华中师范大学《概率论基础》练习题库及答案

第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p −1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f L ==（2）,,2,1,!)(L ==k k c k f kλ 0>λ。

4、证明函数)(21)(||∞<<−∞=−x e x f x 是一个密度函数。

5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>−a P ξ。

7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=−∞F 1)(=+∞F 。

8、试证：若αξβξ−≥≥−≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+−≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y −有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。

证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。

第一章 概率论基础一、填空题1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P Y ，若A ，B 互不相容，则=)(B P ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P ．2．设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ．5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译 出的概率为 ． 二、选择题1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ ）．（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ ）．（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．3．设C AB ⊂，则 （ ）．（A ） C AB ⊃ ； （B ） C A ⊂且C B ⊂；（C ） C B A ⊃Y ； （D ）C A ⊂或C B ⊂．4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系：（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2）A 和B 有一个发生，则C 必发生；（3）若A 发生，则B 必不发生；（4）A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+．3．将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率：（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球；（3）C 是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球．4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0, 1, 2, 3）．5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”．求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）收报台收到信号“—”的概率；（3）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．。

概率论基础第一版课后练习题含答案第一章试验与事件习题1.1在一家商店的百货部有不少于三只铅笔和不多于五只铅笔。

一名顾客在不知道这一点的情况下购买两只铅笔。

试问顾客买到至少一枝铅笔的概率是多少？答案：假设所有可能购买的铅笔数量为N，并设顾客购买的两支铅笔为A和B。

1. 所有购买方式：- 购买一枝铅笔的情况有3+4+5=12种 - 购买两枝不同的铅笔的情况有$C_{3}^{3} \\times C_{4}^{4} \\times C_{5}^{5} = 1$ 种 - 购买两枝相同的铅笔的情况有C32+C42+C52=20种2. 至少购买一枝铅笔的情况是，购买两枝不同的铅笔、购买两枝相同的铅笔、只购买一枝铅笔。

即(1+20+12)种。

因此，顾客买到至少一枝铅笔的概率为：$P=\\dfrac{1+20+12}{3+4+5 \\choose 2}=0.9$。

习题1.2小明受邀参加某微信群的聚会，詹嫣是这个群的一员。

在该群中，除了詹嫣外，其他人不能辨别出小明和任何一位其他人是否是同一人。

试问，如若只在詹嫣的帮助下，做到让三位不知情的其他成员分不清他与其他成员之间的关系，则考虑以下概率事件： - 以A表示小明与已知一人不是同一人 - 以B表示小明与已知两人不是同一人 - 以C表示已知两人中，至少一人就是小明 - 以D表示已知的三个人均不是小明那么事件A，B，C，D中，哪些是不可能发生的？哪些是必然发生的？哪些是可能发生的？答案：- 不可能发生的事件：B和D。

因为如果小明与已知的两人都不是同一人，那么已知的两人肯定是同一人，与已知的两人中，至少一人就是小明的条件矛盾；如果已知的三个人均不是小明，那么小明就不可能在群里。

- 必然发生的事件：C。

因为在已知的人中，肯定至少有一个人是小明。

- 可能发生的事件：A。

因为无法确定小明是与已知的哪一位不是同一人。

概率论基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机变量X服从标准正态分布，P(X≤0)的值为：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=10，p=0.3，则P(X=3)的值为：A. 0.0573B. 0.05734C. 0.05735D. 0.0574答案：A3. 若随机变量X与Y相互独立，则P(X>Y)的值为：A. P(X)P(Y)B. P(X) - P(X≤Y)C. 1 - P(X≤Y)D. 1 - P(X)P(Y)答案：C4. 随机变量X服从泊松分布，其期望值为λ，若λ=5，则P(X=3)的值为：A. 0.175467B. 0.175468C. 0.175469D. 0.17547答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为：A. f(x) = 1/(b-a), a≤x≤bB. f(x) = 1/(a-b), a≤x≤bC. f(x) = 1/(a+b), a≤x≤bD. f(x) = 1/(a-b), b≤x≤a答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = __________，其中μ为均值，σ^2为方差。

