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前n项
和
为S
，
n
求 lim n
Sn
小结：数列极限的几种常规类型：
(1) lim f (n) 型 n g(n)
（2）lim qn型 n
（3） 可 有 理 化 型
无穷等比数列问题
数列{an }是等比数列，且| q | 1,
则 所 有 项 和s
lim
n
Sn
a1 1q
练习:1、圆O1是边长为a的正三角形的内切圆,圆O2与 O1外切,且与AB、AC相切,圆O3与O2外切,且与AB、 AC相切,如此无限继续,求所有圆的面积之和S.
(2)混循环小数化为分数,这个分数的分子是小数点 后及第二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分 数字所组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数 字是0,其中9的个数与一个循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同.
.
如 ：0.6
6
2 .. ;0. 1 2
12
4 . . 370 10 ;0. 3 7 0 ;
例6:如图所示,在Rt ABC内有一系列正方形,面积分别
为S1,S2,…,Sn,…,已知 tan A=1/2,BC=a,求所有这
些正方形的面积的和
解:
BC
a,
tan
A
1/
2,
AC
B
2a.
B1
由ΔA1B1C1∽ΔABC:
B1C1 AC1 AC B1C1 ,
BC AC
AC
S
C1
B2 B3
S S3
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
B θ
E
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
D
＝13
1
×2
BC
· ED
· AD
＝
1 3
×1
2
BC
· AEcosθ· AD
C
＝
1 3
S△AB C
· ADcosθ
情况。例如，若 则：
an
，bn
，cn
有极限，
lim (a
n
n
bn
cn
)
lim
n
an
lim
n
bn
lim
n
cn
特别地，如果C是常数，那么
lim (C
n
an )
lim C
n
lim
n
an
CA
例1.已知
lim
n
an
5,
lim
n
bn
3 ，求
lnim(3an
4bn )
例2:求下列极限
1 23 n
(1) lim n
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
A’ A’ A’
1Sh
3
A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
B’ B’
22
B’
2
B’
2
B’
2
2
B’
B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’B’BC的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
体 积 相 等
∵V长方体＝abc
∴V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h
＋
S1h1
h S
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
C’
3
B’
2
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’
A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
C’
3
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
2 0.014 2 14 212 106 . 10 1 0.01 10 990 990 445
说明:
由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
(1)纯循环小数化为分数,这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
A’
１
A
3 2 B’
B
棱锥1和另两个三棱锥2、3。 C’ 三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底
△BCB1、△C1B1C 的面积相等，高也相等
C（顶∵点V三都棱柱是＝A1）13
∵V1＝V2＝V3＝ Sh。
A
AA A
C
C CC C
CC
C
三棱B锥1、B2的B 底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
C’
3
1
A
B’
2
C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
C
B’ C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
93
99 33
999 27
. 123 12 111 37 . . 231 2 229
0.12 3
;0.2 31
;
900 900 300
990 990
. . 3890 38 107
5.389 0 5
5 .
9900
275
11 1 例5:从数列 2 , 4 ,, 2n ,中取出无穷项,使其成为各项和
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？
A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ
∵ S1
h2 1
，S
2
ห้องสมุดไป่ตู้
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’
1 3
V三棱锥。
∴V三棱锥＝
1 3
Sh。
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
V锥体＝
1 3
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
极限的四则运算 （三）
数列极限的四则运算：
如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b 那么
lni m(an bn ) a b
lim
n
(
an
bn
)
a
b
lim an a (b 0)
b n n
b
lim (C
n
an
)
C
a
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
