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第二章 随机过程总结

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第2讲 第二章随机过程的概念

第2讲 第二章随机过程的概念
它们的互相关函数定义为
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2

x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;

第二章 随机过程

第二章 随机过程

T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}

第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4

第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
相关时间 0 小：随机过程随时间变化快 相关时间 0 大：随机过程随时间变化慢
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1

2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T

2T
0
(1

2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )

通信原理第2章 随机过程

通信原理第2章 随机过程
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2

第2章 随机过程概述

第2章 随机过程概述
E[ X (t )] mX 常数
(功率有限),且
2
则称
R(t1 , t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( )
(t ), t T X为广义平稳随机过程。
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]




x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]

xyf ( x, t1; y, t2 )dxdy
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
X i (t j ) X (t j , ei )
随机变量
标量
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程一般表示为{ X (t), t T }。
自相关函数各态历经
T
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
C (0) R(0) m2 2
自相关函数连续的充要条件
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n

随机过程个人总结

随机过程个人总结

随机过程个人总结随机过程是一个数学模型，用来描述随机现象的演化规律。

它在许多领域中都有广泛应用，在概率论、统计学、物理学、工程学等领域中都有重要的地位。

1. 定义和特征：随机过程是一族随机变量的集合，表示随机现象在不同时间发生的情况。

每个随机变量表示某个时刻或某个时间段内的随机事件的结果。

它具有两个维度：时间和状态。

2. 分类：根据状态空间的特征，可以将随机过程分为离散随机过程和连续随机过程。

离散随机过程的状态空间是离散的，而连续随机过程的状态空间是连续的。

根据时间的连续性，可以将连续随机过程分为时齐随机过程和时变随机过程。

时齐随机过程的统计特性不随时间变化，而时变随机过程的统计特性与时间有关。

3. 状态转移概率：随机过程的核心是状态转移概率，描述了随机过程在不同状态之间进行转移的概率。

状态转移概率可以用转移矩阵或转移函数表示，它描述了随机过程的演化规律。

4. 随机过程的性质：随机过程有许多重要的性质，包括平稳性、独立性、马尔可夫性、鞅性等。

这些性质可以帮助我们分析和理解随机过程的行为。

5. 应用：随机过程在概率论、统计学和工程学中有广泛的应用。

在概率论中，随机过程用于描述随机事件的演化过程。

在统计学中，随机过程用于建立模型和进行统计推断。

在工程学中，随机过程用于分析和设计系统，例如通信系统、控制系统和金融系统等。

总之，随机过程是一个重要的数学工具，可以帮助我们建立数学模型，描述和分析随机现象的演化过程。

它在各个领域中都有广泛应用，并且具有丰富的理论基础和实际应用价值。

第二章 随机过程汇总

第 2 章 随机过程2.1 引言•确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。

•通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。

•描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。

2.2 随机过程的统计特性一.随机过程的数学定义：•设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t)是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。

随机过程举例：二.随机过程基本特征其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。

随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。

三.随机过程的统计描述设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。

1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即})({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.12.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数.xt x P t x p ∂∂=);(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布})(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.34.二维分布密度定义为212121221212),;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ∂∂∂=2.2.4四.随机过程的一维数字特征设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p .1.数学期望(Expectation)dx t x xp t g E t g );()]([)(1⎰∞∞-==μ 2.2.52.方差(Variance)dx t x p t x t t g E t g Var t g g g ),()]([]))()([()]([)(1222μμσ-=-==⎰∞∞- 2.2.6五.随机过程的二维数字特征1.自协方差函数(Covariance)•21212122211221121),;,())())((())]()())(()([(),(dx dx t t x x p t x t x t t g t t g E t t C g g g g g μμμμ--=--=⎰⎰∞∞-∞∞- 2.2.72. 自相关函数(Autocorrelation)•2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t g t g E t t R g ⎰⎰∞∞-∞∞-== 2.2.83.自相关函数和自协方差函数的关系)]([)]([),(),(212121t g E t g E t t R t t C g g •-= 2.2.9 4.设两个随机过程分别为)(),(t h t g ,在时刻1t 和2t ,对)(),(t h t g 抽样,两个随机过程的互相关函数(Cross-correlation)定义为)]()([),(2121t h t g E t t R gh = 2.2.105.两个随机过程的互协方差函数(Cross-covariance)定义为)]()())(()([(),(221121t t h t t g E t t C h g gh μμ--= 2.2.112.3 平稳随机过程一.狭义平稳的随机过程(严平稳的随机过程)对于任意的正整数n 和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满足),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅τττ 2.3.1则称)(t g 为狭义平稳的随机过程.统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。

