极限的四则运算(二)

极限的四则运算(二)教学目的：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限. 教学难点：数列极限法则的运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限.记作lim n n a a →∞=．2.几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn 3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x a →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→6. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 7. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ,B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,nx x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用二、讲解新课：1. 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(l i mB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(l i m ≠=∞→B B Ab a nn n 2.推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim三、讲解范例：例1 已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→解：因为,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，所以 lim(34)lim 3lim 43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞-=-=-=-=例2 求下列极限：（1）)45(lim n n +∞→；（2）2)11(lim -∞→n n解：（1）44lim(5)lim 5lim 505n n n n n →∞→∞→∞+=+=+=；（2）22211lim(1)(lim lim1)(01)1n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=例3求下列极限：(1))21(lim 2n n n +∞→. (2)n n n 23lim -∞→. (3)232lim 22++∞→n n n n . (4)24323lim nn n n n -+∞→. 解：(1)0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n .(2) (方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n n .(方法二)∵n →∞，∴n ≠0.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim 23lim ==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是3n 2+2，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.(3)320302lim 3lim 1lim 2lim )3(lim )12(lim 312lim 232lim 22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n n n n . 规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.解：(4)分子、分母同除n 的最高次幂即n 4，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n nn n n n n n n n n n n n . 规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0. 例4求下列极限.(1))13(lim 2n n n n -+-∞→. (2)21323lim -++-∞→n n n . (3)1513lim ++-∞→n n n . 解：(1)11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n n n . (2)30103211323lim 21323lim=-+=-++-=-++-∞→∞→nnn nn n n n .(3)00100lim1lim 5lim13lim 1513lim 1513lim22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n n n n n .说明：当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在 四、课堂练习：1．已知,2lim =∞→n n a 31lim -=∞→n n b ，求下列极限： （1）)32(lim n n n b a +∞→；（2）nnn n a b a -∞→lim2.求下列极限：（1）)14(lim nn -∞→；（2）nn 352lim+-∞→3.求下列极限：（1）nn n 1lim +∞→；（2） 23lim -∞→n n n ；（3）2123lim n n n --∞→；（4）1325lim 22--∞→n n n n4.已知,3lim =∞→n n a ,5lim =∞→n n b 求下列极限：（1）. ).43(lim n n n b a -∞→ （2）. nn nn n b a b a +-∞→lim答案：1.⑴3 ⑵7/6 2⑴4 ⑵-2/5 3.⑴ 1 ⑵1/3 ⑶0 ⑷-2/3 4. ⑴-11 ⑵ -1/4五、小结 ：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的和或积是成立的 求数列极限的一种主要的方法就是分子、分母同除以n 的最高次幂.并且记住两条规律.这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了. 六、课后作业：求下列极限:1.（1） );27(lim n n -∞→（2）. )51(lim 2-∞→n n ；（3）)43(1lim +∞→n n n ；(4).1111lim -+∞→nn n ； (5). 22321lim n n n ++++∞→ ；(6).11657lim -+∞→n nn ；(7). 91lim 2-+∞→n n n ； （8）)1412lim(22n n nn +-+∞→； （9）nnn 31913112141211lim ++++++++∞→ ；（10）.已知,2lim =∞→n n a 求n n n a n a n -+∞→lim答案：⑴7 ⑵-5 ⑶0 ⑷-1 ⑸1/4 ⑹5/6 ⑺0 ⑻-4 ⑼4/3 ⑽1. 七、板书设计（略） 八、课后记：。

