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2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（文科）一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|A x x =是平行四边形，{}|B x x =是矩形，{}|C x x =是正方形，{}|D x x =是菱形，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用。
【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形，矩形是特殊的平行四边形，可知集合C 是最小的，集合A 是最大的，故选答案B 。
2．函数1)y x =≥-的反函数为A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥ C ．21(0)y x x =+≥ D ．21(1)y x x =+≥ 答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解x ，再互换,x y 得到结论，同时也考查了函数值域的求法。
【解析】由2211y x y x y =⇒+=⇒=-，而1x ≥-，故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥，故选答案A 3．若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ= A ．2πB ．23πC ．32πD ．53π答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。
【解析】由[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知，y 轴是函数()f x 图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈，而[]0,2ϕπ∈，故0k =时，32πϕ=，故选答案C 。
4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．2425答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合,,,A B C {}2320A x x x =-+=,{}05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A B C ⊆⊆的集合C 的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】子集的应用.【参考答案】D【试题解析】求{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为 ( )A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65 【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.【参考答案】B【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 3．函数()cos 2f x x x =在区间上[]0,2π的零点的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4 D.5 【测量目标】函数零点求解与判断.【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想.【参考答案】D【试题解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos20=x ；其中，由cos20=x ，得()π22x k k π=+∈Z ，故()ππ24k x k =+∈Z .又因为[]0,2πx ∈，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D. 4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定.【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；【参考答案】B【试题解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域分为两部分，使22{(,)4)}x y x y +得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．0x y += B. 10y -= C. 0x y -= D.340x y +-=【测量目标】考查直线、线性规划与圆的综合运,并学会用数形结合思想.【考查方式】通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.【参考答案】A【试题解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为1-.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.6．已知定义在区间（0,2）上的21π-函数的图象()y f x =如图所示，则(2)y f x =--的图象为 ( )【测量目标】函数的图象的识别.【考查方式】利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解【参考答案】B【试题解析】排除法：当1x =时，()()()21211y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；所以由排除法知选B.7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则{()}n f a 称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下(,0)(0,)-∞+∞函数： ( )①2()f x x =； ②()2x f x =；③()f x =； ④()ln f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的的()f x 序号为A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④ 【测量目标】等比数列的新应用，函数的概念.【考查方式】读懂题意，然后再去利用定义求解，注意数列的通项.【参考答案】C【试题解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C8．设ABC △的内,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >> ，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 ( )A.4:3:2B.5:6:7 C ．5:4:3 D.6:5:4【测量目标】正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.