2016-2017年福建省厦门一中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年福建省泉州市永春一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为（）A．B．C．D．2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b23．（5分）已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48 D．634．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．35．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C=（）依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABCA．B．C．D．26．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形8．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）9．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和是S n，若[log2a n]是公差为﹣1的等差数列，且，那么a1的值是（）A．B．C．D．10．（5分）设实数x，y满足，则y﹣4|x|的取值范围是（）A．[﹣8，﹣6]B．[﹣8，4]C．[﹣8，0]D．[﹣6，0]11．（5分）一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为（）A．B．C．D．312．（5分）已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A．B．2（﹣1） C．2﹣1 D．2（+1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）在等比数列{a n}中，a1a4a7=8，则a4=．14．（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为．15．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，且a1，S2，S4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？19．（12分）设数列{a n}满足：a1+++…+=2n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=a n，数列{a n b n}的前n项和为S n，求S n．20．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．21．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n和为S n，若对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．22．（10分）已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省泉州市永春一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：因式分解得：（x+1）（2x﹣3）＞0，∴不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为{}，故选：A．2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48 D．63【解答】解：∵a1+a2=3，a3+a4=12，∴（a1+a2）q2=a3+a4，即q2=4，则a5+a6=（a3+a4）q2=12×4=48，故选：C．4．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【解答】解：∵x＞1，∴=．当且仅当，即x=2时取等号故选：D．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C=（）依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABCA．B．C．D．2【解答】解：∵A、B、C依次成等差数列∴B=60°∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB得：c=2=∴由正弦定理得：S△ABC故选：C．6．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形【解答】解：已知等式利用正弦定理，化简得：ba2cosA=ab2cosB，整理得：acosA=bcosB，即sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：C．8．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（）A．（13，+∞）B．（5，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）【解答】解：存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2﹣2x+5）min．令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5∴m＞5故选：B．9．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和是S n，若[log2a n]是公差为﹣1的等差数列，且，那么a1的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵{log2a n}是公差为﹣1的等差数列∴log 2a n=log2a1﹣n+1∴∴∴故选：A．10．（5分）设实数x，y满足，则y﹣4|x|的取值范围是（）A．[﹣8，﹣6]B．[﹣8，4]C．[﹣8，0]D．[﹣6，0]【解答】解：满足不等式组的可行域如下图所示：由题意可知A的坐标由，A（2，2），此时y﹣4|x|=﹣6；B的坐标由得B（﹣4，8）．y﹣4|x|=﹣8，O（0，0）此时y﹣4|x|=0，D（0，4），此时y﹣4|x|=4，y﹣4|x|的取值范围是[﹣8，4]．故选：B．11．（5分）一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为（）A．B．C．D．3【解答】解：将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，则设长方体的三度：x、y、z，所以x2+y2+z2=4，x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=3，可解得a2+b2=5∵ab≤（a2+b2）=，当且仅当a=b时取等号，则ab的最大值为．故选：C．12．（5分）已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A．B．2（﹣1） C．2﹣1 D．2（+1）【解答】解：直接通分相加得==1﹣=1﹣因为a，b都是负实数，所以，都为正实数那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值最小值为为2分母有最小值，即有最大值那么1﹣可得最小值最小值：2﹣2故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）在等比数列{a n}中，a1a4a7=8，则a4=2．【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：∵a1a4a7=8，则=8，解得a4=2．