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第八单元 二维随机变量

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经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征 ——331—— 第八单元 二维随机变量 一、学习目标 通过本节课的学习，知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合，是概率论中的重要公式，要求会用它计算有关的概率问题. 二、内容讲解 1.离散型随机变量的联合分布 离散型的二维随机变量(X,Y)

Y= x1 x2 x3

y1 p11 p12 p13

y2 p21 p22 p23

也可以用矩阵),(jiijyYxXPp，称矩阵为二维离散型随机变量的联合概率分布. 2.二维随机变量的联合分布函数 F(x,y)=P(Xx，Yy)，称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数. 3.二维连续型随机变量联合密度函数

二维随机变量(X，Y)，若xyxyyxyxFdd),(),(，称),(yx为二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数，或简称联合密度．

联合分布密度函数),(yx为应有性质：

(1)),(yx0； (2)yxyxdd),(＝1 4.随机变量的独立性 随机变量的独立性是概率统计中的重要概念．在研究随机现象时经常遇到这

X= 经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征 ——332—— 样的随机随机变量：其中一些随机变量的取值对其余随机变量没有什么影响． 若二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数为)()(),(21yxyx，则有 ),(yYxXP＝xyxyyxdd)()(21

＝yxyyxxd)(d)(21 ＝)()(yYPxXP 称随机变量X与Y相互独立的. 问题思考：二维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布是一回事吗？ 答案不完全是一回事．边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质，但从整体来看，边缘分布在三维空间考虑，而一维分布只在平面上考虑．例如F(x)是X的分布函数，它表示X的值落在区间(－,x]上的概率．若X是连续型随机变量，F(x)表示面积．如果X是二维随机变量的一个分量，则它的分布函数FX(x)表示(X,Y)的取值落在区域(－三、例题讲解 例1 设在袋中有8只球，4红，1白，3黑，从袋中不放回地随机摸4个球，用X表示其中的红球数，Y表示其中的白球数. (1)写出(X,Y)的联合概率分布． (2)求红球比白球多2的概率. 解 (1) 显然X可能取值是0，1，2，3，4．Y的可能取值是0，1.(X，Y)是二维离散型随机变量．于是其联合概率分布为 X=

Y= 0 1 2 3 4

0 0 704 7018 7012 70

1 经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征 ——333—— 1 701 7012 7018 704 0 具体计算如下；P(X=0，Y=0)=0

P(X=1，Y=0)=704!8)!4(42483314CCC

P(X=2，Y=0)=7018!4567812231234482324CCC P(X=3，Y=0)=7012!4567834481334CCC P(X=4，Y=0)= 701!4567814844CC P(X=0，Y=1)=701，P(X=1，Y=1)=7012， P(X=2，Y=1)=7018，P(X=3，Y=1)=704，P(X=4，Y=1)=0 (2) 所求为P(X－Y＝2).

P(X－Y＝2)＝P(X=2,Y=0)+P(X=3，Y=1)＝351170227047018 例2设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

其它00,06e),(23yx

yxyx

y

1

G 0 1 x 经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征 ——334—— 求概率P((X,Y)G)，其中G是平面区域(右图)．

解：P((X,Y)G)＝Gyxyxyx),(dd),( ＝101023d6edyxxyx＝xyxyx102103de)3(de＝101023d][ee3xxyx ＝1032d]e-[e3xxx＝1032]e313[-e-xx=32e2e31 四、课堂练习

练习1 已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为 Y X 1 2 3

1 61 91 18

1

2 31 92 9

1

求：(1) 概率值P(X<2,Y2)； (2) 随机变量X与Y的边缘概率分布； (3) 概率值P(Y<2)，P(X1)； (4) 问随机变量X与Y独立吗？ 分析：随机变量X只能取值1，2，而随机变量Y只能取值1，2，3．X<2与Y2，都包括哪些X和Y的取值． (1)P(X<2,Y2)=P(－

＝P({－{－

=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)=1859161 经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征 ——335—— 已知联合概率分布，求概率值，要弄清X，Y的取值哪些在所指定的范围内，这些联合概率分布的概率值相加．求X的边缘概率分布，是对Y的取值求和．判断独立性用定理的充分必要条件． 练习2已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为





其他020,10)2(41),(yxyx

yxf

求：(1)概率值P(－1(2)概率值P(0.5Y<1.8)； (3)随机变量X和Y的边缘分布密度； (4)试问随机变量X与Y独立吗？ 分析：这是二维连续型随机变量求概率值的问题，根据定义式，就是求二重积分.所有积分都是在使联合分布密度非0的区域上积分，而求X的边缘分布密度是联合分布密度对y的积分，Y的边缘分布密度是对x的积分．判断独立性用定理．要弄清联合分布密度在哪个区域，将概率值的式子化为二重积分． 当(x,y)D1D3时，联合分布密度f(x,y)=0．P(－1

＝P(D1)+P(D2)+P(D3)＝P(D2)＝2dd),(Dyxyxf＝3.0021dd)2(41xyyx＝3.00212d]212[41xyxy=135.0d]232[413.00xx

五、课后作业 经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征

——336—— 1. 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下： X 0 1 2 3 4 5 6

0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 3 0 0 0 0.001 0.002 0.004 0.11

求X和Y的边缘概率分布，并判断X与Y是否独立． 2.如二维随机变量(X,Y)在矩形区域D={(x,y)a布，试求其联合分布密度和各自的边缘分布密度，并问X与Y相互独立吗？ 3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为