1.3.1极限(de)四则运算一、极限运算法则定理1lim (),lim (),f x A g x B ==设则(1)lim[()()];f x g x A B ±=±(2)lim[()()];f x g x A B ⋅=⋅()(3)lim,0()f x AB g x B=≠其中 推论 1 ).(lim )](lim [,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数而存在如果即：常数因子可以提到极限记号外面.推论2.)]([lim )](lim [,,)(lim n n x f x f n x f =则是正整数而存在如果定理2 （复合函数(de)极限）. )(lim ))((lim , )(lim , )( ),(U ˆ, )(lim , )( )( ))(( 000a u f x f a u f u x x u x x u u f y x f y u u x x u u x x ===≠====→→→→ϕϕδϕϕϕ则又有内去心邻域且在若复合而成及是由设二、求极限方法举例常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.（一）多项式与分式函数代入法求极限则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=-n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(0x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q例1 ).53(lim 22+-→x x x 求解：)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+⋅-=.3=例2 求.35123lim 2232+-++-→x x x x x x 解：35123lim 2232+-++-→x x x x x x 3163252122223223-=+⋅-++⋅-⋅=nn n a x a x a +++=- 1100例3 求)14135115131(lim 2-++++∞→n n 解：=-+=-)12)(12(1141 2n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--12112121n n)12)(12(175153131114135115131 2+-+⋅+⋅+⋅=-++++∴n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211217151513131121n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-=121121n . 21121121lim )14135115131(lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++++∞→∞→n n n n 例4 ).21(lim 222nnn n n +++∞→ 求 解：当．是无限多个无穷小之和时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2)1(21lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= (二))0(型消去零因子法求极限消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法 （1）因式分解例1 .321lim 221-+-→x x x x 求 )0(型 解：.,,1分母的极限都是零分子时→x .)1(后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x)1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .21= 练习：求hx h x h 330)(lim -+→解：原式=hx x h x h x x h x h ])())[((lim220++++-+→])()[(lim 220x x h x h x h ++++=→23x = （2）有理化法,将分子或分母有理化,约去极限为零(de)因式. 例2 . 22325lim2--+→x x x 求 解： . , 0)22(lim 2故不能直接用公式计算由于=-→x x )22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22+-+++++-+=--+→→x x x x x x x x x x )42)(325()22)(42(lim2-+++-=→x x x x x . 32)325(lim )22(lim 32522lim 222=+++=+++=→→→x x x x x x x 练习：求xx x x --+→11lim⎪⎭⎫ ⎝⎛00解：原式=)1()1()11(limx x x x x x --+--+→x x x x x 2)11(lim 0-++=→2)11(lim 0x x x -++=→=1 （3）变量替换法 例5. 11lim 31--→x x x ⎪⎭⎫⎝⎛00 解：令11,66→→==t x x t t x ，时且则 原式=11lim 231--→t t t )1)(1()1)(1(lim 21+-++-=→t t t t t t )1()1(lim 21+++=→t t t t 23= (三) )(型∞∞无穷小因子分出法 为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 0110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当无穷小因子分出法:以分母中自变量(de)最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例1 .147532lim 2323-+++∞→x x x x x 求 解：.,,分母的极限都是无穷大分子时∞→x .,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 332323147532lim 147532lim x xx x x x x x x x -+++=-+++∞→∞→.72= 练习：求下列极限12423lim 133-++∞→x x x x 、23= 1242lim 254-++∞→x x x x 、=0 1213lim 334-++∞→x x x x 、∞= （四）利用无穷小运算性质求极限 1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小 例1 求xxx sin lim∞→.解：,1,为无穷小时当xx ∞→.sin 是有界函数而x .0sin lim=∴∞→x xx 2、利用无穷小与无穷大(de)关系（倒数关系） 例2 .3214lim21-+-→x x x x 求 解)32(lim 21-+→x x x ,0=商(de)法则不能用 )14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== xxy sin =由无穷小与无穷大(de)关系,得 .3214lim 21∞=-+-→x x x x （五）)(型∞-∞两个无穷大量相减(de)问题,我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.也就是说,要将型型或转化为型∞∞∞-∞00)(.具体有通分法、分子有理化.例1 求)1311(lim 31---→x x x 解：原式=131lim321--++→x x x x )1)(1()2)(1(lim 21++-+-=→x x x x x x 1)1()2(lim 21=+++=→x x x x 例2 ))3((lim x x x x -+∞→解：原式=[]xx x x x x x ++-+∞→)3()3(lim2xx x x x ++=∞→)3(3lim1)31(3lim++=∞→xx 23=练习： . )2( 1lim x x x x -+++∞→求解： )2( 1limx x x x -+++∞→xx x x x x x x ++++-++=+∞→2)2)(2( 1limx x x x +++=+∞→212lim. 11111112lim=+-+++=+∞→x x x（六）利用左右极限与极限(de)关系例1设, 0,0,1)(⎩⎨⎧≤+>+=x b x x e x f x 问 b 取何值时, )(lim 0x f x →存在, 并求其值.. 解 =+→)(lim 0x f x 2)1(lim 0=++→x x e =-→)(lim 0x f x b b x x =+-→)(lim 0\ 由函数(de)极限与其左、右极限(de)关系, 得b = 2 , . 2)(lim 0=→x f x练习：).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解：两个单侧极限为是函数的分段点,0=x )1(lim )(lim 00x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等,.1)(lim 0=→x f x 故（七）复合函数求极限方法 例1.lim sin 0x x e →求解：0sin , 0 →=→x u x 时因为 所以,由复合函数求极限法则 , 1lim 0=→u u e . 1lim sin 0=→x x e注：这类复合函数(de)极限通常可写成 . 1lim 0sin lim sin 0===→→e ee xx x x例2 .lim cos x x x π→求 解：x x x x x e x ln cos cos lim lim ππ→→= . 1ln ln cos lim πππ===-→e exx x1.3.2两个重要(de)极限:1sin lim0使用时须注意对=→x x x 型；类型是00)1( 推广形式)2(1)()(sin lim )x (0=→∞→x x x x ϕϕ或0)(lim )x (0=→∞→x x x ϕ或其中单位是弧度。

极限的运算一 极限的四则运算法则定理：若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有 （１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ） 注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。

另外，法则(2)还有三个推论。

推论：（１）()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数)（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =，（n 为正整数） （３）()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→。

例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x xx x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。

极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。

极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。

下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。

1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。