第二章随机过程的基本概念

个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一 起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则 {Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
例: 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上 的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运 动叫做Brown运动，它是分子大量随机碰撞的
结果。记 X t ,Y t 为粒子于时刻t在平面
为t T 的函数，x(t,ω0 )是一个定义在T 上的
普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
x(t,ω1) x(t,ω2) x(t,ω3)
t1
t2
tn
例5 X(t,ω) = acos(bt+Θ), Θ~U(0, 2π)
ω1 =5.4938 ω2 = 1.9164
ω3 = 2.6099
定义2.1.2 对每一固定ωΩ，称Xt (ω) 是随 机过程 {X (t,), t T }的一个样本函数.
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
（3）马尔可夫过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn P( X (tn ) xn | X (tn1 ) xn1 ，…，X (t1 ) x1 )
X (t)


t, 3
et ,
如果t时取得红球 如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求概率密度
解 对每一个确定的时刻 t，X (t) 的概率密度为
t
X (t)
3
t
e
P
所以
F (t1；x1 ) P( X (t1 ) x1 )
21

第二章 随机过程基本概念

随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果 即一个或有限个随机变量(随机向量). 问 描述随机现象的整个变化过程， 需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性 对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数 与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义 设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。

第二章 随机过程分析


图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察
点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机
信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。
5、n维分布函数和概率密度函数
例2.2 讨论贝努里随机过程 的一、二维概率 特性。
解：贝努里随机过程，在 时刻，独立地观 察某个事件 发生与否，建立事件 的指示函 数
且有概率
(2.2.7)
设
，单位步函数（阶跃函数）
贝努里随机过程的一维概率分布函数
一维概率密度函数
(2.2.8)
(2.2.9)
贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其
随机变量
是彼此统计独立的。因此，
可得
(2.2.10)
贝努里随机过程的二维概率分布函数是
其中， 是二维单位阶跃函数。 那么二维概率密度函数
(2.2.11) (2.2.12)
(2.2.13)
式中，
(2.2.14)
2.2.2、随机过程的数字特征
• 随机过程的分布函数在实际上是很难获取的， 甚至是不可能的。
(2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足
(2.2.3)
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。
3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为：
(2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
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图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
在固定的时刻， 为常数。 是随机变量A的 线性变化，仍为高斯分布。当 变化时， 的数学期望 和方差 均与时间有关。 因此，一维概率密度函数也与时间有关， 不是严平稳过程。
2.3.5 宽平稳随机过程
满足 (2.3.7)
则称
为宽平稳随机过程或广义平稳过程。
2、主要性质 (1) 随机信号的严格平稳性与广义平稳性之间 有关系 必然是 严格平稳 广义平稳 随机过程 随机过程 不一定是 (2) 广义平稳随机过程的相关函数卷积共轭的， 即 (2.3.8) 证明
(3)随机过程的协方差函数和相关系数也是平 稳的，即 (2.3.9) (2.3.10)
在区间
均匀分布)
所以
则方差
那么，自相关函数
例2.5 试证明: (1)若随机过程 加上确定的 时间函数 ，则协方差不变。(2) 若随机过 程 乘以非随机过程因子 ，则协方差函数 乘以积 。 证： (1) 设 ，即需证 。 因为
而中心化随机函数为
所以
故得证。 (2)设 ，即要证 因为 而中心化随机函数为
第二章
主要内容
随机过程
1、随机过程的基本概念 2、随机过程的统计特性 3、平稳随机过程 4、随机过程的各态历经性 5、平稳随机过程自相关函数的性质 6、随机过程的联合概率分布和互相关函数 7、正态随机过程
§2.1
2.1.1
随机过程的概念
随机过程的定义
例2.1 设有n台性能完全相同的雷达接收 机，它们工作的条件也完全相同，图2－1 是运用n台示波器记录的各接收机输出的噪 声电压。它们是n条噪声电压－时间的函数。 从中可看出，在相同条件下，雷达接收机 输出的噪声波形是不相同的。
决定随机信号的主 要物理条件不变
3、主要性质 (1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概 率密度与时间无关。 证明 令 ，则一维概率密度函数
得证。