【考查方式】本题需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长,注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.【参考答案】D【试题解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20b A a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得2223202b b c a a bc+-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.9．设,,R a b c ∈,“1abc =”是“a b c a b c ++++ ”的 ( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件 【测量目标】充要条件的判断，不等式的证明.【考查方式】首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件.【参考答案】A【试题解析】1abc =时，abc abc abc ab bc ca a b c a b c++=++=++， 而()()()()2222a b c a b b c c a ab bc ca ++=+++++++（当且仅当a b c ==，且1abc =，即a b c==时等号成立），故ab bc ca a b c a b c++=++++；但当取2a b c ===,显然有a b c a b c ++++,但1abc ≠,即由a b c a b c ++++不可以推得1abc =；综上，1abc =是a b c a b c ++++的充分不必要条件,应选A.10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )A ．112π- B ．1π C ． 21π- D ． 2π【测量目标】古典概型的应用以及观察推理的能力.【考查方式】求解阴影部分的面积，将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.【参考答案】C【试题解析】如下图所示，设OA 的中点为1O ，OB 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12OO FO 是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则212341π2π4OAB S S S S S +++==⨯=扇形, ①而22132311111π,π1π2222S S S S π+=⨯=+=⨯=，即1232πS S S ++=, ② 由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB O FB O AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形 2222221111π1π1π11π11π14422=⨯-⨯-⨯-=⨯-=-. 故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率：3442π221ππOAB OAB S S S P S S +-====-扇形扇形.故选C.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人．【测量目标】分层抽样的应用.【考查方式】分层抽样在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比.【参考答案】6【试题解析】 设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.12．若21k b -3i i 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b += . 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考察方式】通过考查复数相等来判断学生对复数的掌握.【参考答案】3【试题解析】因为3i i 1ib a b +=+-，所以()()()3i i 1i i b a b a b b a +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=. 13已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ；（Ⅱ）向量与3-b a 向量a 夹角的余弦值为 .【测量目标】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积运算等.【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标和向量的数量积来运算求值.【参考答案】（Ⅰ）1010⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）5- 【试题解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得310,1010.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故31010,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,025cos 3551θ--===--⨯b a a b a a .14．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最小值. 【考查方式】给出约束条件，判断可行域，利用可行域求解.【参考答案】2【试题解析】作出不等式组1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩所表示的可行域(如下图的ABM △及其内部）,目标函数23z x y =+在ABM △的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【测量目标】考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.【考查方式】在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法.【参考答案】12π【试题解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是22π212π1412πV =⨯⨯⨯+⨯⨯=.16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .【测量目标】顺序结构框图和判断结构框图的执行求解.【考查方式】对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果.【参考答案】9【试题解析】由程序框图可知：第一次:1,0,1,1,23a s n s s a a a ====+==+=,满足判断条件3?n <;第二次2,4,5n a a ===,满足判断条件3?n <第三次:3,9,7n s a ===,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -________.