故答案为：2．14．（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：作出不等式组对应的平面区域如图：则的几何意义为动点P（x，y）到原点距离，z的最大值，由图象可知当P位于点A时，距离最大，由，解得A（3，1），此时z max==．故答案为：．15．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为．【解答】解：∵tanA=，cosB=可得sinA=，cosA=，sinB=∴sinC=sin（180﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=注意到A、B均小于45度所以C应是钝角即C=135°所以最长边为c再由正弦定理代入就得到最短边为b=故答案为：16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴b n=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，+1∵数列{b n}是单调递增数列，∴b n＞b n，+1∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．n=1时，b 2=（1﹣λ）×2＞﹣λ=b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，且a1，S2，S4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．）由a1，S2，S4成等比数列得S22=a1S4．化简得（2a1+d）2=a1（4a1+6d），又d=2，解得a1=1，故数列{a n}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）得b n==﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．18．（12分）某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【解答】解：依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：，画出的平面区域如图．设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y，∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得即B（24，4），∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即z max=2×24+4=52答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．19．（12分）设数列{a n}满足：a1+++…+=2n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=a n，数列{a n b n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足：a1+++…+=2n，n∈N*．∴当n=1时，a1=2；n≥2时，a1+++…+=2（n﹣1）．可得=2，∴a n=2n．当n=1时也成立，∴a n=2n．（2）b n=a n=2n，∴a n b n=n•2n+1，∴数列{a n b n}的前n项和为S n=22+2×23+3×24+…+n•2n+1，∴2S n=23+2×24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，∴﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2=（1﹣n）•2n+2﹣4，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4．20．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．【解答】解：（1）∵，，由已知得：（1﹣cos（A+B））+=，即（1﹣cos（A+B））+=，4cos（A﹣B）=5cos（A+B），∴9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=．（2）==tanC=﹣tan（A+B）=﹣•=﹣（tanA+tanB）≤﹣•2=﹣，（当且仅当A=B 时等号成立），故的最大值为﹣．21．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n和为S n，若对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q（q＞0）．由题意，得，解得d=q=3．…（3分）∴a n=3n﹣2，．…（7分）（Ⅱ）．…（9分）∴S n=c1+c2+…+c n=2（31+32+…+3n）﹣2n=3n+1﹣2n﹣3．…（11分）∴．…（12分）∴3n+1＞3n﹣2+t恒成立，即t＜（3n﹣3n+3）min．令f（n）=3n﹣3n+3，则f（n+1）﹣f（n）=2•3n﹣3＞0，所以f（n）单调递增．故t＜f（1）=3，即常数t的取值范围是（﹣∞，3）．…（14分）22．（10分）已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵正实数a，b满足a+b=2．∴=（）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当=即a=b=1时取等号，∴的最小值m=2；（2）由不等式的性质可得f（x）=|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2当且仅当t=±1等号时成立，此时﹣1≤x≤1，∴存在x∈[﹣1，1]使f（x）=m成立．。

2015-2016学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣12．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（5分）历届现代奥运会召开时间表如下，则n的值为（）A．28 B．29 C．30 D．315．（5分）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．127．（5分）某种产品平均每三年降低价格25%，目前售价为640元，则9年后此产品的价格为（）A．210 B．240 C．270 D．3608．（5分）已知，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n9．（5分）符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）A．a=1，b=，A=30°B．a=1，b=2，c=3C．b=c=1，B=45°D．a=1，b=2，A=100°10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A．2 B．3 C．D．11．（5分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）12．（5分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2﹣bc﹣2c2=0，，，则b=（）A．2 B．4 C．3 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．（4分）已知{a n}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）若对x＞0，y＞0有恒成立，m的取值范围是．16．