〖009〗高考数学点拨精华：人教必修①1.2教材解读

编写意图总体而言，本章教科书的编写，注意吸收以往教科书的优点，强调在继承基础上进行创新．在内容的选择上，围绕圆锥曲线的核心概念，以椭圆、双曲线、抛物线的主要性质及其应用为重点，做到削支强干；在结构体系上，强调知识发生发展的逻辑合理性，加强背景和应用，从而使学生在三种曲线的学习中经历完整的研究过程；注重按照学生学习心理组织教科书内容，加强数学思想的引导和解题方法的分析，循序渐进地逐步提高论理要求；注重坐标法思想内涵的理解和应用，减少机械套用、死记硬背；注重与平面几何、函数等的联系与综合，强调代数运算与逻辑推理的融合，体现解析几何的学科特征；注重利用数学史料，渗透数学文化，等等．贯彻"问题引导学习"思想，通过"观察""思考""探究""信息技术应用"等栏目，以层层递进、逻辑连贯的"问题串"为载体创设系列化数学活动，引导学生开展创造性学习活动；强调根据学生的认知规律，采用"归纳式"呈现学习内容，引导学生自己归纳和概括数学结论；注意使用"先行组织者"手段，从方法论高度，对如何观察、发现圆锥曲线的几何特征，如何构建研究路径，如何发现圆锥曲线的性质，如何用坐标法研究几何问题等加强指导，以提高教科书的思想性；采用单元制，在坐标法的统领下，以直线与圆的方程为基础，从椭圆、双曲线到抛物线顺次展开内容；在语言叙述上尽量做到条理清楚、简洁明快；等等．以下就几个主要问题介绍教科书的设计思路．1．关于研究对象的定义我们知道，因为一个数学对象的本质特征可以有多种等价的表现形式，所以数学对象的定义是不唯一的．数学定义是选择的结果．这就带来一个问题：如何选择才更有利于我们展开对这个对象的研究？对这个问题的回答可能是没有统一标准的．事实上，数学定义是一代代数学家不断研究，改进的结果，特别是一些处于基础地位的概念，例如函数的定义，有时，对一个数学对象的不同定义也反映了人们对其本质属性的认识的不同抽象层次．因为要考虑学生的可接受性，所以对于教科书的编写而言，不一定是越严谨的定义越好，这样，在编写教科书的过程中，就需要思考怎样的定义才能既反映数学对象的本质特征，又能与学生的认知水平相适应．在阿波罗尼奥斯（A ()222p y x a x a =-2y px =222p y px x a =+22b p a =（，）到定点F （40）的距高和它到定直线：=254的距离的比是常数45，求动点M的轨迹"和"用信息技术探究点的轨迹：F是定点，是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线的距离的比e是小于1的常数．用信息技术软件画出动点M的轨迹，观察这个轨迹，可以发现它是一个椭圆．在094430）的距离和它到定直线：=2ac的距离的比是ca．（a 1时，点M的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当= 1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？"然后通过"探究"栏目，让学生用信息技术画出动点的轨迹，在此基础上再给出抛物线的定义．教科书的这种处理方式，兼顾了三种圆锥曲线的"个性"与"共性"，使概念的引入、定义的给出基本做到了衔接自然、光滑．2．对解析几何学科特点的思考解析几何的创建是为了科学发展的需要，而从数学内部看，则是出于对数学方法的追求，认识清楚这一点，对于我们理解解析几何的基本思想特别重要．追溯笛卡尔（Decarte，1596－1650）创立解析几何的心路历程，可以明显看出这种追求．笛卡尔不仅在数学上作出了重要的开创性贡献，而且在哲学、生物学、物理学等众多领域都有杰出贡献．他是机械自然观的第一个系统表述者，被誉为近代哲学的开创者．他以大哲学家的眼光审视数学，认为数学立足于公理上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的．数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法，数学方法"是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而它是所有其他知识工具的源泉……所有那些目的在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关．"他研究数学，目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法．他认为，以往的几何、代数研究都存在很大缺陷：欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法，几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法；代数的方法具有一般性，其推理程序也是机械化的，但它完全受法则和公式的控制，以至于"成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像用来改进思想的科学"．所以，代数与几何必须互相取长补短．不过，他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力．于是，他提出了一个计划，即任何问题一数学问题一代数问题一方程求解．他把精力集中在把代数方法用于解决几何问题的研究，其结果是创立了解析几何．笛卡尔的理论建立在两个观念的基础上：坐标观念；利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念．基于坐标法思想，给出了一系列新颖的结论．例如：曲线的次数与坐标轴的选择无关，因此选择的坐标轴要使得方程越简单越好；在同一坐标系内写出两条不同曲线的方程，解它们的联立方程组就求出两条曲线的交点；用方程的"次"给几何曲线分类，圆锥曲线的方程是二次的（没有证明）；等等．总之，笛卡尔创立解析几何的原动力是他对普适性方法的追求．"创造一种方法，以便用来解决所有的几何问题，给出这些问题的所谓一般的解法"的思想指引着他的创新之路，而几何、代数和一般变量概念的结合是坐标法的起源，所以解析几何具有浓厚的"方法论"色彩．了解这一点很重要，因为这能使我们]理解为什么在解析几何的教学中要把重点放在对坐标法的理解和应用上，而不是把精力浪费在一些复杂的求曲线方程的代数变换上．基于上述分析，我们把"解析几何是一种方法论"作为本章内容的一个核心定位，并在编写过程中把如何讲好"方法论"作为教科书的一个关键问题．