（用k 表示）【测量目标】数学归纳法.【考查方式】本题考查归纳推理，猜想的能力.【参考答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k - 【试题解析】易知(1)2n n n a +=，写出数列{}n a 的若干项依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，…,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故142510,15b a b a ====.同理，39410514615719820,,,,,b a b a b a b a b a b a ======.从而由上述规律可猜想：()255512k k k k b a +==，()()()21515151155122k k k k k k b a ----+-===（k 为正整数）.故201221006510065030b b a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）第17题10 6 3 1 ···设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωλ=+-+∈R ,的图象关于直线πx =对称，其中,πω为常数，且1(,1)2ω∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 的值域. 【测量目标】三角函数的图象的周期性，值域，诱导公式的应用. 【考查方式】给出函数，利用三角函数的性质求最小值和周期.【试题解析】解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-++π=2sin(2)+6x ωλ-.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2)16x ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-()f x的值域为[22-.19．（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -11B D ⊥，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.2222ABCD A B C D -AB CDCB AD（Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知10AB =，2220,A B =230AA =，113AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？【测量目标】线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.【考查方式】通过线线垂直证明面面垂直，并用公式求体积【试题解析】解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB AD A =，所以2AA 平面ABCD .连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥ 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面.又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D平面ABCD BD =，平面11BB D D平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，.11AC B D ⊥ 又因为2AA AC A =，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=，故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和. 【测量目标】本题考查等差数列的通项，求和等.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-.（Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时， 234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩.21．（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA (M>0,M 1)=≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的，K>0都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由DM m DA (m>0,1)=≠且m ，可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，. 01y y m=① 因为A 点在单位圆上运动，所以2221(0,1)y x m m m +=>≠且 ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为.2221(0,1)y x m m m+=>≠且因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,.（Ⅱ）1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m =故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.22．（本小题满分14分）设函数()(1)nf x ax x b =-+,1+1()ex y f x n =<，，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为.+1x y = （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <. 【测量目标】函数导数的几何意义以及单调性的应用，还考查不等式的证明.【考查方式】通过转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.【试题解析】解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在=1x y +上，可得11b +=，即0b =.因为1'()(1)n n f x anxa n x -=-+，所以'(1)f a =-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)nnn f x x x x x+=-=-，1()(1)()1n nf x n xx n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即'()f x 在(0,)+1n n +(0,)+∞上有唯一零点. 在(0,)+1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增； 而在(+)+1n n ∞，上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()1(1)nn n n f n n +=++. （Ⅲ）令1()ln 1(0)t t t t ϕ'=-+>，则22111()(0)t t t t t tϕ-'=-=>. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>，即1ln 1(1)t t t>->.令11+t n =，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 所以11()1n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，1nx n =+，故所证不等式成立.。
