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第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。
4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。
5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。
6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。
9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。
以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。
试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。
10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
第一章 事件与概率1、解：(1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P ｛只订购A 的｝=0.30,P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4) P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.A C AB A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(2、解：（1）ABC ，若A 发生，则B 与C 必同时发生。
（2），B 发生或C 发生，均导致A 发生。
A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且AB AC B A C B A ∪∪∪（3）与B 同时发生必导致C 发生。
A C AB ⇒⊂C B A BC A ∪⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
（4）n A A A ∪ ∪∪21)()(11121−−−−++−+=n n A A A A A A 3、解：121121−+++n n A A A A A A A ． (或)＝C AB 4、解：（1）={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
第5章 极限定理1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。
2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。
4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2kk P X =±=； （2）(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。
7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。
8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。
9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n nηξξ=++，11()n n a E E nξξ=++，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。
10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而0mn→时， 22211~2nmn n e n m n π-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭。
12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。
13、求证，在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt ex x-∞--≤≤+⎰。
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
1第5章 极限定理解答1.证：对任意0x >，11{}()()()axayaxaxy xy xy xP x dF y e dF y e dF y eeξ≥≥≥≥==≤⎰⎰⎰1()ay axa axe dF y eE eeξ∞-≤=⎰2、证：()h ξ为非负随机变量，所以对0c >有1{()}()()h h x cx cP h c dF x xdF x cξ≥≥≥=≤⎰⎰11()()h xdF x E h ccξ∞≤=⎰。
4、解：现验证何时满足马尔可夫条件2110n k k D n ξ=⎛⎫→ ⎪⎝⎭∑，2211022k E k k ξ=-=，2221122sssk D kkkξ=+=。
若12s <，这时210s -<，利用k ξ间的独立性可得222122211110()sn nss k k k n n D knn n n n ξ-==⋅⎛⎫=≤=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑。
若12s ≥，则 222211111110()2n nnsk k k k n D kk n n nnnξ===+⎛⎫=≥=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。
所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。
6、证：（1）0k EX =，()()221122422kkk D X k =⋅+-⋅=，11222221111144440()1433n n n nk k k k D X D X n n n nnn++==-⎛⎫==⨯=-→→∞ ⎪-⎝⎭∑∑。
不满足马尔可夫条件。
（2）()()222121110,22122kkk k k k E X D X ++==⋅+-⋅=，2211110()n k k D X n n n n n =⎛⎫=⋅=→→∞ ⎪⎝⎭∑。
满足马尔可夫条件。
（3）()32221122110,22k k EX D X k k k k k ==⋅+-⋅=，23222221111111(1)1()22n nnk k k k n n D X kkn n n nn===+⎛⎫=≥=⋅→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。
李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案第1章 事件与概率2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把nA AA 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n nn n n nn nC C C C；（2）0)1(321321=-+-+--nn n n n nnC C C C；（3）∑-=-++=ra k ra ba kb r k a C C C.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m mm m m m =++只的概率。
13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：nm x x x x <<<<< 21，试求Mxm=的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有39、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,，求()AB P 及()B A P 。