（4分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（12分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．18．（12分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．19．（12分）已知等差数列{a n}的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n}中依次取出第2项，4 项，8项，…，第2n项，按原来顺序排成一个新数列{b n}，（1）分别求出数列{a n}、{b n}的通项公式，（2）求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB ﹣bcosA=0（1）求A；（2）当a=，b=2时，求△ABC的面积．21．（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？22．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式．2015-2016学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣1【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选：C．2．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0，对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a＜0二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R，所以△＜0．故选：D．3．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（5分）历届现代奥运会召开时间表如下，则n的值为（）A．28 B．29 C．30 D．31【解答】解：由表格可知，年份构成首项为1896、公差为4的等差数列，则2016=1896+4（n﹣1），解得n=31，所以n的值是31，故选：D．5．（5分）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，故选：A．6．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选：B．7．（5分）某种产品平均每三年降低价格25%，目前售价为640元，则9年后此产品的价格为（）A．210 B．240 C．270 D．360【解答】解：∵产品平均每三年降低价格25%，故9年后此产品共降价3次，又∵目前售价为640元，∴9年后此产品的价格为640×（1﹣25%）3=270元故选：C．8．（5分）已知，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n【解答】解：a＞2时，，等号当且仅当，即a﹣2=1，a=3时等号成立x＜0时，有x2﹣2＞﹣2，可得由上知，m＞n故选：A．9．（5分）符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）A．a=1，b=，A=30°B．a=1，b=2，c=3C．b=c=1，B=45°D．a=1，b=2，A=100°【解答】解：对于A、a=1，b=，A=30°三角形中B可以是45°，135°，组成两个三角形．对于B、a=1，b=2，c=3组不成三角形．对于D、a=1，b=2，A=100°组不成三角形．对于C、b=c=1，B=45°显然只有一个三角形．故选：C．10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意可得，解得，故a2=a1+d=，a3=a1+2d=，故公比等于==3，故选：B．11．（5分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）【解答】解：因为，所以，化简得；x2+3x＜4即x2+3x﹣4＜0即（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，故选：A．12．（5分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2﹣bc﹣2c2=0，，，则b=（）A．2 B．4 C．3 D．5【解答】解：由b2﹣bc﹣2c2=0因式分解得：（b﹣2c）（b+c）=0，解得：b=2c，b=﹣c（舍去），又根据余弦定理得：cosA===，化简得：4b2+4c2﹣24=7bc，将c=代入得：4b2+b2﹣24=b2，即b2=16，解得：b=4或b=﹣4（舍去），则b=4．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．（4分）已知{a n}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=24．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a5+a8+a11=48，得（a2+a11）+（a5+a8）=48，即2（a6+a7）=48，∴a6+a7=24．故答案为：24．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）若对x＞0，y＞0有恒成立，m的取值范围是（﹣∞，8] ．【解答】解：要使恒成立，只要使的最小值≥m即可，∵=2+2++≥4+2=8∴8≥m故答案为（﹣∞，8]16．（4分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（12分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．【解答】解：∵S=absinC，∴sinC=，（4分）于是∠C=60°，或∠C=120°，（6分）又c2=a2+b2﹣2abcosC（8分）当∠C=60°时，c2=a2+b2﹣ab，c=（10分）当∠C=120°时，c2=a2+b2+ab，c=．（12分）18．（12分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．19．（12分）已知等差数列{a n}的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n}中依次取出第2项，4 项，8项，…，第2n项，按原来顺序排成一个新数列{b n}，（1）分别求出数列{a n}、{b n}的通项公式，（2）求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：设等差数列的首项a1，公差d（1）∵∴解得a1=5，d=3∴a n=3n+2，∴b n=3×2n+2（2）T n=3×2+2+3×22+2+…+3×2n+2=3（2+22+23+…+2n）+2n=3×2n+1+2n﹣620．（12分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB ﹣bcosA=0（1）求A；（2）当a=，b=2时，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为，由正弦定理，得，又sinB≠0，从而，由于0＜A＜π，所以．（2）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，而，，得7=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3=0因为c＞0，所以c=3，故△ABC面积为．21．（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解答】解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18=7，当即时，z取最大值7万元答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．