高中数学12点线面之间的位置关系122空间中的平行关系1预习导学案新人教B版必修2

【2019最新】高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3空间中的垂直关系知识导学案新人教B版必修2 空间中的垂直关系知识梳理1.直线与平面垂直定义:如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O,并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面垂直.易知,如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和这个平面内的任意一条直线垂直.判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.2.平面与平面垂直定义:如果两个相交平面的交线和第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.知识导学线面垂直与面面垂直是证明直线垂直的重要依据,要注意空间向平面的转化.平面与平面的垂直和平行的关系要注意区分,在平面内,“两条直线同垂直于一条直线,则这两条直线平行”,这个结论在空间不成立,推广到平面与平面上更不成立.但是,在空间“同垂直于一个平面的两条直线平行”和“同垂直于一条直线的两个平面平行”却是成立的.注意它们之间的类比.与垂直有关的问题一般都可以结合初中平面几何内容进行求解,需要注意的是,直线与直线的垂直不一定相交,这是与平面几何不同的地方,而直线和平面垂直,以及平面与平面垂直意味着它们一定相交.但是它们之间的角的关系又不是很明显,因此只能根据定义及判定定理证明垂直的结论.空间的平行与垂直采用了“线—面—线”的思路,即由直线的平行与垂直定义线面垂直,再定义面面的平行与垂直,利用线线平行与垂直判定线面的平行与垂直,进一步判定面面的平行与垂直;反过来,由面面平行与垂直的性质证明线面及线线的平行与垂直.体现了研究立体几何的一般思路.疑难突破1.求点到平面的距离有哪些常用的方法?剖析:求点到平面的距离的常用方法有:(1)直接法:由该点向平面引垂线,直接计算垂线段的长,用此方法的关键在于找到这一垂线的位置及垂足的位置.(2)转移法:指将该点到平面的距离转化为求另一点到平面的距离,通常有以下几种转移方式:一种是利用线面平行的性质(与平面平行的直线上各点到平面的距离相等)转化成求此直线上另一点到该平面的距离;另一种是利用“若一条线段的中点在一个平面上,那么它的两个端点到这个平面的距离相等”的结论把一个端点到平面的距离转化为另一个端点到这个平面的距离.(3)体积法:已知棱锥的体积和底面的面积,求顶点到平面的距离,可用体积公式的逆公式求点到平面的距离.2.空间的垂直关系.剖析:空间的垂直关系主要有:两条直线的垂直、直线与平面的垂直、两个平面的垂直.空间中的两条直线更加广泛.在平面内互相垂直的两条直线一定相交,而空间中的两条垂线可以不相交,通常把其中一条直线平移到和另一条直线相交后所得的夹角是直角就说这两条直线垂直.而对于直线和平面的垂直及两个平面的垂直一定是相交的,它们的垂直通常也可以转化为直线的垂直.。

