第二章 2.1随机过程定义

4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。 注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章） （四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的 集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若 若
e
t
确定 确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值 是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定 若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )

二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。 其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )

(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数

2020/1/27
11
随机过程的研究范围
?1. 依据随机过程单样本值为随机变量的特 点，相应的研究内容包括：
? 连续型随机过程 ? 离散型随机过程
?具体的研究对象包括：均值、方差、协方 差、有限维联合分布等。
2020/1/27
12
随机过程的研究范围
?2. 依据随机过程的函数特性，相应的研究 内容应包括：
2020/1/27
14
随机过程的分类
（一）根据参数集T 及状态空间I 是离散或连 续，可把随机过程分为以下四种类型：
? T 和 I 都是离散的 ; ? T 连续，I 离散； ? T 离散，I 连续； ? T 和 I 都连续。
2020/1/27
15
例
例2.1 生物群体的增长问题 在描述群体的发展或演变过程中，以 X t 表 示在时刻 t 群体的个数，则对每个固定的t， X t 是一个随机变量。 假设从 t =0开始每隔一天对群体的个数观察 一次，则
{X t , t = 0,1,L } 是随机过程。
信息工程大学四院六教
随机过程的分类
（二）根据 X (t ) 之间的关系，可将随机过 程分为几个研究较多且用途较广的主要类 型：
? 马尔可夫过程 ? 独立增量过程 ; ? 平稳过程； ? 鞅过程； ? ……
2020/1/27
17
随机过程的分布函数
如何用分布函数刻画随机过程？
1
1
2
x , L , X (t ) ? x }
2
n
n
2020/1/27
18
随机过程的分布函数
这些分布函数的全体
F = {Ft1,t2,L ,tn (x 1, x 2, L , x n ) : t1, t 2, L , tn 纬T , n 1}

复随机过程的性质
复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质： （1）对称性（埃米特性）， B(s, t ) = B(t, s) （2）非负定性，对任意ti ∈T及复数ai，i=1,2, …,n，n≥1，有
n i , j =1
∑ B (t Βιβλιοθήκη tij)ai a j ≥ 0
说明： 1. 如果函数f(s,t)具有非负定性，那么它必具有埃米特性。 2. 若f(s,t)为一非负定函数，则必存在一个二阶矩过程（并可要 求它为正态过程）以给定的f(s,t)为协方差函数。
两个复随机过程{Xt}，{Yt}的互相关函数定义为
R XY ( s , t ) = E ( X s Yt )
互协方差函数定义为
B XY ( s , t ) = E [ X s m X ( s )] [Yt m Y ( t )]
例题2.9 2.9 设随机过程 Zt =
n
∑
k =1
X k ei kt , t ≥ 0 ，其中X1,X2, …,Xn是相互独立的，且
两个随机过程{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互不相关定义
B XY ( s , t ) = 0
互协方差函数与互相关函数之间的关系
B XY ( s , t ) = R XY ( s , t ) m X ( s ) m Y ( t )
例题2.7 设有两个随机过程X(t)=g1(t+ε)和Y(t)=g2(t+ε)，其中g1(t)和g2(t)都是周期 为L的周期方波，ε是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量，求互相关函 数RXY(t,t+τ)的表达式。 例题2.8： 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值 函数和相关函数。

§ 2.2 随机过程的分布函数数字特征
是随机过程， 定义 2.2 设 X t ={X(t),t∈ T }是随机过程，对任意 n≥1 ∈ 是随机过程 ≥ 和 t1 , t 2 ,⋯ , t n ∈ T ,随机向量 ( X ( t1 ), X ( t2 ),⋯ , X ( tn )) 的联合分 随机向量 布函数为: 布函数为
其中
ρ = ρ X ( s, t )
定义 2.4 设 {X(t),t∈ T }，{Y(t),t∈ T }是两个二阶矩过 ， 是两个二阶矩过 程 ， 则称
BXY ( s , t ) = E[( X ( s ) − m X ( s ))(Y ( t ) − mY ( t ))], s , t ∈ T
的互协方差函数， 为 {X(t),t∈ T }与 {Y(t),t∈ T }的互协方差函数 ， 称 与 的互协方差函数
根据参数T及状态空间I是可列集或非可列集 根据参数T及状态空间I是可列集或非可列集，可以 及状态空间 是可列集或非可列集， 把随机过程分为以下四种类型： 把随机过程分为以下四种类型： (1)T和I都是可列的； 都是可列的； 和 都是可列的 (2)T非可列，I可列； 非可列， 可列； 非可列 可列 (3)T可列，I非可列； 可列， 非可列； 可列 非可列 (4)T和I都非可列。 都非可列。 和 都非可列
g t1 ,⋯,tn (θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ n ) = E (exp{ i ∑ θ k x ( t k )})
k =1 n
是随机过程， 定义 2.3 设 X t ={X(t),t∈ T }是随机过程，如果对任意 t 是随机过程 存在， ∈ T ,E[X(t)]存在 ， 则称函数 存在 m X ( t )def E[ X ( t )], t ∈ T 均值函数。 为 X t 的 均值函数 。 存在， 若对任意 t∈T ,E[(X(t)) ]存在，则称 X t 为二阶矩过 存在 程 ， 而称 B X ( s , t ) = E [( X ( s ) − m X ( s ))( X ( t ) − m X ( t ))], s , t ∈ T 协方差函数。 为 X t 的 协方差函数 。 DX (t ) = BX ( t , t )def E[ X ( t ) − m X ( t )]2 , t ∈ T