22．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（1）∵S n=2﹣a n，∴当n=1时，S1=2﹣a1，∴a1=1，当n≥2时，S n=2﹣a n﹣1，﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=（2﹣a n）﹣（2﹣a n﹣1），得，∴数列{a n}是以a1=1为首项，为公比的等比数列，∴数列{a n}的通项公式是．=b n+a n，且，（2）由b n+1∴b n﹣b n=（）n﹣1，+1则，，，…，b n﹣b n=（）n﹣2，﹣1以上n个等式叠加得：==2[1﹣（）n﹣1]=2﹣，∵b1=1，∴．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.）1．设复数z满足z（1+i）=4，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．若椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．23．已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＜ab＜ab2B．ab＜a＜ab2C．ab＜ab2＜a D．ab2＜a＜ab4．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．35．设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为﹣2 D．最大值为﹣26．若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）A．3 B．4 C．D．7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+288．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（）A．甲丙丁戊乙B．甲丁丙乙戊C．甲乙丙丁戊D．甲丙戊乙丁9．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．010．函数y=x2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．11．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1 B．y=f（x）•e x+1 C．y=f（x）•e x﹣1 D．y=f（﹣x）•e x+112．已知F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于．14．若关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是．15．观察以下三个不等式：①（12+22+32）（32+42+52）≥（1×3+2×4+3×5）2；②（72+92+102）（62+82+112）≥（7×6+9×8+10×11）2；③≥（20×99+30×90+2017×2016）2；若2x+y+z=﹣7，x，y，z∈R时，则（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为．16．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里．三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．18．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f （）＜6的解集；（2）若k ＞0且直线y=kx +5k 与函数f （x ）的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围．19．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．（Ⅰ）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55，65）的概率． 参考数据如下： 附临界值表：K 2的观测值：k=（其中n=a +b +c +d ）20．已知函数f （x ）=x （x +a ）﹣lnx ，其中a 为常数． （1）当a=﹣1时，求f （x ）的极值； （2）若f （x ）是区间内的单调函数，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．22．已知函数f（x）=e x﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求证：e x﹣1≥x；（3）求证：当a≥﹣2时，∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.）1．设复数z 满足z （1+i ）=4，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．2B ．﹣2C ．2iD ．﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a +bi （a ，b ∈R ）的形式，则答案可求．【解答】解：由z （1+i ）=4，得z====2﹣2i ，则复数z 的虚部是﹣2， 故选：B 2．若椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．±1D ．2【考点】KF ：圆锥曲线的共同特征．【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到m ，b 的值，然后根据椭圆的定义得到a ，最后利用a ，b ，c 的关系即可求出b 的值，得到椭圆及双曲线的方程．【解答】解：由题意可知椭圆的半焦距c 的平方为：c 2=4﹣a 2 双曲线的半焦距c 的平方为：c 2=a +2； ∴4﹣a 2=a +2，解得：a=1．（负值舍去）故选A．3．已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＜ab＜ab2B．ab＜a＜ab2C．ab＜ab2＜a D．ab2＜a＜ab【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据a，b的范围以及不等式的性质，判断即可．【解答】解：由a＞0，b＜0知，ab＜0，ab2＞0，又由﹣1＜b＜0知0＜b2＜1，所以ab2＜a，故选：C．4．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．3【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m 的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．5．设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为﹣2 D．最大值为﹣2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由题，结合绝对值的几何意义可知当x对应的点位于﹣b及对应点之间（含端点）时f（x）最小，进而利用基本不等式可得结论．【解答】解：由题意可知b＞0，由绝对值的几何意义可知f（x）表示数轴上x对应的点与﹣b及对应点的距离之和，显然f（x）无最大值，但有最小值，即当x对应的点位于﹣b及对应点之间（含端点）时，f（x）最小，此时f（x）min=+b≥2=2，当且仅当b=1时取等号，故选：A．6．若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）A．3 B．4 C．D．【考点】7F：基本不等式．