第一章1.2.1 平面的基本性质与推论1．理解平面的三个基本性质与三个推论，并会用三种语言表示性质和推论．2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．3．能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用．1．空间点和直线的基本性质(1)连接两点的线中，________最短．(2)过________有一条直线，并且只有一条直线．2．平面的基本性质在平面β内，则B，b，( )．A．B∈b∈β B．B∈b⊂βC．B⊂b⊂β D．B⊂b∈β【做一做1－2】若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是( )．A．1个B．2个C．1个或无数个D．无数个且在同一条直线上【做一做1－3】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b且M∈l，N∈l，那么( )．A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，__________个平面．推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面．空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们________．【做一做2－1】下列命题正确的是( )．①一条直线和一个点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面；④四个点确定一个平面．A．①③ B．②③C．③④ D．②③④【做一做2－2】由4条平行直线最多可以确定( )．A．2个平面 B．4个平面C．5个平面 D．6个平面【做一做3】下列说法正确的是( )．A．四边形是平面图形B．有三个公共点的两个平面必重合C．两两相交的三条直线必在同一个平面内D．三角形是平面图形5．异面直线(1)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不________又不______的特点，即________的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如下图．(2)判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．【做一做4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1成异面直线的棱有__________条．1．对异面直线的理解剖析：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．2．平面的基本性质的作用剖析：(1)基本性质1的作用．利用基本性质1可以判断一条直线是否在一个平面内．基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义，从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形，在每个平面内都可以用初中的平面几何知识．另外，该基本性质也是判断点在平面内的方法，还可借此用直线来检验平面．(2)基本性质2的作用．作用之一是确定平面，作用之二是可用它来证明点、线共面问题．(3)基本性质3的作用．平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定两个平面的交线有着重要的作用．其一，它是判定两个平面是否相交的依据，也就是说，只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交；其二，它可以证多点共线的问题．若点是某两个平面的公共点，则该点必定在这两个平面的交线上．3．教材中的“思考与讨论”已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？剖析：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a，c可确定一个平面α.因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以AB⊂α，即b⊂α.所以a，b，c共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a，b共面，所以这些平行线都共面．题型一文字语言、图形语言和符号语言的转换【例1】将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.分析：本题实质是数学的三种语言：符号语言、文字语言、图形语言之间的互译．反思：符号语言简洁，层次感强．文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来．教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便．题型二共线问题【例2】如图所示，已知△ABC的三边所在的直线分别与平面α交于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点共线．分析：证明P，Q，R三点均在平面ABC与平面α的交线上．反思：证明点共线，可先由两点确定一条直线，再证其他的点也在这一直线上，也可证明所有点都在一条特定直线(两平面交线)上．题型三共面问题【例3】如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．分析：有两种方法．(1)先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内；(2)先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内．反思：本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路是先用部分对象确定一个平面，后证明剩余对象亦在其中．题型四共点问题【例4】三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．分析：直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．反思：证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．题型五交线问题【例5】如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.分析：找两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线．反思：画截面截得正方体的截面图形，关键是利用好公理，找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口．题型六易错辨析【例6】在空间中，可以确定一个平面的条件的序号有__________．①两两相交的三条直线②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交③三个点④三条直线，它们两两相交，但不交于同一点错解：①②③④错因分析：不能正确理解确定一个平面所需的条件，往往是疏忽了其中的特殊要求，只记得性质和推论的大概致误．1与“直线l上两点A，B在平面α内”含义不同的是( )．A．l⊂αB．平面α过直线lC．直线l上只有这两个点在α内D．直线l上所有点都在α内2平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，但C∈β，又AB∩l＝R，如图，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么在正方体中过P，Q，R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形4如图所示，请把下面的叙述用符号语言表示出来．(1)点A，B在直线a上：__________；(2)直线a在平面α内：__________，点C在平面α内：__________；(3)点D不在平面α内：__________，直线b不在平面α内：__________.5木匠师傅只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳地固定，为什么？答案：基础知识·梳理1．(1)线段(2)两点2．两点所有点在平面内经过直线l⊂α有且只有确定有一个公共点有且只有交线【做一做1－1】B 关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系．【做一做1－2】D 利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线，而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点．【做一做1－3】A 因为M∈a，N∈b，a，b⊂α，所以M，N∈α，根据基本性质1可知l⊂α.故选A.3．有且只有一相交平行共面【做一做2－1】B【做一做2－2】D 本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定的平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果．由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.4．有且只有一个在同一平面内异面直线【做一做3】D 空间四边形不是平面图形，故选项A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，选项B也是错误的；选项C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内．故选D.5．(1)平行相交不共面【做一做4】4典型例题·领悟【例1】解：文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB，AC分别在α，β内．图形语言如下图所示．【例2】证明：∵A，B，C是不在同一直线上的三点，∴过A，B，C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB⊂β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l.同理可证：Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点共线．【例3】证法一：∵b∥c，则b，c确定一个平面，设为α，如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴AB⊂α，即直线a⊂α.∴a，b，c三线共面．证法二：∵a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为α，如图，设a∩c＝A，过A点在α内作直线c′∥b，∵c∥b，c′∥b，∴c∥c′.又∵c与c′相交于点A，∴c与c′重合．∴a，b，c三线共面．【例4】证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a，b必相交，设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．【例5】解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．【例6】④正解：①中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除①；②中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除②；对于③来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除③；条件④中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由基本性质2知其确定一个平面．随堂练习·巩固1．C 根据平面的基本性质1，可知只有选项C不正确．2．C 由已知条件可知，C∈γ，A，B∈γ，所以AB⊂γ.而R∈AB，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故CR＝γ∩β.3．D 如图所示，延长PQ分别交CB，CD的延长线于M，N，连接MR，交BB1于E，交CC1的延长线于H，连接NH，分别交D1D，D1C1于F，G，则六边形QPERGF为截面图形．5．解：根据平面的基本性质2，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．。

3.1.2空间中的平行关系一、教材分析本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节.在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，本章学生将初步、系统地了解平面解析几何的知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。

通过本章知识的学习可以让学生重新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。

同时在本章中，学生初步尝试从新的角度来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程的理解，从而使知识规律化、系统化、网络化。

这种学习方式的过程和方法一经掌握，可以轻松地学习第四章圆的方程的内容。

两条直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系,它们的判定,又都是由相应的斜率之间的关系来确定的,并且研究讨论的手段和方法也类似,因此,在教学时,弄清平行和垂直之间的联系与区别,值得注意的是,当两条直线中有一条不存在斜率时,容易得到两条直线的垂直的充要条件,这也要加以说明.二、课标的分析《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。

从课标中对这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究有了又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。

在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。

现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。

坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。

在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等,可以让学生既对几何产生兴趣，又让学生可以轻松的学习几何。

空间中的平行关系教学设计设计的基本思路形象思维与逻辑思维都是科学抽象中不可缺少的思维形式，而立体几何正是两者完美结合的一个最佳载体。

所以认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观读图能力，是高中立体几何的必修课程和基本要求。

平行问题是高中立体几何的重要内容之一,也是高考命题的重点之一。

高考对空间中的平行关系的考查往往以线面平行为核心,多面体为载体,结合平面几何知识, 考查空间中的平行的定义、判定定理、性质定理等内容，与此同时考查考生对图形辨别、点线面的位置关系、逻辑推理等三种数学语言的转化能力和空间想象能力。

通过对本节的学习，注重类比、构造、分类讨论、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

这节内容的重点是：如何证明线面平行。

难点是直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及性质定理的应用，以及由线线平行或面面平行证明线面平行时，如何找到辅助线或面。

教学过程一、复习知识1、直线和平面平行：判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

2、两个平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行性质定理：①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一条直线和另一个平面平行②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行【设计意图】通过知识点的复习和梳理，为学生构建完整的知识体系。

二、基础训练1、在下面命题中：①两条平行线中有一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面②一条直线与一个平面平行，则这条直线和平面内的所有直线都平行③平行于同一平面的两平面平行④过平面外一点只有一条直线和这个平面平行错误命题的个数为个2. 已知l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列几个命题：①若l⊥n，m⊥n，则l∥m;②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；③若l⊥m，m⊥α，且l⊄α，则l∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.⑤若n⊂α,m⊂α,n∥β,m ∥β则α∥β其中正确命题的序号为_____________【设计意图】概念判断题是高考常考题型，不仅要求学生对概念比较熟悉，也要求学生答题的速度要快。