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极限的运算法则总结

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极限的运算法则

极限的运算法则

常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
5 1
2 lim
x
7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结: 当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 x m b0 x n
a1 x m 1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出 无穷小,然后再求极限.
lim
x x0
f
( x)
a
0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0 n a1 x0 n1 an f ( x0 ).
2. 设
f
(
x)
P( x) Q( x)
,
且Q( x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

极限运算法则

极限运算法则
x → x0
但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x ) ≠ a，又 lim f ( u) = A，
u→ a
时的极限也存在， 则复合函数 f [ϕ ( x )] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x )] = lim f ( u) = A.
u→ a
意义： 意义：
x → x0
第六节
极限运算法则
1、极限运算法则 、 2、求极限方法举例 、
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3

高等数学 极限运算法则

高等数学 极限运算法则
+
x→ 0
x→ 0 2
x→ −∞
x→−∞
目录
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结束
内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 2. 求函数极限的方法 分式函数极限求法 1 x →x0 时, 用代入法 ) ( 要求分母不为 0 ) 注意使用条件
2) x →x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
x −1 f (0 ) = lim f (x) = lim( 3 ) =−1 x→ + 0 x→ + x +1 0 故 lim f (x) =−1 x→ 0 x2 −1 lim f (x) = xlim( 3 ) = 0 → +∞ x +1 x→ +∞ lim f (x) = lim(x −1) =−∞
x = 3 时分母为 0 !
目录
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结束
例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,
2
但因
x −5x + 4 12 −5⋅1+ 4 lim = =0 x→ 2x −3 1 2⋅1−3
目录
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结束
结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
目录
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结束
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
目录
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结束
思考： 思考：1. 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 2.
问 是否存在 ? 为什么 ? 存在 , 矛盾 矛盾. 问 是否一定不存在 ?

极限的运算法则

极限的运算法则

lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3

极限运算法则

极限运算法则

= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3 x→2
3
3
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x → x0 x → x0
x → x0
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x → x0
（k为常 数）
3) 当 lim g ( x ) ≠ 0 时，
x → x0
f ( x) lim = lim f ( x ) / lim g ( x ). x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0
( x 2 + 2 x − 3) = 0, x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
∴ lim 4x − 1 x + 2x − 3
2 x →1
= ∞.
小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 +
=
u→ B ln A
lim e u = e B ln A = A B .
极限存在准则、两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限
1、极限存在准则
数列极限的夹挤准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

极限四则运算法则

极限四则运算法则
CREATE TOGETHER
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用


无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

极限运算法则

极限运算法则
x 1
x 1 u2 1 u 1 ∴ 原式 lim(u 1) 2 u 1 x 1 u 1
方法 2
( x 1)( x 1) lim( x 1) lim x 1 x 1 x 1
2
小结
1.无穷小运算法则；极限的四则运算法则;复合函数的极 限运算法则. 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限;
n 1
a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x x0 x x0
lim P ( x )
3 (1);
5
备用题 设 求 解: 是多项式 , 且 利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
再利用后一极限式 , 得
f ( x) b 3 lim lim (a ) x 0 x x 0 x
可见 故
思考及练习 1. 问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知
矛盾. 2.
存在 , 与已知条件
n (n 1) 1 1 1 解: 原式 lim lim (1 ) 2 n 2n n 2 n 2
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用 .
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,

极限运算法则

极限运算法则






定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证明
设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .
又设是当x x0时的无穷小 , 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
u u0
且存在 0 0,当x U 0 ( x0 , 0 )时, 有g( x) u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A
u u0
证明 按 函 数 极 限 的 定 义 , 要 证: 0, 0, 使 得
当0 x x0 时, 恒 有 f [ g( x )] A lim f ( u) A, 0, 0, 使 得 uu



2
因 为 是 当x x0时 的 无 穷 小 , 对 于 0, 2 0, 2 当0 x x0 2时, 恒 有

2 取 m in{ 1 , 2 }, 则 当0 x x0 时, 恒 有 及
2 2 2 2 即证明了 也 是x x0的 无 穷 小 从 而
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3

