最新随机过程练习(第二章)

2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。

试证明：)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。

证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。

第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。

试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。

（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。

3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。

第二章Markov 过程习题完整答案，请搜淘宝1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

2、 天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。

如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。

试求此马氏链的转移概率矩阵。

3、 设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4341031313104341P （1） 计算概率：}1,1,0{210===X X X P ； （2） 计算)3(12)2(01,p p 。

4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明}1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。

5、 设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33221100p q q p q p P 试求：（1） )3(01)2(01)1(01)3(00)2(00)1(00,,,,,f f f f f f ； （2） 确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。

1、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其初始分布为),,,,()0(43210p p p p p =π一步转移矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000000000000000001p q p q p qP 试回答以下问题： （1） 求出该马氏链进入各常返类的概率；（2） 求出该马氏链平均多长时间进入常返类集；（3） 计算：nn P ∞→lim 。

2、 （网球比赛）：网球一局比赛在两个选手（发球者和接发球者）之间进行，网球的记分制是：15、30、40、和60分。

平分是指第五球后双方分数相同。

平分后，从第六球开始，如果发球者得分/失分，则此时发球者占先/接发球者占先。

如果发球者在发球占先后再得分，则发球者赢得该局。

如果接发球者在接发球后占先后再得分，则接发球者赢得该局。

若发球者发一球获胜的概率为p ，输的概率为q ，1=+q p ，试回答以下问题：（1） 试用马氏链建模网球一局比赛过程，确定其状态，画出状态转移图；（2） 分析各状态的性质；（3） 试确定一局网球比赛发球者获胜的概率；（4） 试确定一局比赛平均需要发几个球才能结束。

3、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其一步转移概率为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/10004/14/104/14/1002/12/10004/34/1000001P 试回答以下问题：（1） 研究此马氏链的状态性质，并对各状态进行分类；（2） 针对状态1和2，确定其平稳分布；（3） 若i 和j 是非常返状态，试求ii f 、ij f 、ji f 和jj f ；（4） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，试求该链进入常返状态集的期望步数；（5） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，求出该马氏链进入各常返类的概率；（6） 计算：}12{35==X X P ；（7） 计算：nn P ∞→lim 。

西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx随机过程习题解答第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ ＝0()1jtkjt k pp qe qe ∞==-∑ 又20()kk k k q qE X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 100()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。