全国课标卷 (文科)高考数学学科分析新课标数学试卷的知识分布与覆盖上保持相对稳定，选择填空题都比较平和，属于中低档题目，解答题数列和立体几何不难，统计数据题运算量稍大，多数学生会耗点时间，导数和圆锥曲线后两问有难度。
总体看今年高考数学试题从试题的结构与难度与整体变化不大，但总体难易有一定的区分度，学生考及格容易得高分难。
试卷有非常明显的特点：重基础、图创新；讲传承、保稳定；顾全面，求综合；重思维、考能力。
一考查目的形式整体保持稳定试题在题型、题量、分值、难度、知识分布与覆盖上保持相对稳定，避免了大起大落，试卷重点考查高中主干模块知识，并加以交汇。
试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。
重视对教材的理解和挖掘，很多试题和教材中的例题习题有相似之处，又不尽相同。
二突出基础知识，注重数学思想方法的考查数学作为基础学科在每年考试中约40%的题目以考查学生的基础知识，基本方法和基本技能的熟练程度为主，通过对试题解答的速度和正确率来区分不同考生，如试题中圆锥曲线的题目不论小题还是解答题运算量都比较小，这有利于考生有一个良好的心态去解决后面的解答题，并充分发挥自己的真实水平。
仍然保持“多考一点想，少考一点算”的特点。
三坚持能力立意，突出能力考查重点以能力立意培养数学的应用意识也是非常重要的，如何将已有的数学知识应用到我们面临的实际问题中，如何利用我们已掌握的数学知识，处理我们面对的实际问题，这都是很重要的，另外，几种重要的数学思想在试卷中都有考查，例如数形结合的思想，函数与方程的思想，分类讨论的思想，转化与化归的思想。
四追求创新仍是改革的热点创新是高考改革的一个永恒的主题，命题以创新型试题为载体，强调了高考对考生的学习方式和学习潜能的关注，力图使得试卷的选拔功能得以全面体现。
总体来看：重基础、图创新；凸应用、先价值，顾全面、求综合；重思维、考能力。
新课标高考数学文科试题对我们今后数学教学和复习的启示为：注重回归课本、扎实基础，降低难度，注重交叉，综合，注重数学背景，注重数学应用，努力提高学生的思维能力。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x |x 2－x －2<0}，B ={x |－1<x <1}则 ( ) A. A ⊂≠B B. B ⊂≠A C..A =B D. A ∩B =∅ 【测量目标】不等式的运算和集合的包含关系.【考查方式】通过解不等式判断集合的包含关系. 【参考答案】B【试题解析】：由题意得，2={|20}{|12}A x x x x x --<=-<<，则B 是A 的真子集.2. 复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 ( )A. 2+iB. 2－iC. －1+iD. －1－i 【测量目标】复数的四则运算及共轭复数的概念. 【考查方式】通过运算直接考查共轭复数. 【参考答案】D【试题解析】由题意得，()()3i 2i 3i 1i 2i 5z -+--+===-++,则1i z =--,故选D 3.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ） A. －1 B . 0 C . 2 D. 1【测量目标】线性回归方程与样本系数的的关系式. 【考查方式】通过给出方程求样本系数. 【参考答案】D【试题解析】：由题意得，根据线性相关性的检验可知，此时数据密切相关，此时数据的样本相关系数为1，故选D.4.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 （ ）A. 12B. 23C. 34 D .45【测量目标】：椭圆的简单几何性质.【考查方式】将椭圆与三角函数知识结合起来考查. 【参考答案】C【试题解析】：由题意得，如图所示12212060F F P MF P ∠=⇒∠=，在直角2MF P △中，2sin60PM PF == ， 又232F M a c =-，且2tan 603322PM F M a c a c==⇒=--所以34c e a ==，故选C . 5. 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是 ( ) A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3) 【测量目标】二元线性规划的最优解.【考查方式】利用线性约束条件通过直线平移求最值. 【参考答案】A【试题解析】由题意得，正三角形ABC 的边长为2，所以顶点C的坐标为()12C ， 当取点三角形ABC 的顶点()1,3B 时目标函数取得最大值，最大值为max 2z =，当取点()12C +时，目标函数有最小值，此时最小值为min 1z =所以目标函数的取值范围为()12，故选A.6.如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （ ） A.A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和 B.2A B+为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 C.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 D.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数 【测量目标】程序框图的算法流程. 【考查方式】直接考查程序框图的算法. 【参考答案】C【试题解析】：由题意得，根据给定的程序框图可知，此程序框图是计算123,,,,N a a a a 的最大值与最小值的算法框图，A 表示计算123,,,,N a a a a 最大值，B 表示计算123,,,,N a a a a 的最小值，故选C.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ） A.6 B.9 C.12 D.18【测量目标】利用三视图求体积.【考查方式】通过观察三视图判断图形. 【参考答案】B【试题解析】由题意得，根据三视图的规则，原几何体表示底面为直角边长为直角三角形，高为3的三棱锥，所以几何体的体积为11139332V Sh ==⨯⨯=，故选B.8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为 ( ) A.6π B.43π C.46π D.63π【测量目标】球体体积的计算方法.