2017中考考点跟踪突破20 锐角三角函数和解直角三角形

h 坡度(或坡比l )，记作i，即i ＝ ＝tanθ. 方向角是相对的，点A在点 O的北偏西θ上，则点O在
2 考点突破
·考点1锐角三角函数的概念 ·考点2特殊角的锐角三角函数值 ·考点3解直角三角形 ·考点4解直角三角形的应用
考点1锐角三角函数的概念
例 1 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝34 ，则 cos A
∴在 Rt△ACE 中，AE＝ AC2－CE2 ＝3.2k，
∴EF＝AF－AE＝4k－3.2k＝0.8k，
∴在 Rt△CEF 中，CF＝ CE2＋EF2＝4 510k，
4 10
∴在等腰三角形 ACF 中，sad A＝CAFC＝
5 4k
k ＝
10 5
.
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请举出一个反例．
解：小明的猜想成立． 证明如下：如图所示， 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α， sin2α＋sin2(90°－α)＝ABBC2＋AABC2＝BCA2＋BA2 C2＝AABB22＝1.
2．【2021·厦门翔安区模拟·10 分】定义：等腰三角形中底边 与腰的比叫做顶角的正对．例如，在△ABC 中，AB＝AC， 顶角 A 的正对记作 sad A＝底腰边＝BACB.已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝25，sin A＝35，求 sad A 的值．
3 3
⑦ 3
⑨1
________ ________
sinA＝cos⑩______＝；sinB＝
cosA＝；
tanA＝.
三角关 ∠A＋∠B＝∠C＝
如图，在 Rt△ABC中， ∠C＝90°.
系
90°.
三边关

4 9．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC ，E 为垂足，若 cosB＝ ，EC＝2，P 是 AB 边上 5 的一个动点，则线段 PE 的长度的最小值是__4.8__．
点拨：设菱形 ABCD 的边长为 x，则 AB ＝BC ＝x，又 EC＝2 ，所以 BE＝x－2 ，因为 x－2 4 x－2 4 AE⊥BC 于 E，所以在 Rt△ABE 中，cosB＝ ，又 cosB＝ ，于是 ＝ ，解得 x＝10， 5 x x 5 即 AB＝10.所以易求 BE＝8， AE＝ 6，当 EP⊥AB 时，PE 取得最小值．故由三角形面积公 1 1 式有： AB·PE＝ BE·AE，求得 PE 的最小值为 4.8 2 2
解：过点 D 作 DG⊥BC 于 G，DH⊥CE 于 H，则四边形 DHCG 为矩形．故 DG＝CH ， CG＝DH ，在直角三角形 AHD 中，∵∠DAH＝ 30°，AD ＝6，∴DH＝3，AH＝3 3，∴CG BC x x ＝3，设 BC 为 x，在直角三角形 ABC 中，AC ＝ ＝ ，∴ DG＝3 3＋ ，BG tan∠BAC 1.11 1.11 x 3 ＝x－3， 在直角三角形 BDG 中， ∵BG＝DG·tan30°， ∴x－3＝ (3 3＋ )· ， 解得： x≈13， 1.11 3 ∴大树的高度约为 13 米
10. (2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长 56 米的路段开辟停车位，每个车位是长 5 米宽 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45°角 ，那么这个路段最多可以划出__17__个 这样的停车位．( 2≈1.4)
点拨 ：如 图 ， BC ＝ 2.8×sin45 °≈ 2 米 ， CE ＝ EF ＝ 2.2 ÷ sin45 °≈ 3.08 米 ， (56 － 2)÷3.08≈17.53＝17(个)．故这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位

考点2：解直角三角形及用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。
2会用锐角互余锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形
2017中考数学锐角三角比考点
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2017中考数学锐角三角比考点
考点1：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

