第六章 概率论基础习题参考答案

第六章一、填空题 1． 0； 2．21； 3． )](1[)](1[1z F z F Y X -⋅--。

二、计算题1．解：由X故和2． 解：解：由),(Y X 的联合分布律可有),max(Y X123223333从而得到 ⑴⑵⑶3．解：因X 服从]1,0[上均匀分布，故⎩⎨⎧<<=,0,101)(其它x x f解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数y ，)(y F Y }{y Y P ≤=}13{y X P ≤+=.当1≤y 时，)(y F Y }113{≤+=X P 0=；当1>y 时，)(y F Y }13{y X P ≤+=}31{-≤=y X P ⎰-∞-=31)(y X dx x f⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-==⎰⎰-.4,11,41,3)1(11031y dx y y dx y .综上，)(y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=.4,1,41,3)1(,1,0y y y y 故13+=X Y 的密度函数为)(y f Y )(y F Y '=⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,41,31其它y解法二：公式法因13+=x y 单调处处可导，其反函数为31)(-==y y h x ，且31|)(|||='='y h x ，则由公式(2.6)有，)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅=.,0,41,31311其它y4．解：因为X 服从参数1=λ的指数分布，故⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x 解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数y ，)(y F Y }{y Y P ≤=}{y e P X ≤=.当1≤y 时，)(y F Y }{y e P X ≤=0=； 当1>y 时，)(y F Y }{y e P X≤=}ln {y X P ≤=⎰∞-=y X dx x f ln )(ydx e y x 11ln 0-==⎰- 综上，)(y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=.1,11,1,0y yy故X e Y =的密度函数为)(y f Y )(y F Y '=⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0,1,12其它y y解法二：公式法因x e y =单调处处可导，其反函数为y y h x ln )(== ，且|1||)(|||yy h x ='='，则由公式(2.6)有，)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅=-.,0,1,112ln 其它y yy ey5．因X 与Y 是相互独立的随机变量，故),(Y X 的联合密度函数为=),(y x f )(x f X )(y f Y ⎩⎨⎧>≤≤=-,,0,0,10,其它y x e y⑴ }{X Y P <110][--==⎰⎰e dx dy e xy⑵对任意的实数z ，)(z F Z }{z Y X P ≤+=⎰⎰≤+=zy x dxdy y x f ),(，当0≤z 时，0),(=y x f ，0)(=z F Z ； 当0>z 时，)(z F Z }{z Y X P ≤+=⎰⎰≤+=zy x dxdy y x f ),(⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=<<+-==------⎰⎰⎰⎰.1),1(1,10,101000z e e dy e dx z e z dy e dx zxz y z x z y z综上,可得Z 的分布函数为)(z F Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<<+-≤=--.1),1(1,10,1,0,0z e e z e z z z z 再对其求导，得Z 的密度函数为=)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤=--.1),1(,10,1,0,0z e e z e z z z 6．解：⑴ 由1}0{==XY P ，有0}0{=≠XY P ，故}1,1{=-=Y X P 0}1,1{====Y X P ，由于}1{-=X P }1,1{}0,1{=-=+=-==Y X P Y X P }0,1{=-==Y X P于是41}1{}0,1{=-===-=X P Y X P ， 同理 41}1{}1,1{}0,1{}0,1{=====+=====X P Y X P Y X P Y X P 21}1{}1,1{}1,0{}1,1{}1,0{=====+==+=-====Y P Y X P Y X P Y X P Y X P })0,1{}1,0{}0,1{(1}0,0{==+==+=-=-===Y X P Y X P Y X P Y X P0)412141(1=++-=所以),(Y X 的联合分布律为⑵取)(YX的可能取值)0,0(，由于,P=YXXP，=YP(=}0{}0≠{=,0)0所以X与Y不独立.。

⎝ 2 2⎠
2
则X
=Y
+θ
−
1 2
，
X (1)
= Y(1)
+θ
−
1 2
， X(n)
= Y(n)
+θ
−
1 2
，即
1 2
(
X
(1)
+
X(n)) =
1 2 (Y(1)
+ Y(n) ) + θ
−1 2
，
可得 E( X ) = E(Y ) + θ − 1 = E(Y ) +θ − 1 = θ ， Var(X ) = Var(Y ) = 1 Var(Y ) = 1 ，
y( n) 0
⎤ ⎥⎦
=
1 0
y(nn+)1dy(n)
=
n
1 +
2
y n+2 (n)
1 0
=
1 n+
2
，
即 Var(Y(1) )
=
(n
2 + 1)(n
+
2)
−
⎜⎛ ⎝
1 ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
+
2)
， Var(Y(n) )
=
n
n +
2
− ⎜⎛ ⎝
n ⎟⎞2 n +1⎠
=
(n
n + 1)2 (n
=
1 12n
>
Var⎢⎣⎡
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
2(n
1 + 1)(n

第六章 样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P=2628.0)]25(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i iXP 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i iXP解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i i i i i i X P X P χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλn X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。

一、你还记得什么是频数、什么叫频率、什么叫概率吗试举例说明.二、将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”.（1）一次实验中，硬币两次落地后可能出现几种情况（2）做20次实验，根据实验结果，填写下表.结果正正正反反反频数频率（3）根据上表，制作相应的频数分布直方图.（4）经观察，哪种情况发生的频率较大.（5）实验结果为“正反”的频率是多大.（6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，60次，80次，100次的实验结果，将相应数据填入下表。