【考查方式】通过平面截球求出球的半径和体积. 【参考答案】B【试题解析】：由题意得，连接球心与截面小圆的圆心1OO ，则1OO α⊥平面，则1OO = 根据球的性质得，球的半径R == 所以球的体积为3344ππ33V R ===，故B .9.已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )A.π4B.π3C.π2D.3π4【测量目标】三角函数的周期和图像.【考查方式】通过相邻对称轴的距离求出ω和ϕ. 【参考答案】A【试题解析】由题意得，直线π4x =和5π4x =是函数()f x 图象的两条相邻的对称轴， 则函数周期满足π2π12TT ω=⇒=⇒=，即函数()sin()f x x ϕ=+， 又ππππ()sin()1π,4442f k k ϕϕ=+=±⇒+=+∈Z ，即ππ,4k k ϕ=+∈Z ，当0k =时，π4ϕ=，故选A.10.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=43，则C 的实轴长为 （ ） A. 2 B.2 2 C.4 D.8 【测量目标】等轴双曲线的概念和抛物线的相关概念. 【考查方式】等轴双曲线与抛物线结合考查. 【参考答案】C【试题解析】：由题意得，设等轴双曲线的方程为22221x y a a-=抛物线216y x =的准线方程为4x =-，代入双曲线的方程得，所以=2a =4，所以选C 11.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 （ ）A.(0，22) B.(22，1) C.(1，2) D.(2，2) 【测量目标】对数函数与指数函数的图像与性质.【考查方式】通过不等式比较大小求出范围. 【参考答案】B【试题解析】：由题意得，当01a <<时，要使得14log ,(0)2xa x x <<…，即当102x <…时，函数4xy =在函数log a y x =图象的下方，又当12x =时，1242=，即函数4xy =过点1(,2)2，把点1(,2)2代入函数log a y x =得2a =，即12a <<，当1a >时，不符合题意，舍去，所以实数a 的取值范围是12a <<，故选B. 12.数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 （ ） A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 【测量目标】数列的通项公式和求和公式. 【考查方式】给出数列的递推关系求和. 【参考答案】D【试题解析】：由题意得，由1(1)21n n n a a n ++-=-得21(1)21n n n a a n ++=-++=1(1)[(1)21]21n n n a n n ---+-++(1)(21)21n n a n n =-+--++即2(1)(21)21n n n a a n n ++=--++ 也有31(1)(21)23n n n a a n n +++=--+++两式相加得1232(1)44n n n n n a a a a n ++++++=--++设k 为整数，则41414243442(1)4(41)41610k k k k k a a a a k k ++++++++=--+++=+ 于是141460414243440()(1610)1830k k k k k k S aa a a k ++++===+++=+=∑∑第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________. 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】通过点在曲线上求出斜率和直线. 【参考答案】43y x =-【试题解析】：由题意得，(3ln 1)3ln 3ln 4y x x x x x y x '=+=+⇒=+，所以1|4x y ='=， 由点斜式方程得14(1)y x -=-，整理得43y x =-.14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______. 【测量目标】等比数列求和公式的简单运用. 【考查方式】通过等式直接考查. 【参考答案】-2【试题解析】：设等比数列的首项为1a ，公比为q ，由题意得，3230S S +=，则221(44)0440a q q q q ++=⇒++=，解得2q =-.15.已知向量a,b 夹角为45，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |= . 【测量目标】平面向量的数量积与向量的模. 【考查方式】通过给出向量的模和角度直接考查.【参考答案】：【试题解析】：由题意得，222224444cos 45-=-+=-+ a b a b b a b b ，则244cos 4510-+=⇒=a b b b16.设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=____.【测量目标】函数奇偶性的判断和性质. 【考查方式】利用奇偶性求函数最值. 【参考答案】2【试题解析】：由题意得，函数()22222(1)sin 21sin 2sin 1111x x x x x x xf x x x x ++++++===++++，设()22sin 1x x g x x +=+，则()()222()sin()2sin ()11x x x xg x g x x x -+-+-==-=--++， 所以函数()g x 为奇函数，（步骤1）设当x a =时，()g x 有最大值()g a ，则当x a =-时，()g x 有最小值()g a -， 又()()1f x g x =+，则当x a =时，()f x 有最大值()1g a +，则当x a =-时，()f x 有最小值()1g a -+， 即()1,()1M g a m g a =+=-+，所以2M m +=（步骤2）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC △个内角三,,A B C 所对的边，sin cos c C c A =-． （1）求A ；（2）若2a =，ABC △b ，c ．【测量目标】正弦定理的运用.【考查方式】通过给出三角函数关系式直接考查.【试题解析】（1）∵sin cos c C c A -，∴sin sin sin cos C A C C A =-，（步骤1） ∵0πC <<，∴sin 0C ≠，cos 1A A -=，∴1cos )12A A -=， ∴π1sin()62A -=，（步骤2）∵0πA <<，∴π3A =．（步骤3）（2）∵1sin 2S bc A ==4bc =．①（步骤4）∵222cos a b c bc A =+-，∴228b c +=，②由①②解得2b c ==．（步骤5）18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【测量目标】独立事件的概率分布列和期望.【考查方式】通过对实际问题的考查去求概率相关知识.