具体而言，教科书作出了如下安排：第一，在章、节引言及小结中，用明确的语言表述数形结合思想，坐标思想．例如，本章小结中明确指出，"用坐标法研究几何问题，首先要注意观察相应几何图形的特征，认识确定几何图形的要素，例如椭圆是平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这里‘两个定点’‘距离之和为定长’等就是确定椭圆的几何要素；然后再用坐标法解决，即利用几何特征合理建立坐标系，用坐标表示点，用方程表示几何要素的关系．在此基础上，利用方程研究曲线的性质．可以看到，解析几何中研究椭圆、双曲线、抛物线的过程和方法是一致的．这表明，用代数方法研究几何问题（如圆锥曲线的性质），其处理方法具有统一性．实际上，通过运算来发现几何图形的性质，不但能迅速地证明曲线的性质，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的，这是解析几何的优势所在，是体现数形结合思想威力的典范……用坐标法研究几何图形时，代数式的化简、方程的变形与等价转化等起着很重要的作用．例如，当我们把椭圆的方程化简为标准方程后，就能容易地看出椭圆的范围、对称性、顶点等，发现长轴、短轴、焦距之间的关系，并由此得到刻画椭圆扁平程度的离心率等．所以，学习解析几何需要较强的逻辑推理，数学运算等能力．"第二，在正文的表述中，教科书随时随地强调坐标法的基本思想，加强"先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决"的过程，并在"如何以直角坐标系为参照，确定问题中的几何要素"上加强引导，体现"从推理几何到解析几何"的过渡．按上一章小结中给出的坐标法基本步骤呈现标准方程的推导过程、例题的解答过程，强调用坐标法研究问题的规范，完整地给出利用方程讨论图形的几何性质的示范，并以"三步曲"为指导，在小结中进一步给出用坐标法解决圆锥曲线问题的基本思路．第三，从圆锥曲线的标准方程出发，用坐标法研究圆锥曲线的性质及数学内外的各种应用问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量．为使学生集中精力于坐标法的学习，在素材选择上，教科书特别关注了圆锥曲线的性质．把那些通过不太复杂的代数运算就能得出的性质及其在现实中的应用设计为例题、习题．另外，与这套教科书的其他章比较，本章设置的拓展性资源是比较多的，其目的也是为了给学生提供从不同角度感悟解析几何思想与方法的机会．以上从数学的角度介绍了本章的编写思考，下面我们再从学与教的角度继续介绍．3．根据学生学习心理安排教学内容与以往比较，在强调教科书的科学性、逻辑性、结构性的同时，特别关注学生的学习心理，注意按学生的心理逻辑组织教学内容，这是本套教科书的一个总体特色．本章内容编写中注意了如下几个方面：（1）强调"先行组织者"的使用．认知心理学认为，"先行组织者"有助于学生形成有意义学习的心向，能为学生提供－个学习的整体架构，避免学习的盲目性，同时也能为新旧知识搭建联系通道．前已指出，解析几何具有"方法论"的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是"先行组织者"的"强项"．所以，在教科书内容的展开过程中，特别是在章节的开篇，内容之间的衔接与过渡等地方，我们赋予"先行组织者"以重要地位，特别注重用坐标法讨论问题基本思路的引导．实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学，对于学生获得数学基本思想，积累基本活动经验，增加发现和提出问题的可能性，以及培养理性思维等都能起到非常重要的作用．（2）坐标法、数形结合、运动变化思想等"默会知识"，采取"渗透一明确－应用"的过程．我们知道，坐标法、数形结合思想等都是数学中关于"怎么想""怎么做"的知识，属"默会知识"范畴．这种知识的掌握，更多地依赖于实践中的体悟．因此，本章在"直线与圆的方程"中明确坐标法思想、提供用坐标法解决平面几何问题的示范和练习的基础上，进一步明确了坐标法和数形结合思想，并加强了用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中加深理解，逐步养成用坐标法思和解决问题的思维习惯．（3）尽量用"归纳式"呈现教科书，注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会，这是与以往教科书有很大区别的地方．例如，对"曲线的方程""方程的曲线"概念的处理，虽然它在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体，但这也是一个不容易把握的概念，没有足够的知识准备，不仅会导致学生理解的困难，还会使他们产生"为什么要这样来要求"的疑问．因此，教科书在圆锥曲线方程的推导中，继续采取"结合具体曲线呈现相关内容"的方式．最后在本章小结中对"曲线与方程的关系"进行归纳，并指出"利用坐标系建立曲线与方程的这种关系，是解析几何的基础，在今后的学习中可以进一步体会到"．4．设计系列化的数学活动引导学生开展有结构有逻辑的系统学习以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境．提出数学问题，引导学生以独立思考、自主学习，合作交流等多样化的方式开展数学学习，是《课程标准（2021年版）》的基本理念．为此，教科书强调构建系列化数学活动，注重创设与学生的现实紧密关联的真实问题情境，引导学生开展体验学习、合作学习、建构学习，通过有结构、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟．系列化的数学活动涵盖了通过数学抽象获得研究对象，构建研究数学对象的基本路径，发现和提出值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，直至建立数学模型解决现实问题，这是通盘考虑课程内容基础上作出的设计．在本章的数学活动设计中，教科书根据圆锥曲线的内容特点，首先注意发挥"史料"的作用，从整体上提出圆锥曲线的产生以及所要研究的问题．如前所述，解析几何的发明既是为了解决人类实践活动中提出的问题，又是为了探寻科学研究的普适性方法．教科书以历史资料为素材，以用坐标法研究几何图形的过程与方法为导向，从宏观上提出系列问题，引导学生感受坐标法．这样的处理对学生把握解析几何的基本思想和学习方向很有好处，这是。

