第二章随机过程的概念与基本

R X ( s , t ) 则反映随机过程 {X(t),t∈ T }在时刻 s 和 t 时的
线性相关程度。
例 1 设随机过程
X ( t ) Y cos( t ) Z sin( t ), t 0
其中， Y,Z 是相互独立的随机变量，且 EY EZ 0 ，
DY DZ 2 。 求此随机过程的均值函数 m X ( t ) 和协
X ( t ) a cos(t ),
t ( , ),
是一个随机过程, 叫做随机相位正弦波. 状态空间 : [ a , a ].
样本函数 : xi (t ) a cos(t i ),
i (0,2π).
3
x(t)
2
data1 data2
x1 ( t ), 1 0
根据参数T及状态空间I是可列集或非可列集，可以 把随机过程分为以下四种类型： (1)T和I都是可列的； (2)T非可列，I可列； (3)T可列，I非可列； (4)T和I都非可列。
§ 2.2 随机过程的分布律和数字特征
定义 2.2 设 X t ={X(t),t∈ T }是随机过程，对任意 n≥1 和 t1 , t2 ,, tn ∈ T ,随机向量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 的联合分 布函数为:
第二章 随机过程的概念与基本类型
随机过程---随机信号 随机过程是与确定性过程相对立的一个概念.从信 息论的观点 ,对接收者来讲只有信号表现出某种不可预 测性才可能蕴涵信息.因为如果在信号收到以前接收者 已准确地预测它的一切,则这种信号是毫无用处的.类似 地,若接收者能从信号的过去正确地预测它的将来,将来 的部分信号即成多余。
1
o

t
-1
-2
3π x 2 ( t ), 2 2
1 2 3 4 5
-3 0
从数学的观点来说，随机过程{ X ( t , e ), t T } 是定义 在 T×Ω上的二元函数。对固定的 t，X(t,e)是定义在 T 上的普通函数，称为随机过程{ X ( t , e ), t T } 的一个样本 函数或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。
例 5 设{X(t),t∈T }，{Y(t),t∈T }是两个二阶矩过程，
W (t ) X (t ) Y (t ), t T 则
RW ( s, t ) RX ( s, t ) RXY ( s, t ) RYX ( s, t ) RY ( s, t )
例 6、设 { X i , i 1,2,} 是一独立随机变量序列，且有 相同的两点分布
通常将随机过程 { X ( t , e ), t T } 解释为一个物理系 统。 X(t)表示在时刻 t 所处的状态。X(t)的所有可能状态 所构成的集合称为状态空间或相空间，记为 I。
值得注意的是参数 t 可以指通常的时间，也可以指 别的；当 t 是向量时，则称此随机过程为随机场。为了 简单起见，我们以后总是假设 T R ( , ) 。
为 {X(t),t∈ T }与 {Y(t),t∈ T }的互协方差函数，称
RXY ( s , t ) E[ X ( s )Y ( t )]
为 {X(t),t∈ T }与 {Y(t),t∈ T }的互相关函数。
若对任意 s,t∈ T ,有 BX ( s , t ) =0,则称 {X(t),t∈ T } 与 {Y(t),t T }互不相关。 显然有 :
X t ={X(t),t∈ T }的有限维分布函数族具有性质：
(1)对称性
对于{ t1 , t2 ,, tn }的任意排列{ ti , ti ,, ti }
1 2 n
Ft1 ,,tn ( x1 , x2 ,, xn ) Fti 1 ,,tin ( xti 1 ,, xtin );
(2)相容性 当 m<n 时 Ft1 ,,tm ( x1 , x2 , ..., xm ) Ft1 ,,tm ,,tn ( x1 , x2 xm , , , )
Ft1 ,,tn ( x1 , x2 ,, xn ) p{ X (t1 ) x1 ,, X (tn ) xn }
这些分布函数的全体 F {Ft1 ,...,tn ( x1 , x2 ,... xn ), t1 , t2 ,...tn T , n 1} 称为 X t ={X(t),t∈T }的有限维分布函数族。
2
为 X t 的均值函数。 若对任意 t∈T ,E[(X(t)) ]存在，则称 X t 为二阶矩过 程，而称 B X ( s , t ) E [( X ( s ) m X ( s ))( X ( t ) m X ( t ))], s , t ∈ T 为 X t 的协方差函数。 2 DX (t ) BX (t , t )def E[ X (t ) m X (t )] , t T
Z t X t iYt ，
其中 i 1 ，则称 { Z t , t T } 为复随机过程．
当 { X t , t T } 和 {Yt , t T } 是二阶矩过程时，其均值函 数、方差函数、相关函数和协方差函数的定义如下：
m z ( t ) E ( Z t ) E ( X t ) iE (Yt ) Dz ( t ) E (| Z t m z ( t ) |2 ) E (( Z t m z ( t ))( Z t m z ( t ))) Rz ( s , t ) E[ Z s Z t ] Bz ( s , t ) E[(Z s m z ( s ))(Z t m z ( t ))]
样本函数的集合: {cosπt , t }
状态空间 : ( ,)
例7 考虑 X ( t ) a cos(t ), t ( , ), 其中a和是正常数,是在(0,2π)上服从均匀
分布的随机变量 .