【试题解析】（1）当日需求量17n …时，利润85y =；（步骤1） 当日需求量17n <时，利润1085y n =-，（步骤2）∴y 关于n 的解析式为1085,17,()85,17,y n n n y n =-<⎧∈⎨= ⎩N ….（步骤3）（2）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元， ∴这100天的平均利润为1(5510652075168554)76.4100⨯+⨯+⨯+⨯=．（步骤4）(ii)利润不低于75元，当且仅当日需求不少于16枝， 故当天的利润不少于75元的概率为0.160.160.150.130.10.7P =++++=．（步骤5） 19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点．(1)证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【测量目标】空间几何体内面面垂直的判定及体积公式.【考查方式】由线面垂直得到面面垂直，根据棱柱体积公式计算. . 【试题解析】（1）由题设知1BC CC ⊥,BC AC ⊥，1CC AC C = ，∴BC ⊥平面11ACC A , （步骤1） 又∵1DC ⊂平面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知1145A DC ADC ∠=∠=,∴190CDC ∠= ,即1DC DC ⊥,（步骤2） 又∵BC DC C ⊥=, ∴1DC ⊥平面BDC , ∵1DC ⊂平面1BDC ，∴平面1BDC ⊥平面BDC ．（步骤3） （2）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，1AC =， 由题意得，1112111322V +=⨯⨯⨯=，（步骤4） 由三棱柱111ABC A B C -的体积1V =， ∴11():1:1V V V -=，∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.（步骤5） 20.（本小题满分12分）设抛物物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．（1）若90BFD ∠=，ABD △的面积为p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【测量目标】抛物线与圆的标准方程及简单几何性质. 【考查方式】考查分类讨论的思想.【试题解析】设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ， 则FE p =，FA FB FD r ===，E 是BD 的中点， （1）∵90BFD ∠=，∴FA FB FD ===，2BD p =，（步骤1）点A 到直线l的距离d FA ==，∵ABD △的面积为∴11222ABD S BD d p ==⨯= △2） 解得2p =，∴(0,1)F ， FA =，∴圆F 的方程为：22(1)8x y +-=．（步骤3） (2)∵,,A B F 三点在同一条直线m 上， ∴AB 是圆F 的直径，90ADB ∠=，由抛物线定义知12AD FA AB ==， ∴30ABD ∠=，∴m 的斜率为3或3-∴直线m 的方程为：2py x =+，（步骤4）∴原点到直线m 的距离14d p =，设直线n 的方程为：3y x b =±+，由22y x b x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得220x px pb ±-=，（步骤5） ∵n 与C 只有一个公共点，∴24803p pb ∆=+=，∴6p b =-，∴直线n 的方程为：6py x =-，（步骤6） ∴原点到直线n 的距离2d p =，∴坐标原点到m ，n 距离的比值为3．（步骤7）21.（本小题满分12分）设函数()e 2xf x ax =--． （1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值 【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值.【考查方式】直接考查单调区间及考查构造函数的思想．【试题解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-，（步骤1） 若0a …时，则()0f x '>，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．（步骤2） 若0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增．（步骤3） （2）若1a =，()()1()(e 1)1x x k f x x x k x '-++=--++∴当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)e 1xx k x x +<+>-．① 令1()(0)e 1x x g x x x +=+>-，22(e 1)(1)e e (e 2)()1(e 1)(e 1)xx x x x x x x g x --+--'=+=--， 由（1）知，()e 2x h x x =--在(0,)+∞上单调递增．（步骤4） ∵(1)0,(2)0h h <>，∴()h x 在(0,)+∞上存在唯一零点． ∴()g x '在(0,)+∞上存在唯一零点．（步骤5） 设其零点为a ，则(1,2)a ∈．当(0,)x a ∈时，()0g x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g a ，（步骤6） ∵()0g a '=，∴e 2aa =+，∴()1(2,3)g a a =+∈． 由于①等价于()k g a <，∴整数k 的最大值为2．（步骤7）请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：(Ⅰ)CD=BC ；(Ⅱ)△BCD ∽△GBD【测量目标】圆和相似三角形的概念和性质.【考查方式】通过性质和判定定理去求相关问题.【试题解析】（I ）因为D,E 分别为AB,AC 的中点，所以DE //BC.又已知CF AB ,故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF=BD=AD .而CF AD ,连接AF ,所以ADCF 是平行四边形，故CD=AF .（步骤1）因为CF AB ,所以BC=AF ,故CD=BC （步骤2）(II)因为FG BC ,故GB =CF .由（I ）可知BD=CF ,所以GB=BD .而∠DGB=∠EFG=∠DBC,故△BCD ∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.【测量目标】曲线参数方程与极坐标方程互化.【考查方式】通过给出方程进行互化.【试题解析】（I ）由已知可得A (2cosπ3,2sin π3),B (2cos(ππ+32),2sin(ππ+32)), C (2cos(π+π3)，2sin(π+π3)),D (2cos(π3π+32),2sin(π3π+32)), 即A (1B(C (1-，，D1-)(II)设P (2cos ϕ,3sin ϕ),令S =2222||||||||PA PB PC PD +++,则S =1622cos 36sin ϕϕ++16=32+202sin ϕ因为0…2sin ϕ…1，所以S 的取值范围是[32,52]24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.