【分析】正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，利用基本不等式的性质可得x+2y+（）2﹣8≥0，设x+2y=t＞0，即可求出x+2y的最小值．【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，∴x+2y+（）2﹣8≥0，设x+2y=t＞0，∴t+t2﹣8≥0，∴t2+4t﹣32≥0，即（t+8）（t﹣4）≥0，∴t≥4，故x+2y的最小值为4，故选：B．7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．8．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（）A．甲丙丁戊乙B．甲丁丙乙戊C．甲乙丙丁戊D．甲丙戊乙丁【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这道题实际上是一个逻辑游戏，首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊5个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且4个备选答案都是从甲开始的，因此，我们从甲开始推理．【解答】解：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B，C不成立，乙不能和甲交流，A错误，因此，D正确．9．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】EF：程序框图．【分析】利用循环结构，直到条件满足退出，即可得到结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=4，y=1，不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0；不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1；不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣2，y=﹣2；满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣2．故选：B．10．函数y=x2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由函数y=x2﹣ln|x知x≠0，排除B、C，根据函数最值即可得到答案【解答】解：由函数y=x2﹣ln|x知x≠0，排除B、C．当x＞0时，y=x2﹣lnx，，知当时，函数y=x2﹣lnx取得极小值，故选A．11．若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1 B．y=f（x）•e x+1 C．y=f（x）•e x﹣1 D．y=f（﹣x）•e x+1【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据题意，x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则有f（x0）=，结合函数的奇偶性依次分析选项，验证﹣x0是不是其零点，即可得答案．【解答】解：根据题意，x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则有f（x0）=，依次分析选项：对于A、y=f（﹣x）•e﹣x﹣1，将x=﹣x0代入可得：y=f（x0）﹣1≠0，不符合题意；对于B、y=f（x）•e x+1，将x=﹣x0代入可得：y=f（﹣x0）+1=﹣•+1=0，即﹣x0一定是其零点，符合题意，对于C、y=f（x）•e x﹣1，将x=﹣x0代入可得：y=f（﹣x0）﹣1=﹣•﹣1≠0，不符合题意；对于D、y=f（﹣x）•e x+1，将x=﹣x0代入可得：y=f（x0）+1=•+1≠0，不符合题意；故选：B．12．已知F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得AB为直线l的垂直平分线，运用中点坐标公式和垂直的条件，可得l的方程，令y=0，可得左焦点坐标，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，解方程可得离心率．【解答】解：点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，可得AB为直线l的垂直平分线，AB的中点为（，），AB的斜率为﹣，可得直线l的方程为y﹣=（x﹣），令y=0，可得x=a﹣，由题意可得﹣c=a﹣，即有a（a+2c）=b2=c2﹣a2，由e=，可得e2﹣2e﹣2=0，解得e=1+（1﹣舍去），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===﹣i，∴=i，则||=1．故答案为：1．14．若关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是[45，80）．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式5x2﹣a≤0的正整数解，得出a＞0，﹣≤x≤，解此不等式，求出a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴a＞0，解不等式得x2≤，∴﹣≤x≤，∴3≤＜4，∴9≤＜16，即45≤a＜80，∴实数a的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．15．观察以下三个不等式：①（12+22+32）（32+42+52）≥（1×3+2×4+3×5）2；②（72+92+102）（62+82+112）≥（7×6+9×8+10×11）2；③≥（20×99+30×90+2017×2016）2；若2x+y+z=﹣7，x，y，z∈R时，则（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为．【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意，[（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2]（22+12+12）≥（2x+2+y+2+z+1）2，2x+y+z=﹣7，即可得出结论．【解答】解：由题意，[（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2]（22+12+12）≥（2x+2+y+2+z+1）2，2x+y+z=﹣7，∴（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2≥，∴（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为，故答案为．16．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠900公里．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可．【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）30×（12+18）=900公里．故答案为900．三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．18．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f（）＜6的解集；（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f（）＜6；（Ⅱ）作出函数的图象，结合图象求解．