锐角三角函数和解直角三角形一、选择题(每小题5分，共25分)1．(沈阳模拟)如图，△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则cos A ＝( D )A .52B .12C .255D .55,第1题图) ,第2题图)2．(2015·荆门)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为( A )A .13B .2－1C ．2－ 3D .143．(锦州模拟)在△ABC 中，若|cos A －12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°4．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米,第4题图) ,第5题图)5．(2015·泰安)如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( D )A ．20海里B ．40海里C .2033海里D .4033海里 二、填空题(每小题5分，共25分)6．(2015·柳州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝7，则sin B ＝__713__．,第6题图) ,第7题图)7．(朝阳模拟)如图，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2000米，则他实际上升了__1000__米．8．(2015·宁波)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度．站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是m ．(结果保留根号),第8题图) ,第9题图)9．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cos B ＝45，EC ＝2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是__4.8__．点拨：设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝2，所以BE ＝x －2，因为AE⊥BC于E ，所以在Rt △ABE 中，cos B ＝x －2x ，又cos B ＝45，于是x －2x ＝45，解得x ＝10，即AB ＝10.所以易求BE ＝8，AE ＝6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值．故由三角形面积公式有：12AB·PE ＝12BE·AE，求得PE 的最小值为4.810．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)点拨：如图，BC ＝2.2×sin 45°＝2.2×22≈1.54(米)，CE ＝5×sin 45°＝5×22≈3.5(米)，BE ＝BC ＋CE ≈5.04，EF ＝2.2÷sin 45°＝2.2÷22≈3.14(米)，(56－5.04)÷3.14＋1＝50.96÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位三、解答题(共50分)11．(12分)(盘锦模拟)如图①，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D ，E ，F ，G ，已知∠CGD＝42°.(1)求∠CEF 的度数；(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B ，交AC 边于点H ，如图②，点H ，B 在直尺上的度数分别为4，13.4，求BC 的长．(结果保留两位小数；参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：(1)∵∠CGD＝42°，∠C ＝90°，∴∠CDG ＝90°－42°＝48°，∵DG ∥EF ，∴∠CEF ＝∠CDG＝48° (2)∵点H ，B 的读数分别为4，13.4，∴HB ＝13.4－4＝9.4，∴BC ＝HB cos 42°≈9.4×0.74≈6.96.答：BC 的长为6.9612．(14分)(2015·营口)如图，我南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53°方向上．(1)求CD 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)解：(1)过点C ，D 分别作CG⊥AB，DF ⊥CG ，垂足分别为G ，F ，∵在Rt △CGB 中，∠CBG ＝90°－60°＝30°，∴CG ＝12BC ＝12×(30×12)＝7.5，∵∠DAG ＝90°，∴四边形ADFG 是矩形，∴GF ＝AD ＝1.5，∴CF ＝CG －GF ＝7.5－1.5＝6，Rt △CDF 中，∠CFD ＝90°，∵∠DCF ＝53°，∴cos ∠DCF＝CF CD ，∴CD ＝CF cos 53°＝635＝10(海里)，答：CD 两点的距离是10海里 (2)设渔政船调整方向后t 小时能与捕渔船相会合，由题意知CE ＝30t ，DE ＝1.5×2×t＝3t ，∠EDC ＝53°，过点E 作EH⊥CD 于点H ，则∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin ∠EDH ＝EH ED，∴EH ＝ED sin 53°＝3t×45＝125t ，∴在Rt △EHC 中，sin ∠ECD ＝EH CE ＝125t 30t ＝225，即sin ∠ECD ＝22513．(10分)(2014·遵义)如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米，∴BH ＝EF ＝10(米)，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米，在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米，∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米14．(14分)(2015·上海)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS )的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ，如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米；参考数据：3≈1.7)解：(1)连接PA.由题意知，AP ＝39米．在直角△APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(米) (2)由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan 30°＝153米．在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin 30°＝3912＝78(米)，则PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米如何学好初中数学经典介绍浅谈如何学好初中数学数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。