【测量目标】含有绝对值的不等式的解集.【考查方式】给出等式进行化简变换.【试题解析】(I)当a =3-时，25,2()1,2325,3x x f x x x x -+⎧⎪=<⎨⎪-⎩……<当2x …时，由()3f x …得253x -+…，解得1x …；（步骤1） 当23x <<时，()3f x …无解；（步骤2）当3x …时，由()3f x …得25x -3…；解得4x …；所以()3f x …的解集为{|1}{|4}x x x x 剠（步骤3）(II)()|4|f x x -…|4|x ⇔-|2|x --||x a +…当[1,2]x ∈时，|4|x -|2|x --||x a +…⇔4(2)x x ---||x a +…⇔2a x --…2a -…(步骤4) 由条件得21a --…且22a -…，即30a -剟故满足条件的a 的取值范围为[3,0]-.（步骤5）。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供文科考生使用)第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合A={x }，B={x }}，则A B=（A）{x }} （B）{x } （C）{x }} （D）{x }}【答案】D【考点】本题考查集合在数轴上的表示方法，以及集合的基本运算。
【解析】在数轴上画出两个集合所代表的部分，通过图形可知A B={x }}（2）i为虚数单位，（A）0 （B）2i （C）-2i （D）4i【答案】A【考点】本题考查复数的相关概念和复数的基本运算。
【解析】分别计算出各式的值，然后相加，可得结果为0（3）已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12【答案】D【考点】本题考查平面向量的数量积运算和坐标运算，重点是对数量积运算的理解，数量积和向量夹角的关系。
【解析】利用向量数量积的坐标公式可列方程，解得k=12（4）已知命题P：n∈N，2n＞1000，则p为（A）n∈N，2n≤1000（B）n∈N，2n＞1000（C）n∈N，2n≤1000（D）n∈N，2n＜1000【答案】A【考点】本题考查基本逻辑连接词的概念，和两种量词：全称量词和存在量词的使用。
【解析】根据存在量词的否定为全称量词可知，A正确（5）若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为（A）2 （B）4 （C）8 （D）16【答案】B【考点】本题考查等比数列的基本概念，等比数列的通项公式以及两项之间的关系。
【解析】根据条件可知，可得公比是4（6）若函数f（x）= 为奇函数，则a=（A）（B）（C）（D）1【答案】A【考点】本题考查函数的基本性质中的奇偶性。
重点考查奇偶性的基本概念，以及具有奇偶性应该满足的条件。
【解析】因为分子是奇函数，所以分母必须是偶函数，可知分母的一次项系数必须为0，所以（7）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（A）（B）1 （C）（D）【答案】C【考点】本题考查圆锥曲线的基本定义，以及运用圆锥曲线的定义实现距离转化的能力。
2012年高考文科数学试题解析（全国课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
合题目要求的。
（1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则，则（A ）A ̹B （B ）B ̹A （C ）A=B （D ）A ∩B=Æ【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题. 【解析】A=（－1,2），故B ̹A ，故选B. （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是的共轭复数是 （A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题. 【解析】∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D. （3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题. 【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. （4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y ab +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为A .12B .23C .34D .45【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形，的等腰三角形，∴0260PF A Ð=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C. （5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题. 【解析】有题设知C(1+3,2)，作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，有图像知，直线:l z x y =-+过B 点时，m a x z =2，过C 时，m i n z =13-，∴z x y =-+取值范围为(1－3，2)，故选A. （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B，则A .A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和的和B2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数的算术平均数C .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数中的最大数和最小数D .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数中的最小数和最大数【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题. 【解析】由框图知其表示的算法是找N 个数中的最大值和最小值，A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数，故选C. （7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为体积为A .6 B .9 C .12 D .18 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题. 