次数40次60次80次100次“正反”的频数“正反”的频率（7）依上表，绘制相应的折线统计图.（8）计算“正反”出现的概率.（9）经过以上多次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近.小知识：在篮球比赛和足球比赛中，人们往往用抛硬币的方法决定由谁先来开球.那么抛硬币后，正面向上和反面向上的几率有多大呢相等吗下面我们来想办法解决这个问题.首先想到的是实验方法.投掷硬币500次记总抛出次数正面向上次正面向上频率§6.1.1频率与概率（次） 数（次） （…%）500225我们得到的是硬币正面向上的频率的百分比.即硬币正面向上的频率.其次我们又想到硬币的正、反面都没有什么特殊性，所以在落下时正面向上和反面向上的可能性相等.所以正面向上与反面向上都有21的可能性，也就是说正面向上的概率是___________.生活中常见一些概率问题的应用，例如彩票.20选5第2003178期中奖号码 05、12、15、16、17 一等奖 6注 18678元 二等奖 1214注 50元 三等奖 19202注5元本期销售额 548538元出球顺序05、15、12、16、17一、掷一枚硬币，落地后，国徽朝上、朝下的概率各是多少二、质地均匀的骰子被抛起后自由落在桌面上，点数为“1”或“3”的概率是多少三、掷两枚硬币，规定落地后，国徽朝上为正，国徽朝下为“反”，则会出现以下三种情况.“正正”“反反”“正反”分别求出每种情况的概率.（1）小刚做法：通过列表可知，每种情况都出现一次，因此各种情况发生的概率均占31. 可能出现正正正反反反§6.1.2频率与概率的情况 概率31 31 31 小敏的做法：第一枚硬币的可能情况第二枚硬币的可能情况正反正 正正 反正 反正反反反通过以上列表，小敏得出：“正正”的情况发生概率为41.“正反”的情况发生的概率为21，“反反”的情况发生的概率为41. （1）以上三种做法，你同意哪种，说明你的理由.（2）用列表法求概率时要注意哪些一、如图（1）是不是所有的随机事件的概率都可以用画树形图或列表的方法来求，试举例说明你的理由.二、图（2）钉落地实验，将图钉抛在地上. （1）观察图钉落地后出现几种状态.（2）猜想哪种情况发生的概率大（3）连续抛掷50次，将实验结果填在下表. 落地状态钉尖朝上钉尖着地频 数 频 率§6.2.1频率与概率（4）实验结果中各种情况发生的概率与你猜想的概率是否相符呢（5）如果班里有50位同学，每人做50次实验共做了2500次实验，请将实验数据汇总，再进一步计算各种情况发生的频率.（6）现在你能估计钉尖着地的概率了吗（7）以上做法是：利用大量的实验数据计算出某一情况发生的频率，再利用此频率来估计这一情况发生的概率，你还能举出生活中利用这一原理求概率的实例吗三、（如下图所示）把一小球从箭头处自由释放，落入一个内有阻碍物的容器中，小球一种情况是落入A槽，一种是落入B槽，你能通过列表法分别算出它们的概率吗一、填空题1.口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，用实验的方法估计摸到白球的概率为_________.2.把一对骰子掷一次，共有_________种不同的结果.3.任意掷三枚均匀硬币，如果把掷出正面朝上记为“上”，掷出正面朝下记为“下”，所有的结果为_________.4.必然事件的概率为_________，不可能事件的概率为_________，不确定事件的概率范围是_________.5.频数和频率都能反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度，我认为：（1）频数和频率间的关系是_________.（2）每个实验结果出现的频数之和等于_________. （3）每个实验结果出现的频率之和等于_________..上学方式 步行 骑车 乘车 “正”字法记录正正正频数 9 频率40%抛掷结果 5次 50次 300次 800次 3200次 6000次 9999次 出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率20%62%45%51%%%%（1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________. （2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_________次正面，正面出现的频率是_________.那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________. 二、选择题8.给出以下结论，错误的有（ ）①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生. ②如果一件事发生的机会达到%，那么它就必然发生. ③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生. ④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生. 个 个 个 个9.一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占§6.2.2频率与概率50%”他的说法（）A.正确B.不正确C.有时正确，有时不正确D.应由气候等条件确定10.某位同学一次掷出三个骰子三个全是“6”的事件是（）A.不可能事件B.必然事件C.不确定事件可能性较大D.不确定事件可能性较小三、解答题11.请制作一个方案说明你在你们班的同学中花“零花钱”属于多的还是少的12.走近你家附近的商店，统计几类主要产品的月销量，制出相应的条形统计图.13.与他人合作掷骰子100次，要求（2）制出条形统计图.（3）计算出各点的概率.（4）有可能再现7点吗它的概率为多少一、有400位同学，其中一定有至少两人生日相同吗若有367位同学呢说说你的理由.二、通过本节实验，你发现50位同学中有至少两位同学出生月日相同的频率占多少，估计这个情况的概率是多少三、通过本节学习，我们发现有些实验估计起来既费时，又费力，可以用摸球实验或其他模拟实验.（1）请再回顾一下我们是怎样将复杂的调查转化成模球实验的（2）请熟悉你的计算器产生随机数字的操作程序.四、取出一副扑克中的红桃A至红桃K共13张牌，牌面朝下放在桌面上，每次摸取一张看后放回，共摸取4次，试用计算器产生的随机数进行摸拟实验.小知识：小威和小丽在同一天过生日，他们班共有50名同学.想一想：这样能说50个人中2个人生日相同的概率为1吗为什么在§这一节我们将来研究怎样调查50个人中2个人生日相同的概率.下面我们来考虑几个类似的问题：1.估计六个人中同属相的概率.2.估计六个人中同星座的概率.§频率与概率在研究这种问题中，要想使估算的概率准确，就必须尽可能多的增加调查对象，这样既费时又费力，想一想有什么方法可以替代做调查来估算概率呢预习下节课的内容。