1-6极限运算法则

1-6极限运算法则

二、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2
x3 1 3x5
limx3 lim1
x2
x2
lim(x2 3x5)
x0
x
6、xl im excoexsx ______. ____
7、lx i0m 4x34x22x22xx______. ____ 8、lim (2x3)20(3x2)30_____._____
x (2x1)50
二、求下列各极限:
1、 li(m 111.. .1)
n 2 4
2n
2、lim (xh)2x2
limx 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4 求lx i m 27xx33 34xx22 1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3用 去除分 ,分子 出分 ,再 无母 求 穷 . 极 小限
2x3 3x2 lx im 7x3 4x2
5lim23xx53 1 x74xx13
limsinx0. x x
y sin x x
例7
设 f(x ) x 1 2 x 1 ,,
x0 ,求 lif m (x ). x0 x 0
解 x0是函数的 ,两分 个段 单点 侧极限
lim f(x )li(m 1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x)li(m x21 ) 1,
思考题

极限四则运算法则

极限四则运算法则

极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。

定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。

证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},mi n {21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。

其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。

证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。

推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。

定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。

(完整版)极限四则运算法则

(完整版)极限四则运算法则

极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。

定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。

证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。

其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。

证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。

推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。

极限的计算方法总结

极限的计算方法总结

极限的计算方法总结极限的计算方法总结“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。

首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的.处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。

极限运算法则

极限运算法则
极限运算法则 定理1 设 lim f (x) = A, lim g(x) = B, 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1

求极限的方法总结

求极限的方法总结
例1. lim(
x →1
2 1 ) − 2 x −1 x −1
例2. lim
x →1
3x + 1 − 2 x −1
二、利用两个重要极限求极限 利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换， 利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换， 将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展 形式， 形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则 求极限。 求极限。 (1)
sin x lim =1 x→0 x
(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
2 x
1 − cos x 例3.lim x →0 3 x2 x+2 x ) 例5. lim( x →∞ x − 1
例4.lim(1 − 3sin x )
x →0
三、利用函数的连续性求极限 四、利用导数的定义求极限 五、利用无穷小的性质求极限 六、利用等价无穷小代换求极限 七、利用导数的定义求极限
一、利用极限四则运算法则求极限 四则运算法则指：如果两个函数都有极限， 四则运算法则指：如果两个函数都有极限，那么这 两个函数的和、 两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别 等于这两个函数的极限的和、 等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除 数的函数的极限不能为零）。法则本身很简单， ）。法则本身很简单 数的函数的极限不能为零）。法则本身很简单，但 有些函数求极限往往不能直接利用法则， 有些函数求极限往往不能直接利用法则，需要先对 Байду номын сангаас数做某些变形或化简， 函数做某些变形或化简，常用的变形或化简方法主 要有分式的分子或分母分解因式、 要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通 分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。 分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。

极限的运算法则

极限的运算法则

( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等 于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明） 答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解 原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析 解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都 趋于 无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x
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极限的运算法则总结
在数学中，极限是一种重要的概念，用来描述函数在某一点趋近于某个值的行为。

极限的运算法则是一组规则，用于计算或简化满足特定条件的极限。

这些法则将在以下几个方面进行总结和讨论。

1. 四则运算法则：根据四则运算法则，如果两个函数的极限都存在，那么它们
的和、差、乘积以及商的极限也存在，并且等于相应运算的极限结果。

2. 乘法法则：该法则说明了两个函数极限的乘积是等于各自极限的乘积。

根据
这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，则 f(x) * g(x) 的极限
为 A * B。

3. 除法法则：该法则说明了两个函数极限的商等于各自极限的商。

按照这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 的极限为 B，并且 B 不等于 0，则 f(x) /
g(x) 的极限为 A / B。

4. 幂函数法则：幂函数法则用于处理具有指数的函数。

根据这个法则，如果函
数 f(x) 的极限为 A，则 f(x)^n 的极限等于 A^n，其中 n 是一个常数。

5. 复合函数法则：复合函数法则适用于复合函数的极限计算，也称为链式法则。

根据这个法则，如果函数 f(x) 的极限为 A，函数 g(x) 在 A 的附近连续，则复合函
数 g(f(x)) 的极限等于 g(A)。

这些极限运算法则在求解极限问题时起到了重要的作用。

通过应用这些法则，
我们可以更简单地计算极限，并获得更准确的结果。

然而，在实际应用中，我们仍需注意特殊情况和条件，以确保运算正确性。