【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为1163332´´´´=9，故选B. (8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【命题意图】【命题意图】 【解析】【解析】 （9）已知w >0，0j p <<，直线x =4p 和x =54p 是函数()sin()f x x w j =+图像的两条相邻的对称轴，则j = （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题. 【解析】由题设知，p w =544p p -，∴w =1，∴4pj +=2k pp +（k Z Î）， ∴j =4k pp +（k Z Î），∵0j p <<，∴j =4p，故选A. （10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为A .2B .22C .4 D .8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是的取值范围是 （A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题. 25+，则公比=0得，=01110|= . 1022322(+1)+sinx2的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x x B x x C x x D x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.()()()()A A B B C B C D C D A D ⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。
（2）函数1)y x =-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A y x x =-≥ 2()1(1)B y x x =-≥2()1(0)C y x x =+≥ 2()1(1)D y x x =+≥【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
（3）若函数()sin[0,2]3x f x ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（ ）. ()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。
近5年高考数学全国卷2、3试卷分析．3试卷分析年高考全国卷2、2013----2017数 2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，从可以说是我省考生最为害怕的加上难度变幻不定，学因为容易拉分，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的一个学科，年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐5考试情绪。
近趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。
选择、填空题会填空题在前选择题在前六题的位置，以基础题呈现，属于中等难度。
解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题;二题的位置的位置。
一、近五年高考数学考点分布统计表20132014201520162017集集集集集合（交集（（选择集集集集1等式等式等式元个复数复数复数、复数、选择题（性运算共轭复数、复数质及2 模运算）回归选择题向量三角向量、折线图数量方程（数恒等3变换乘、积坐标公模）式识等二框余展定选择数列式性4三概分向双函数函选择（线弦角5互三三三幂三函图图较函数选择周图6平性称性选择题框图排列圆、弦框图框图7 组合长线性导数、框图三角球、体选择题积形8 切线规划等差三视选择题表三视球、线性数列图9 面积规划图抛物抛物函数、球、体椭圆、线图像选择题线积圆、直线、10离心函立双椭圆函选择离几线命零11心定函导数立几（圆选择（取数12积值范围不二向量线线填空规展式性规13解等三双线三角填空题线函数、规划函数、数列平移最值通项14公式概率函数、二项导数、分段填空题统计单调式定奇偶函数15不等切性、求理、性（正．态分参线方式程布）数列、三角直线圆与函解答线项圆16等数解解数数数角形通项通角通解答公公余17定理项面求统线概线回概率的解答平行字体期18面线线面线面垂直解答题回归平行、角垂直、二面19线面角角椭圆、椭圆、直线抛物解答题抛物与椭线直线、圆的20线、圆圆离心半径、．圆的率方程导数函数导数函数单解解答导性式21数调选考22坐坐坐直系系坐系坐与化化化系选考度点坐度23化间值程化不等不等绝对绝对值不值不式证绝对式证选考题等式、明、基等式、值不明参数本不恒成24等式、有解范围等式分立、段函数从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。
2012年北京高考数学（文）逐题详解2012年的北京数学高考是高中新课改后的第三次高考，试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探索精神。
一、试题体现数学的人文教育功能拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,考查数学传统的主干知识，较好把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有心意，难度不小，重点考察能力，给笔者留下了较深的印象：例如选择第3题，在不等式背景下考查了一个概率问题，还是非常具有综合性的。
选择第7题，常见的三视图问题，但是计算几何体的表面积，对空间想象力要求还是很高的。
填空题第13小题，难度虽然不大，但是综合性以及对于函数思想的要求都很高。
第16题，立体几何考查了一个折纸的问题，难度虽然不大，但是形式还是比较有亮点的，第三问又设计为探索型问题，体现了能力立意的考试要求，要求学生有较好的空间想象力和逻辑推理能力才能顺利解答. 再比如17题以生活背景为模型考查了一个概率统计的知识，题目难度仍然不大，但是第三问非常有创新思维的让学生大胆猜想方差最大的情况，还是非常考查能力的，另外，从生活的角度命题，让学生体验数学的建模思想和应用价值，激发学生学习数学的兴趣，拓展视野，开展研究性学习，实现数学的人文教育功能。
二、试题解析（一）、选择题：【解析】第（1）题和往年一样，依然是集合（交集）运算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。
因为，利用二次不等式的解法可得，画出数轴图易得：，答案：D【解析】第（2）题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为，答案：A【解析】第（3）题是一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率。
题目中表示的区域如右图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分，因此，答案：D【解析】第（4）题考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。