答案：1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))2. 已知随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中x≥0，则其期望值为E(X) = __________。

答案：1/λ3. 若随机变量X与Y相互独立，且P(X) = 0.6，P(Y) = 0.4，则P(X∩Y) = __________。

答案：0.244. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=5，p=0.2，则P(X≥3) = __________。

答案：0.031255. 随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为P(X=k) = (1-p)^(k-1)p，其中k=1,2,3,...，则其方差Var(X) = __________。

概率第⼀、⼆章测试题（含答案）第1章随机事件和概率、第2章条件概率与独⽴性⼀、选择题1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A ⼀定互不相容的事件为（A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ?2.（01，难度值0.93）对于任意⼆事件A 和B ，与B B A =?不等价的是（A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成⽴的是（）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独⽴ .C 事件A 与B 相互对⽴ .D 事件A 与B 互不独⽴5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有⼀个发⽣的概率等于（）.A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P A B +-7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式⼦成⽴的是（）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独⽴ .D A B ?9．设A 、B 互不相容，()()0,0P A P B ≠≠，则下列结论肯定正确的是（）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A=（）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111．（98，难度值0.69）设A ，B 是两个随机事件，且00，)|()|(A B P A B P =，则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠ （C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠ 12．随机事件A , B ，满⾜21)()(==B P A P 和1)(=?B A P ，则有（A ）Ω=?B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=?B A P（D ）0)(=-B A P13．设随机事件A 与B 互不相容，0)(>A P ,0)(>B P ，则下⾯结论⼀定成⽴的是（A ）A ，B 为对⽴事件（B ）A ,B 互不相容（C ） A, B 不独⽴（D ）A, B 独⽴ 14．对于事件A 和B ，设B A ?，P(B)>0，则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P =（B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+（D ）)()(A P B A P =+15．设事件A 与B 同时发⽣时，事件C 必发⽣，则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P （C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ?=16．（98，难度值0.62）设A,B,C 是三个相互独⽴的随机事件，且0（A ）B A +与C （B ）AC 与C （C ）B A -与C （D ）AB 与C17．（00，难度值0.42）设A, B, C 三个事件两两独⽴，则A, B, C 相互独⽴的充要条件是（A ）A 与BC 独⽴（B ）AB 与A+C 独⽴（C ）AB 与AC 独⽴（D ）A+B 与A+C 独⽴ 18．将⼀枚均匀的硬币独⽴地掷三次，记事件A=“正、反⾯都出现”，B=“正⾯最多出现⼀次”，C=“反⾯最多出现⼀次”，则下⾯结论中不正确的是（A ）A 与B 独⽴（B ）B 与C 独⽴（C ）A 与C 独⽴（D ）C B ?与A 独⽴ 19．进⾏⼀系列独⽴重复试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2 次之前已经失败3次的概率为（A ）3)1(4p p - （B ）3225)1(p p C -（C ）3)1(p -（D ）32)1(4p p -⼆、填空题1．（97，难度值0.73）⼀袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个⽩球，今两⼈从袋中各取⼀球，取后不放回，则第⼆个⼈取到红球的概率为__________ 2.（97，难度值0.68）设A ，B 是任意两个随机事件，则=++++)})()()({(B A B A B A B A P3．已知A 、B 两事件满⾜条件()()P AB P AB =，且()P A p =，则()_______P B = 4．已知13()()(),()()0,()416P A P B P C P A B P B C P A C ======，则,,A B C 都不发⽣的概率为__________5．随机事件A 、B 满⾜()0.4,()0.5,()()P A P B P A B P A B ===，则()P A B = 6．（99，难度值0.56）设两两相互独⽴的三事件A ,B 和C 满⾜条件：φ=ABC ，21)()()(<==C P B P A P ，且已知169)(=C B A P ，则P(A)=7.（00，难度值0.67）设两个相互独⽴的事件A 和B 都不发⽣的概率为91，A 发⽣B 不发⽣的概率与B 发⽣A 不发⽣的概率相等，则P(A)= 8．设事件A 和B 中⾄少有⼀个发⽣的概率为56，A 和B 中有且仅有⼀个发⽣的概率为23，那么A 和B 同时发⽣的概率为_________ 9．设随机事件A, B, C 满⾜41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，则A, B, C 三个事件中⾄少出现⼀个的概率为。

