．

说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．

高考填空题

1．计算.________)2(limnnnn

2．若数列na的通项公式是)N()1(1*nnnan，则.________)(lim21nnana

3．计算：.________)13(limnnnn

1．解析 22222221221lim2limennnnnnnnnnn

说明：利用数列极限公式ennn11lim，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．

2．解析 .21,)1(11annan

.23121)11121(lim )1(121lim2nnnnnn

说明：本题的思考障碍点是如何求1a？——只要懂得在通项公式中令1n，可立得1a的具体值，本题考查数列极限的基本知识．

3．解析 nnnn)13(lim

21221)121(limennnnn

说明：本题考查数列极限公式的应用．

根据已知极限和四则运算求其它极限

例 若12limnnna，且nnalim存在，则.________)1(limnnan

A．0 B．21 C．21 D．不存在

分析：根据题设知nna和na均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．

解：,lim,12lim存在nnnnnana

0lim 021lim2limlimnnnnnnnannaa

又21lim,12limnnnnnana

∴21210limlim)(lim)1(limnnnnnnnnnnaanaaan

即.21)1(limnnan

选C．

说明：nnalim是关键，不能错误地认为0limnna，0)1(limnnan．