【解答】解：（1）x≤0，不等式可化为﹣x﹣x+3＜6，∴x＞﹣3，∴﹣3＜x≤0；0＜x＜6，不等式可化为x﹣x+3＜6，成立；x ≥6，不等式可化为x +x ﹣3＜6，∴x ＜9， ∴6≤x ＜9；综上所述，不等式的解集为{x |﹣3＜x ＜9}； （2）f （x ）=|x |+|x ﹣3|． 由题意作图如下，k ＞0且直线y=kx +5k 与函数f （x ）的图象可以围成一个三角形， 由直线过（0，3）可得k=，由直线过（3，3）可得k=， ∴．19．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．（Ⅰ）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55，65）的概率．参考数据如下：附临界值表：K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据条件得2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：根据条件得2×2列联表：…根据列联表所给的数据代入公式得到：…所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；…（Ⅱ）解：按照分层抽样方法可知：[55，65）抽取：（人）；[25，35）抽取：（人）…在上述抽取的6人中，年龄在[55，65）有2人，年龄[25，35）有4人．年龄在[55，65）记为（A，B）；年龄在[25，35）记为（a，b，c，d），则从6人中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）（a，b，d）（a，c，d）（b，c，d）共20种情况，…其中至少有一人年龄在[55，65）岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…记至少有一人年龄在[55，65）岁为事件A，则…∴至少有一人年龄在[55，65）岁之间的概率为．…20．已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，得到或f′（1）≤0，解出即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，所以f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或f′（1）≤0解得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）运用椭圆的定义，可得4a=8，解得a=2，再由椭圆的对称性可得a=2c，求得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l的斜率不存在，求得方程和AB，MN的长，即可得到所求值；讨论直线l的斜率存在，设为y=k（x﹣1），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，设MN的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得MN的长，即可得到所求定值．【解答】解：（1）由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，又△ABF1的周长为8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，由椭圆的对称性可得，△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a=2c，即c=1，b2=a2﹣c2=3，则椭圆C的方程为+=1；（2）证明：若直线l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），代入椭圆方程+=1，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，有x1+x2=，x1x2=，|AB|=•=，由y=kx代入椭圆方程，可得x=±，|MN|=2•=4，即有=4．综上可得为定值4．22．已知函数f（x）=e x﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求证：e x﹣1≥x；（3）求证：当a≥﹣2时，∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f'（x）=e x﹣1+a，分a≥0，a＜0 讨论；（2）令a=﹣1，由（1）得f（x）的增区间是（+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，1），函数f（x）=e x﹣1﹣x的最小值为f（1）=0，即e x﹣1≥x；（3）f（x）+lnx≥a+1恒成立⇔f（x）+lnx﹣a﹣1≥0恒成立．令g（x）=f（x）+lnx﹣a﹣1=e x﹣1+a（x﹣1）+lnx﹣1，则g′（x）=e x﹣1++a．当a≥﹣2时，g′（x）=e x﹣1++a≥x++a≥2=2+a≥0，得g（x）单调递增即可证明．【解答】解：（1）f'（x）=e x﹣1+a，当a≥0时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f'（x）=0，即x=ln（﹣a）+1，f'（x）＞0，得x＞ln（﹣a）+1；f'（x）＜0，得x＜ln（﹣a）+1，所以，当a≥0时．函数f（x）在R上单调递增，当a＜0时，f（x）的增区间是（ln（﹣a）+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，ln（﹣a）+1），（2）证明：令a=﹣1，由（1）得f（x）的增区间是（+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，1），函数f（x）=e x﹣1﹣x的最小值为f（1）=0，∴e x﹣1﹣x≥0即e x﹣1≥x；（3）证明：f（x）+lnx≥a+1恒成立⇔f（x）+lnx﹣a﹣1≥0恒成立．令g（x）=f（x）+lnx﹣a﹣1=e x﹣1+a（x﹣1）+lnx﹣1，则g′（x）=e x﹣1++a．当a≥﹣2时，g′（x）=e x﹣1++a≥x++a≥2=2+a≥0，∴x∈[1，+∞）时，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（1）=0，即当a≥﹣2时，∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．2017年6月12日。

2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0 4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=575．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．3609．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．1011．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．412．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，b n是a n 的等比中项．和a n+1（Ⅰ）设，求证：{c n}是等差数列；（Ⅱ）设，求证：．2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：根据数列的前4项分别是，可得奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的绝对值等于||，故此数列的一个通项公式为，故选：C．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则【解答】解：若a＞b，且c=0，则ac2=bc2，A不正确；若a＞b，c＜d，比如a=1，b=0，c=﹣2，d=﹣1，则＜，则不成立；若a＞b，c＞d，比如a=0，b=﹣3，c=2，d=﹣6，则a﹣c＜b﹣d，a﹣c＞b﹣d不成立；若ab＞0，a＞b，则﹣=＜0，可得＜成立．