概率初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 某事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是（）。

A. 0.5B. 0C. 1D. 0.3答案：C2. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是（）。

A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A3. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，那么P(X=3)是（）。

A. 0.3B. 0.03C. 0.09D. 0.33答案：C4. 某次考试，甲、乙、丙三人的成绩独立，甲通过的概率为0.7，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.5，那么三人都通过的概率是（）。

A. 0.21B. 0.35C. 0.105D. 0.05答案：C5. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，那么P(-1<X<1)是（）。

A. 0.6826B. 0.95C. 0.8413D. 0.9772答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 概率的取值范围是（）。

答案：[0,1]2. 随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，则P(X=2)=（）。

答案：0.33. 某次实验中，事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∪B)=（）。

答案：0.44. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,3)，则E(X)=（）。

答案：1.5三、计算题（每题10分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.2)，求P(X≥3)。

答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C_5^3*0.2^3*0.8^2+C_5^4*0.2^4*0.8+0.2^5=0.0512+0.0128+0.00032=0.064322. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，求P(1<X<3)。

答案：P(1<X<3)=Φ((3-2)/2)-Φ((1-2)/2)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=0.6915-0.3585=0.333四、解答题（共40分）1. 某班有50名学生，其中有20名女生，30名男生。

概率基础测试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X>0)等于多少？A. 0.5B. 0.6826C. 0.8413D. 0.5000答案：A解析：标准正态分布的均值为0，标准差为1，对称轴为X=0，因此P(X>0)等于0.5。

2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)等于多少？A. 1.5B. 3C. 2.7D. 0.3答案：B解析：二项分布的期望值E(X)=np，所以E(X)=10*0.3=3。

3. 一组数据的平均数是5，方差是4，那么这组数据的中位数是多少？A. 4B. 5C. 6D. 无法确定答案：B解析：平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数。

在没有具体数据的情况下，无法确定中位数，但根据平均数的定义，可以推断中位数为5。

4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，那么P(X=1且Y=1)等于多少？A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.6答案：A解析：由于X和Y相互独立，所以P(X=1且Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)=0.5*0.3=0.15。

5. 一组数据的样本容量为100，样本均值为50，样本方差为25，那么这组数据的标准差是多少？A. 5B. 10C. 20D. 25答案：A解析：标准差是方差的平方根，所以标准差=√25=5。

6. 已知随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，那么P(X=3)等于多少？A. 0.182B. 0.273C. 0.409D. 0.546答案：B解析：泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，代入λ=4和k=3，计算得到P(X=3)=e^(-4)4^3/3!=0.273。

7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,1)，那么P(0.5<X<0.6)等于多少？A. 0.1B. 0.05C. 0.15D. 0.2答案：B解析：均匀分布的概率等于区间长度，所以P(0.5<X<0.6)=0.6-0.5=0.1，但因为题目中区间长度为0.1，所以答案为0.05。

事件表达式A B 的意思是事件A 与事件B 至少有一件发生假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B 是不可能事件. 这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从自由度为2的χ2分布. 因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则X +Y ~N (0,5). 因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有1233X X X ++是μ的无偏估计. 因为样本均值是总体期望的无偏估计.随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为3.5. 选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。

已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= 0.18. 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。

三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为0.784. 是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。

一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为0.25. 由古典概型计算得所求概率为31053210.254C ⨯⨯==。

已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=0.875，因P {X ≤1.5} 1.5()d 0.875f x x ==⎰假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )= 填 4.5，因E (X )=5⨯0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.5一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。