空间点线面之间的位置关系(一)

点线面的位置关系（１）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。

符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4:（平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

(2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）公理4：(平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言://,////a l b l a b ⇒且。

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。

(注意:会画两个角互补的图形)2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种://l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（４）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线考点1:点，线，面之间的位置关系例１.(20１4辽宁,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )Ａ.若m ∥α，n ∥α,则m ∥nB.若m ⊥α,n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则ｎ∥αD.若m ∥α,m ⊥n ，则n ⊥α [答案] 1.B[解析] １.A 选项m 、ｎ也可以相交或异面,C 选项也可以n ⊂α,D 选项也可以n ∥α或n 与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.例2.(20１４山东青岛高三第一次模拟考试, ５) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ )Ａ.若则 B.若则C ．若则 D.若则[答案] 2. D[解析] 2.A 选项不正确,因为是可能的;ﻫＢ选项不正确，因为,时,,都是可能的；C选项不正确，因为,时，可能有；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.ﻫ故选D例3. (２０１4广西桂林中学高三２月月考,4) 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ )(A) (B)（C) （D)[答案] 3. D[解析] 3．若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若,则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误;若，则直线与平面垂直或相交或平行，故(C) 错误; 若,则直线，故（D）正确. 选D．例４.(2014周宁、政和一中第四次联考,7）设表示不同的直线，表示不同的平面,给出下列四个命题：①若∥，且则；②若∥,且∥. 则∥;③若,则∥∥;④若且∥，则∥.其中正确命题的个数是 （ )A ．1 Ｂ．2 C.3 D ．4 [答案] 4． B[解析] 4. ①正确；②直线或，错误;③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.2. 空间几何平行关系转化关系:直线、平面平行的判定及其性质归纳总结1. 证明线线平行的方法：定理 定理内容 符号表示分析解决问题的常用方法 直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

第一讲：空间中的点线面一，生活中的问题？生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．二，概念明确1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。

所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。

线与面的关系是_____________________，用符号______________。

点与面的关系是_____________________，用符号______________。

2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角）3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。

点，线，面都是抽象的几何概念。

不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。

4，平面的画法与表示描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来，如图b所示记法(1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α(2)用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面ABC或平面等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD检验检验：下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4三，点，线，面的位置关系和表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.文字语言符号语言图形语言A在l上A在l外A在α内A在α外文字语言符号语言图形语言l在α内l与α平行l ，m 相交于Al ，m 都在平面α内且平行l ，m 异面（不同在任何一个平面内，且没有交点）α，β相交于lα，β平行（没有交点）熟悉熟悉：如图所示，平面ABEF 记作平面α，平面ABCD 记作平面β，根据图形填写： (1)A ∈α，B ________α，E ________α，C ________α，D ________α； (2)α∩β＝________；(3)A ∈β，B ________β，C ________β，D ________β，E ________β，F ________β； (4)AB ________α，AB ________β，CD ________α，CD ________β，BF ________α，BF ________β.四，立体几何的公理与定理1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。