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
证明： 根据题意有 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4)
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
图2-2-2 随机过程的数学期望
2、均方值 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量 ，随机过程的均方值 或 ，即
(2.2.16) 均方值 的取值与时刻 是有直接联系的，是时 刻 的函数。
3、方差 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量，称随机变量 的二阶中心矩为随机过 程的方差 。
(2.2.17)
贝努里随机过程的二维概率分布函数是
(2.2.11) 其中， 是二维单位阶跃函数。 (2.2.12) 那么二维概率密度函数
(2.2.13)
式中，
2.2.2、随机过程的数字特征
(2.2.14)
• 随机过程的分布函数在实际上是很难获取的， 甚至是不可能的。 • 随机过程（信号）的特征（或参数）在实际 工作中运用得十分广泛。
(1) 正态随机过程由数学期望和相关函数详细描述。 (2) 复杂背景下目标识别、跟踪所依赖的有效依据 仍然是目标在时间、空间的特征。
图2-2-1 云层背景下的飞机
• 由随机过程的定义2，可知随机过程是随机 变量集合：
1、数学期望(均值函数) 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量 ，随机过程 的数学期望 或 ， 即 (2.2.15) 数学期望 的取值与时刻 是有直接联系 的，是时刻 的函数。它是该随机过程在各 个时刻的摆动中心。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
•采用两时刻或更多时刻状态的相关性去描述 随机过程的起伏程度。
4、自相关函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的 状态，称它们的二阶原点混合矩为随机过 程 的自相关函数，记为 (2.2.19)
自相关函数反映了随机过程 在两个不同时 刻的状态之间的相关程度。
5、自协方差函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的 状态，称它们的二阶中心混合矩为随机过 程 的自相关函数，记为 (2.2.20)
自协方差函数反映了随机过程 在两个不同 时刻的状态相对于数学均值之间的相关程 度。
• 自协方差函数、自相关函数与数学均值有数 学关系式：
(2.2.20)
• 自相关系数
(2.2.21) (2.2.22) 在 ， 。
• 随机过程统计不相关 如果对于任意的 ， 都有 ，则称 该随机过程在任意两个时刻是不相关的。
2.2.1、随机过程的概率分布
随机过程 ，在每一固定时刻 都是随机变量。 随机事件：
发生概率：
， 和
，
，
1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的 二元函数，记为： (2.2.1) 被称为随机过程的一维分布函数。 2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 (2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足 (2.2.3)
注：1、二维概率分布反映了随机过程在不 同时刻的状态之间的统计特性； 2、随机过程的二维概率分布与多维随 机变量的二维概率分布所描述的物理概念 是不相同的。随机过程的二维概率分布描 述随机过程在不同时刻的状态之间的关系， 二维随机变量的二维概率分布则描述不同 变量之间的关系。
5、n维分布函数和概率密度函数 例2.2 讨论贝努里随机过程 特性。 的一、二维概率
解：贝努里随机过程，在 时刻，独立地观 察某个事件 发生与否，建立事件 的指示函 数 且有概率 (2.2.7)
设 ，单位步函数（阶跃函数） 贝努里随机过程的一维概率分布函数 (2.2.8) 一维概率密度函数 (2.2.9) 贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其 随机变量 是彼此统计独立的。因此， 可得 (2.2.10)
证明： 根据题意，则随机过程的自相关函数
(2.3.6)
式中， 。
例2.7 设有随机过程 任意时刻的随机变量是 高斯的，有概率密度函数
若其任意观察时刻组的随机变量是相互独立 的，试判断 是否为严平稳过程。 解：在任意n个时刻 ，随机过程的n 个随机变量是相互独立的，即
显然， 的任意n阶概率密度函数对观察点 时刻组 是平稳的。所以 是严平稳 随机过程。
所以
故得证。
例2.6 求贝努里随机过程 的均值、自相关 函数、协方差函数和相关系数。
解 贝努里随机过程 在不同时刻 的均值
，信号取值独立，则有
而在同一时刻 ，信号取值不独立，即取 相同的值，则有
因此，自相关函数为
贝努里随机过程
的协方差函数
贝努里随机过程
的相关系数
图2-2-4 贝努里随机过程的均值，相关函数和自相关系数 (a)均值(b)相关与协方差函数(c)自相关系数
图2-1-1 噪声电压的输出波形
定义1 设随机试验E的样本空间为 ，如果 对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定 一时间t的函数 (T是时间t的变化范 围 ) 与之对应。于是，对于所有的 来说， 就得到一族时间t的函数，称此族时间的函数为 随机过程（也称随机信号）X，而族中的每一个 函数称为该随机过程的样本函数。 注：随机过程是样本函数的集合 。
例2-9 判断以下三个随机过程是否平稳？
式中， 是常数， 是相互独立的随机变 量。随机过程 在上 均匀分布。
相位
振幅
振幅、相位、频率
解：(1)当幅度为常数， 在 上均匀分布时， 数学期望和自相关函数分别为
因此，X(t) 为广义平稳过程。 (2) 当幅度为随机变量，相位为常数时，那 么每个样本函数的幅度都是随机变量A的一 个可能取值，但它们同时到达零点或最大， 均值和方差随时间变化。因此它是一个非平 稳随机过程。
证明： 根据题意有
• 严平稳随机过程的所有样本曲线都是在同 一水平直线周围随机地波动。
图2-3-6
严平稳随机过程
(3) 严平稳随机过程 的二维概率密度函数只 与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时 间起点无关。 证明： 令 度函数 ，则随机过程的二维概率密
(2.3.5)