故选：D．3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0【解答】解：不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，可得a＞0，△≤0；若a＜0，抛物线开口向下，函数值不可能小于0，故选：C．4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=57【解答】解：数列列{a n}是等差数列，则：当m+n=p+q时，则：a m+a n=a p+a q．由于等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则：a1+a101=a2+a100=a3+a99=0．故选：C．5．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选：D．6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形【解答】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，∴cosA＞0，∴能组成锐角三角形．故选：B．7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+【解答】解：基本不等式的应用要把握三条：一正，二定，三相等，缺一不可．故选项A，x≠0不能满足一正；选项C，y=x+（x＞0）≥=4；选项D，当时取等号，此时x2=﹣1，矛盾；故只由选项B正确．故选：B．8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．360【解答】解：由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，∴=S3•（S9﹣S6），∴（60﹣12）2=12×（S9﹣60），解得S9=252．故选：C．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选：B．10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故选：D．11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，8），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．∴．则+=（）（）=．当且仅当a=b=时上式等号成立．故选：A．12．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580【解答】解：设各行的首项组成数列{a n}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）叠加可得：a n﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，∴a n=+1∴a20=+1=571∴数阵中第20行从左至右的第3个数是577．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1），联立，解得C（2，1），又A（0，﹣1），∴|AB|=4，则．故答案为：2．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=1．【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•（）=2=2，当n=3或4时，M n的最大值=2=64．故答案是：64．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=n2+5n+6．【解答】解：由已知中的图形我们可以得到：当n=1时，边共有12=3×4（条），n=2时，边共有20=4×5（条），n=3时，边共有30=5×6（条），n=4时，边共有42=6×7（条），…由此我们可以推断：第n个图形共有边（n+2）（n+3）=n2+5n+6条，故答案为：n2+5n+6．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=﹣，解得：a=﹣2；（2）将a=﹣2代入不等式得：＞3，即﹣3＞0，整理得：＞0，即（x+1）（x+2）＜0，可得或，解得：﹣2＜x＜﹣1，则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．【解答】解：（1）∵A为锐角，，且sin（A）=，∴=，…（4分）∴=．（2），bc=60，b=10，∴c=6…（6分），sinA=，cosA=…（8分）由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，，∴=64，∴a=8…（12分）19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，=b n﹣1+b n，∴a n﹣1∴a n﹣a n=b n+1﹣b n﹣1．﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．【解答】解：（1）因为，所以∠ABC为钝角，且，，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD=，在△ABC中，可得=，可得AC==8；（2）因为AB∥CD，所以∠BCD=180°﹣∠ABC，可得cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，在△BCD中，，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【解答】解：（1）如图，a 1=2，a2=4，∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．即从第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）知，a n=2n﹣1．则b n===（﹣），所以T n=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；﹣T n=﹣=＞0，（3）T n+1∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=．∵T n=＜，∴≤T n＜＜T n＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜∴≤m＜∵m是自然数，∴m=2．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为[﹣1，1]∪[5，+∞）．【解答】解：∵二次函数f （x ）≥0的解的区间是[﹣1，5]，∴f （x ）=0的根分别是﹣1，5，且二次项的系数＜0．∴不等式（1﹣x ）•f （x ）≥0⇔（x ﹣1）（x +1）（x ﹣5）≥0， 如图所示：上述不等式解集为[﹣1，1]∪[5，+∞）． 故答案为[﹣1，1]∪[5，+∞）．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N*，b n 是a n 和a n +1的等比中项． （Ⅰ）设，求证：{c n }是等差数列；（Ⅱ）设，求证：． 【解答】证明：（I ）∵b n 是a n 和a n +1的等比中项．∴=a n a n +1，∴c n =﹣=a n +1a n +2﹣a n a n +1=2da n +1．∴c n +1﹣c n =2da n +2﹣2da n +1=2d•d=2d 2， ∴{c n }是等差数列，公差为2d 2． （II ）T n =（﹣+）+（﹣）+…+（﹣+）=2d （a 2+a 4+…+a 2n ）=2d ×=2d 2n （n +1）．∴==＜．。