（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：判断直线在平面内。

2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。

2经过两条直线，有且只有个平面。

3经过两条直线，有且只有个平面。

（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：既又的直线叫异面直线。

判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。

（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。

直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。

平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。

基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。

例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。

例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。

空间向量点线面的位置关系在三维空间中，点、线和面是基本的几何要素。

它们的位置关系在数学和几何学中扮演着重要的角色。

本文将探讨空间向量中点、线和面之间的不同位置关系及其特点。

一、点和线的位置关系在三维空间中，点和线的位置关系主要有以下几种情况。

1. 点在线上：如果一个点位于一条直线上，那么这个点与直线上的任意两点构成的向量都是共线的。

换句话说，点和线的向量共线。

2. 点在线的延长线上：点也可以位于一条线的延长线上，这时点与线上的任意两点构成的向量也是共线的。

3. 点与线相交：在三维空间中，点还可以与一条直线相交。

这时，点与线上的任意两点构成的向量不再共线。

4. 点与线平行：若一点与直线平行，则该点与直线上的任意两点构成的向量平行。

但是，点与线平行并不意味着点在线的延长线上。

二、点和面的位置关系点和面的位置关系也有几种情况，如下所示。

1. 点在面上：如果一个点位于一个平面上，那么这个点与平面上的任意三个点构成的向量都在同一个平面内。

2. 点在面的延长线上：点也可以位于一个平面的延长线上，这时点与平面上的任意三个点构成的向量仍在同一个平面内。

3. 点在平面内但不在平面上：有时，一个点位于一个平面内部但不在平面上。

这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。

4. 点与平面相交：在三维空间中，点还可以与一个平面相交。

这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。

三、线和面的位置关系线和面的位置关系主要有以下几种情况。

1. 线在平面上：如果一条直线位于一个平面上，那么直线上的任意两点构成的向量都在同一个平面内。

2. 线与平面相交于一点：一个直线也可以与一个平面相交于一点。

这时，直线上的任意两点构成的向量不在同一个平面内。

3. 线与平面平行：若一条直线与一个平面平行，则直线上的任意两点构成的向量与平面内的向量平行。

但是，直线与平面平行并不意味着直线在平面上。

4. 线在平面的延长线上：一条直线还可以位于一个平面的延长线上，这时直线上的任意两点构成的向量仍在同一个平面内。

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

空间几何中的点线面的关系空间几何是研究空间中的几何形体及其性质的学科。

在空间几何中，点、线和面是最基本的几何元素，它们之间有着复杂而紧密的关系。

下面将讨论点、线和面之间的关系，并探讨它们在实际生活中的应用。

一、点与线的关系在空间几何中，点与线之间存在着密切的联系。

点没有长度、宽度和厚度，只有位置坐标，是空间的基本单位。

而线则是由无数个点连成的，它具有长度但没有宽度和厚度。

点与线的关系主要有以下几个方面：1. 点在线上：点可以在一个线上，这意味着该点与线上的其他点在同一直线上。

这种关系可以用于确定线段的中点、垂直平分线等概念。

2. 线段的两个端点：线段由两个点确定，这两个点称为线段的端点。

线段的长度可以通过计算两个端点在空间中的距离来得到。

3. 直线与平面的交点：一条直线可以与平面相交于一点或多个点。

这种关系在解决平面几何问题中非常常见，如判断直线是否与平面垂直、判断直线是否与平面平行等。

二、点与面的关系点与面是空间几何中另一种重要的关系。

点是零维的，而面是二维的，它们之间的关系可通过以下几个方面来描述：1. 点在平面上：点可以在一个平面上，这意味着该点与平面上的任意一点在同一平面上。

这种关系可以用于计算点到平面的距离，或者确定点在空间中的位置。

2. 点在平面内部或外部：点与平面之间还有一个重要的关系就是点在平面的内部或外部。

点在平面内部，表示该点与平面上的所有点在同一侧；点在平面外部，表示该点与平面上的所有点在不同侧。

这种关系常用于解决判断点与平面的相对位置的问题。

3. 线段与平面的交点：一条线段可以与平面相交于一点或多个点。

这种关系常用于计算线段与平面的交点坐标、线段与平面的交点个数等问题。

三、线与面的关系线与面之间也存在着紧密的联系。

线是一维的，而面是二维的，它们之间的关系主要有以下几个方面：1. 直线在平面内部或外部：一条直线可以在一个平面的内部或外部。

直线在平面内部，表示该直线与平面上的所有点都在同一平面内；直线在平面外部，表示该直线与平面上的所有点都不在同一平面内。

空间点线面位置关系、线面平行、面面平行1.位置关系：线与线：相交、平行、异面；线与面：线在面内、相交、平行；面与面：相交、平行。

2.异面直线夹角：范围(0,]2π；计算：一做、二证、三计算。

3.线面平行证明： ；4.面面平行证明： ；5.常考知识点：（1）平行于同一直线的两直线 ；（2）平行于同一直线的两平面 ；（3）平行于同一平面的两直线 ； （4）平行于同一平面的两平面 ；（5）垂直于同一直线的两直线 ；（6）垂直于同一直线的两平面 ； （7）垂直于同一平面的两直线 ；（8）垂直于同一平面的两平面 ； 知识点1.位置关系判断例1. 已知m 、n 表示两条直线，γβα,,表示三个平面，下列命题中正确的个数是 ； ①若,,m n αγβγ⋂=⋂=//m n ，则//αβ；②若m,n 相交且都在βαβαβαβα//,//,//,//,//则外n n m ，m 、③若n m n n m m l //,//,//,//,//,则βαβαβα=⋂；④若m//α，n//n m //,则α 例2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②m α⊂，m ∥β，则α∥β；③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β，上面结论正确的有 ； 例3. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.A.a ∥M ,b M ⊂B.a ∥c ,c ∥bC.a ∥M ,b ∥MD.a 、b 和c 的夹角相等 例4. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 例5. 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=例6. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 例7. 下列命题中，假命题的个数是 ；① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 线面平行例8. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM =， 求证：//MN 平面BCE例9. 如图，四边形ABCD 是矩形，,E F 是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .面面平行例10. 如图，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，求证：平面AMN ∥平面EFDB .ABDCEFMNFM NB 'C 'A ' DCBAD ' EA BC DDC 1B 1A 1 例11. 如图，设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111ABCD 的中心，证明： ⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .线面、面面平行综合应用.例12. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于,,,E F G H ．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？借助面面平行 线面平行例13. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖例14. 如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC点的存在性问题例15. 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90o BAD ADC ∠=∠=，222AB AD CD ===． （1）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论． （2）试在棱AB 上确定一点E ，使1A E ∥平面1ACD ，并说明理由．例16. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．N M SCBA D AEBHFDG CM A D CO。