其他020,20)sin(),(yxyxA

yxp

求(1) 系数A；(2)X,Y的边缘分布密度． 4.已知随机变量X与Y相互独立，并且它们的密度函数分别为

)(e21)(22xxxX





000ye)(22yyy

y

Y

求(X,Y)的联合分布密度和概率值P(－2

Y 经济数学基础 第10章 随机变量与数字特征

——337—— 5. 一台机器制造直径为X的圆轴，另一台机器制造内径为Y的轴衬．设(X,Y)的联合分布密度为

其他053.051.0,51.049.05002),(yxyxf

轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.036时两者可以适衬．求任一轴与任一轴衬适衬的概率． 1. X 0 1 2 3 PX 0.627 0.260 0.095 0.018

Y 0 1 2 3 4 5 6 PY 0.202 0.273 0.208 0.128 0.100 0.060 0.029

X与Y不独立．

2.其他0,))((1),(dycbxacdabyxp 其他01)(bxaabxpX; 



其他01)(dyc

cdypY

X与Y独立．

3.(1)A=21；(2) 其他020)sin(cos21)(xxxxpX；



其他020)sin(cos21)(xyy

ypY

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《概率论》二维随机变量及其分布函数的定义、基本性质

《概率论》二维随机变量及其分布函数的定义、基本性质

定义3-1 n个随机变量X1，X2，…，X n构成的整体X=(X1，X2，…，X n)称为一个n维随机变量或n维随机向量，X i称为X的第i(i=1，2，…，n)个分量.
定义3-2 设(x，Y)为一个二维随机变量，记
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}，-∞<z<+∞，-∞<y<+∞，< p="" style="padding: 0px; list-style: none;">
称二元函数F(x，y)为X与y的联合分布函数或称为(X，Y)的分布函数.
(X，Y)的两个分量X与y各自的分布函数分别称为二维随机变量(X，Y)关于X与关于y的边缘分布函数，记为F X(x)与F Y(y).
边缘分布函数可由联合分布函数来确定，事实上，一元函数
几何上，若把(X，Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在以(x，y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率.
分布函数F(x，y)具有下列性质：
(1)F(x，y)是变量x(或y)的不减函数.
(2)0≤F(x，y)≤l，
对任意固定的y，F(-∞，y)=0
对任意固定的x，F(x，-∞)=0;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞，+∞)=1. (3)F(x，y)关于x和关于y均右连续，即F(x,y)=F(x+0,y);F(x，y)=F(x,y+0). (4)对任意固定的x1<x2，y1<y2
F(x2 ,y2)-F(x2,yl)-F(xl，y1)+F(x1+yl)≥0.。

二维随机变量函数的分布

二维随机变量函数的分布

Fmax ( z) FX1 ( z) FX2 ( z) FXn ( z),
Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)] [1 FXn (z)]. 若 X1, X2, , Xn相互独立且具有相同的分布函数 F(x) ,则
Fmax(z) [F (z)]n , Fmin (z) 1 [1 F (z)]n .
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
c =24/5
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注. 意积分限
y
解:
(2) fY
y=x
(
y
1
) y
24
24 y(2 5 y(3 2y
P{Z k} P{{ X 0,Y k} { X 1,Y k 1} { X k,Y 0}}
P{ X 0} P{Y k} P{ X 1} P{Y k 1}
P{ X k} P{Y 0}
k
P{ X m} P{Y k m}
m0
k
m
1 e1
km
Z
－1
0
1
pi 0.1344 0.7312 0.1344
(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有
P{Z 0} 1 P{Z 0} 1 0.7312 0.2688
二、二维连续型随机变量的函数的分布
1、和的分布：Z=X+Y 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度 为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为
二维随机变量函数的分布(青松教学)

二维随机变量函数的分布(青松教学)

设随机变量X,Y相互独立，且分布函数分别为 FX(x)，FY(y)，求M与N的分布函数。
FM (z) P(M z) P(max( X ,Y ) z) P(X z) (Y z)
由独立性 P((X z) P(Y z) FX (z) FY (z)
即M的分布函数为 FM (z) FX (z) FY (z)
e 2
i0
i0 i!
(k i)!
e (12 )
1k k! i0
k! i!(k
i)!
i k i 12
(1
2 )k
k!
e (1 2 )
因此
Z~P(λ1+λ2) 学堂B
k=0,1,2,… 3
二维离散型随机变量函数的分布
设二维离散型随机变量（X，Y），
(X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, …
即FZ(z)可利用f(x,y)在平面区域：G={(x,y)| g(x,y)≤z}上 的二重积分得到。
Z=g(X,Y)的密度函数为
f Z
(z)
dF dz
Z(z)
d dz
f (x,
g ( x, y ) z
y)dxdy
学堂B
8
三、常用的随机变量的函数的分布
1、和的分布
设(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2, Z=X+Y，则Z是 连续型随机变量，且Z的概率密度为
FN (z) P(N z) 1 P(N z) 1 P(min( X ,Y ) z) 1 P(X z Y z) 1 P(X z)P(Y z)
1 1 P(X z)1 P(Y z)
1 1 FX (z)1 FY (z)
即N的分布函数为 FN (z) 学堂1B 1 FX (z)1 FY (z) 17
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式

二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式

二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。

在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。

一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。

假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。

离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。

二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。

假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。

从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。

三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。

对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。

对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。

1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。