对固定的时刻t t1 , X ( t1 ) a cos(t1 ) 是 一个随机变量.
例6 抛掷一枚硬币的试验, 样本空间 S={H,T}, 现定义
cos πt ,当出现H , X (t ) 当出现T , t,
其中P ( H ) P (T ) 1 2 .
t ( ,),
对任意固定的 t , X ( t )是定义在S上的随机变量. 对不同的t , X ( t )是不同的随机变量 . { X ( t ), t ( ,)}是一族随机变量 , 是随机过程.
例5、热噪声电压
电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子) 的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压. 热噪声电压在任一 确定时刻t的值是一随机变
量, 记为V ( t ). 时间t : [0,), {V ( t ), t 0}.
对某无线电接收设备的热噪声电压在相同条 件下进行测量.得到如下的电压——时间曲线. 以上例子说明，必须扩大概率论的研究范围，讨 论随机过程的有关性质。为此，我们给出随机过程的 一般定义。
方差函数
BX ( s, t )
。
答案： 2 cos((t s) )
例 2 设随机过程 X ( t ) Y Zt , t 0 其中，Y,Z 是相互独立的 N(0,1)随机变量， 求此随机过 程的一、二维概率密度族。
注:二维正态分布的密度函数:
f ( x, y) 1 2σ1σ 2 1 ρ2
例 1 生物群体的增长问题。在描述群体的发展或演 变过程中，以 X t 表示在时刻 t 群体的个数，则对每一 个 t， X t 是一个随机变量。假设我们从 t=0 开始每隔 24 小时对群体的次数观测一次，则 { X t , t 0,1, 2,} 是随机过程。
例2 某电话交换台在时间段[0，t]内接到的呼唤次数 是与t有关的随机变量X(t)，对于固定的t，X(t)是一个 取非负整数的随机变量。故{X(t)，t∈[0,∞]}是随机过 程。
1 n
来完整描述，其中：
gt1 ,,tn (1 , 2 , , n ) E (exp{i k X ( t k )})
k 1 n
定义 2.3 设 X t ={X(t),t∈ T }是随机过程，如果对任意 t ∈ T ,E[X(t)]存在，则称函数 m X ( t )def E[ X ( t )], t T
§2.1 随机过程的基本概念
• 初等概率论研究的主要对象是一个有限 个随机变量（或随机向量），虽然我们 有时也讨论了随机变量序列，但假定序 列之间是相互独立的。随着科学技术的 发展，我们必须对一些随机现象的变化 过程进行研究，这就必须考虑无穷个随 机变量的一次具体观测。这时，我们必 须用一族随机变量才能刻划这种随机现 象的全部统计规律性。
定理 1（Kolmogorov 存在定理）设已给参数集 T 及满 足对称性和相容性条件的分布函数族 F,则必存在概率 空间 （ ， F， P ） 及定义在其上的随机过程 {X(t),t∈ T }, 它的有限维分布函数族是 F 。
由于随机变量的分布函数和特征函数的一一对应 关系，随机过程的概率特征也可以通过随机过程的有 限维特征函数族： { gt ,,t (1 ,2 ,,n ) : t1 , t2 ,, tn T , n 1}
定义 2.1 设（ ， F， P ）是概率空间,T 是给定的参数 集 ,若对每个 t∈T，有一个随机变量 X(t,e)与之对应，则 称随机变量族 { X ( t , e ), t T } 是 （ ， F， P ） 的随机过程 , 简记为随机过程 { X ( t ), t T } 。T 称为参数集，通常表示 时间。
Xi
-1
1
pi
1/2 1/2
令
Y (0) 0, Y ( n) X i
i 1
n
。
试求： 随机过程 {Y (n), n 0,1,2,} 的均值函数和相关 函数。