高中数学空间点线面之间的位置关系讲义

空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。

（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：判断直线在平面内。

2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。

2经过两条直线，有且只有个平面。

3经过两条直线，有且只有个平面。

（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：既又的直线叫异面直线。

判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。

（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。

直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。

平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。

基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。

例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。

例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。

必修2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
编写人：元丽丽
第一讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个公理
2.异面直线的概念：把 的两条直线叫做异面直线.
3.等角定理
空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 或 . 4.两条异面直线所成的角（夹角）
（1）定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或 角）叫异面直线,a b 所成的夹角. （2）异面直线所成角的范围：
5.空间两条直线的位置关系：
7.空间中平面与平面之间的位置关系
第二讲 直线、平面平行的判定及其性质
1.四个定理
第三讲直线、平面平垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直：
如果直线l与平面α内的一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作 .
直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的 .直线与平面的公共点P叫做 .
2. 直线与平面所成的角：
过斜足上斜足以外的一点向平面平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角.
角的取值范围： .
3.二面角。

课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。

平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。

点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。

两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。

图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。

知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。

知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1 平面含义：2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

二、三个公理：三、空间直线、平面之间的位置关系D C BA α四、等角定理：五、异面直线所成的角1.定义：2.范围：3.图形表示4.垂直： 六、典型例题1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。

（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。