河北省衡水中学2016届高三上学期二调数学试卷(理科)Word版含解析
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2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（CUB）∩A=( )
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）
2．正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是( )
A． B．2 C． D．
3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=( )
A． B．1 C．2 D．3
4．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则
c=( )
A．2 B．4 C．2 D．3
6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为( )
A． B． C．1 D．2
7．已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是( )
A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a
8．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）
9．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{an+an+1+an+2}是公差为2的等差数列，则S25=( )
A．232 B．233 C．234 D．235
10．函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是( )
A．[1，3] B．[] C．[，] D．[，3]
12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是( )
A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2coscos2α的值为__________．
14．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为__________．
15．已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个命题：
①d＜0； ②S11＞0；
③S12＜0；
④数列{Sn}中的最大项为S11；
⑤|a6|＞|a7|．
其中正确的命题是__________（写出你认为正确的所有命题的序号）
16．已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn=log2（an+1），求数列{bn•an}的前n项和为Sn．
18．已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且
（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．
19．已知函数的最小正周期为3π．
（I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值；
（II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，，求角C的大小；
（Ⅲ）在（II）的条件下，若，求cosB的值．
20．已知函数f（x）=ex﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；
（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
21．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．
（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（CUB）∩A=( )
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，
B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∴CUB=（﹣1，3），
∴（CUB）∩A=（0，3），
故选：D
【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．
2．正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是( )
A． B．2 C． D．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值．
【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，
∴，
即q2﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍去），
∵=4a1，
∴，
即2m+n﹣2=16=24，
∴m+n﹣2=4，即m+n=6， ∴，
∴=（）=，
当且仅当，即n=2m时取等号．
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．
3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=( )
A． B．1 C．2 D．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，
∴==2×1=2．
∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直，
∴==0，
∴22﹣2λ=0，
解得λ=2．
故选：C．
【点评】本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
4．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )
A． B．
C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式． 【解答】解：由题意m=2． A=±2，
再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，
∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．
再由 是其图象的一条对称轴，可得 +φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，
故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin（2x+）+2，
故选B
【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则
c=( )
A．2 B．4 C．2 D．3
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．
【解答】解：=
==1，
即有2cosC=1，
可得C=60°，
若S△ABC=2，则absinC=2，
即为ab=8，
又a+b=6，
由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab
=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，
解得c=2．
故选C．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