1
2


所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =

章引言及章头图
章引言的内容主要包括：圆锥曲线名称的由来，对圆锥曲线的研究历史，本章主要学习内容和研究方法，以及圆锥曲线在科研、生产和生活中的广泛应用．
用一个平面截圆锥，当平面与圆锥的轴的夹角α不同时，可以得到不同的截口曲线截面与圆锥侧面的交线图3－2．
当α＝错误!时，截口曲线为圆；当θ<α<错误!，θ为圆锥的轴与其母线的夹角时，截口曲线为椭圆；当α＝θ时，截口曲线为抛物线；当0<α<θ时，截口曲线为双曲线．由于上述曲线是由平面截圆锥所得，人们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．它们具有许多类似的性质．
人类探索、研究圆锥曲线的历史悠久．根据《圆锥曲线论》的记载，公元前3世纪，阿波罗尼奥斯就用纯几何的方法对圆锥曲线进行了深入研究．公元6世纪拜占庭数学家安提缪斯、17世纪法国数学家拉伊尔、1822年比利时数学家旦德林等都从不同角度对圆锥曲线进行了研究．
特别值得一提的是，17世纪后，人们开始通过坐标系，用代数方法研究圆锥曲线，对圆锥曲线的认识更加精致．
本章类比用坐标法，通过方程研究直线与圆，在分析椭圆、双曲线和抛物线本质几何特征的基础上，选择合适的平面直角坐标系，建立它们的方程，运用方程研究它们的简单几何性质，体会它们在科研、生产和生活方面的广泛应用．
1。

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三点共线 C
4
3D A 3B
设i,j, k是空间中三个两两垂直的向量， 且表示它们的有向线段有公共起点O.
p xi y j zk
（x,y,z）是唯一实数对。能否证明？
探究：若a、 b、 c 是空间中的三个不共面向量，
则空间中的任意一个向量 p 是否能用a、 b、 c
O
2
2
1 OB 1 OC 1 OA
M
22 2
OP OM MP 1 OA 2 MN 23
A
Q
P
C
1 OA 2 (1 OB 1 OC 1 OA)
N
2 1
OA
32 1 OB
1
2 OC
2
同理，OQ
1
OA
1
B
OB
1
OC
633
36 6
作业：P14#2，P15#7
OB
（2）基底中的三个A向量都不是 0；
（3）基底中的a任意两个向量P都′ 不共线；
反证法
例1（改编）.已知空间四边形OABC的对角线为OB、AC，
N分别是对边OA、BC的中点，P、Q是线段MN三等分点，
向量 OA、OB、OC表示向量MN，OP，OQ.
解：MN ON OM 1 (OB OC) 1 OA
1.2空间向量的基本定理
课前练习：已知 a + b + c = 0 ，| a |=2，| b |=3，| c |= 19 ，
则向量 a 与 b 的夹角 a, b 为（ a 、 b 、 c ，对应向量为 AB 、 BC 、 CA ，
则 A、B、C 三点构成（ C ）
这三个向量来表示？