空间点线面的位置关系

空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。

5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。

方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。

特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。

7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。

8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。

特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。

9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。

特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。

10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。

空间点线面之间的位置关系一．平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.二．空间直线与平面之间的位置关系：1.直线与平面的位置关系可分为：直线在平面内；直线与平面平行；直线成平面相交；2.平面与平面之间位置关系分为：面面平行；面面相交；面面重合；3.空间直线之间的位置关系：相交，平行，异面；三．等角定理、平行公理：定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；平行公理：平行与同一条直线的两条直线平行；空间平行具有传递性，空间平行平面也具有传递性；四．证明方法：1.证明三点共线的常用方法：（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点。

由公理三得证；（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上；2.证明直线共面通常的方法：()1先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）；()2分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；()3也可利用共面向量定理来证明.3.证明三线共点的方法：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，转化为证明点在线上的问题；()1如果A、B是交点，那么AB是交线；()2如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；()3如果lαβ=∈，点P是α、β的一个公共点，那么P l4.证明几点共面的问题可以先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其余各点都在这个平面内；1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是： A ．一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面2.如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系为： A ．平行 B.相交 C.平行或相交 D.垂直或相交3.已知下列命题：其中真命题的个数为： ； （1）若直线l 平行于α内无数条直线，则 l α；（2）若直线l 在平面α外，则 l α； （3）若直线 a b ，直线⊂b α，则 a α； （4）若直线 a b ，⊂b α，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；4.空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可确定平面的个数为：5.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面将空间分成 部分；6.如果两条异面直线称为一对，那么在正方体的十二条棱中，共有异面直线 对；7.空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的； .A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 非充分非必要条件．8.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有.A 3个 .B 4个 .C 6个 .D 7个9.已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 10.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是 A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 11.已知直线a 、b 、c 和平面M ，则可以得到a//b 的是 ： ；A.a//M ，b//MB.a ⊥c ，b ⊥cC.a 、b 与平面M 成等角D.a ⊥M ，b ⊥M ． 12.已知直线m 、n 平面βα,，下列命题中正确的是A.若直线m 、n 与平面α所成的角相等，则m//nB.若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC.若m ⊂α，β⊂n ，m//n ，则α//βD.若m//α,,//,//βαβn 则m//n13.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖14.已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确．．．的是 （ ） A.若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n B.若⊥m βα⊥m ,，则α∥β C.若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ D.若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n 15.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ；B.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β；D.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 16.已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥；②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//；④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．17.正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点． 那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是.A 三角形.B 四边形.C 五边形.D 六边形18.如图，l αβ= ，A 、B α∈，C β∈，且C l ∉，直线AB l M = ，过A 、B 、C 三点 的平面记作γ，则γ与β的交线必通过.A 点A ； .B 点B ； .C 点C 但不通过点M ； .D 点C 和点MAB CD 1A 1B 1C 1D PD RαβlM A B C题型二：证明点共线，线共点，点共面，线共面问题 例1.点共面：1.（07江苏）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==.求证：1,,,E B F D 四点共面；2.（08四川）如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，BC ∥12AD ，BE ∥12AF ．证明：C 、D 、F 、E 四点共面；例3.线共面：1.已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面。

空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。

（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：判断直线在平面内。

2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。

2经过两条直线，有且只有个平面。

3经过两条直线，有且只有个平面。

（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：既又的直线叫异面直线。

判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。

（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。

直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。

平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。

基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。

例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。

例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。

空间点、线、面之间的位置关系一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4（又称平行公理）：平行于同一条直线的两条直线平行；等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么着两个角相等或互补. 2、空间中直线与直线之间的位置关系 （1）位置关系的分类⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’∥a,b ’∥b,把a ’与b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角） ②范围：02π⎛⎤⎥⎝⎦，3、空间中直线与平面之间的位置关系 位置关系 直线a 在平面α内直线a 与平面α相交 直线a 与平面α平行公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a α⊂a A α= //a α图形表示4、空间中平面与平面之间的位置关系 位置关系 图示表示法 公共点个数两平面平行//αβ两平面相交斜交aαβ=有无数个公共点在一条直线上垂直αβ⊥aαβ=有无数个公共点在一条直线上二、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定与性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；2、平面与平面平行的判定与性质（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

注：能否由线线平行得到面面平行？（可以。

只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行）三、直线、平面垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直；（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；2、平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；（2）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

点线面的位置关系点、线、面是几何学中的基本概念，它们之间存在着重要的位置关系。

通过研究它们的位置关系，我们可以更好地理解和应用几何学知识。

本文将详细探讨点、线、面的位置关系，并对其应用进行讨论。

一、点、线、面的定义1. 点：几何学中最基本的元素，没有大小和形状，只有位置。

可以用坐标表示，例如(x, y)。

2. 线：由无数个点按照一定规律连接而成，具有长度但没有宽度。

可以用两个点的坐标表示，例如(1, 2)和(3, 4)之间的线段。

3. 面：由无数个线按照一定规律连接而成，具有长度和宽度。

可以用多边形的边界来表示，例如三角形、矩形等。

二、点、线、面的位置关系1. 点与线的位置关系：a. 在线上：如果一个点恰好在一条线上，则称该点在线上。

b. 在线内：如果一个点在一条线的两个端点之间，则称该点在线内。

c. 在线外：如果一个点既不在线上，也不在线内，则称该点在线外。

2. 点与面的位置关系：a. 在面上：如果一个点恰好在一个面上，则称该点在面上。

b. 在面内：如果一个点在一个面的边界之内，则称该点在面内。

c. 在面外：如果一个点既不在面上，也不在面内，则称该点在面外。

3. 线与线的位置关系：a. 相交：如果两条线有公共的一个或多个点，则称这两条线相交。

b. 平行：如果两条线的方向相同，但没有公共的点，则称这两条线平行。

c. 重合：如果两条线有无数个公共的点，则称这两条线重合。

4. 线与面的位置关系：a. 相交：如果一条线与一个面有公共的一个或多个点，则称这条线与该面相交。

b. 平行：如果一条线的方向与一个面平行，且线上没有与该面有公共的点，则称这条线与该面平行。

c. 重合：如果一条线与一个面重合，即线上的所有点都在该面上，则称这条线与该面重合。

5. 面与面的位置关系：a. 相交：如果两个面有公共的一条或多条线段，则称这两个面相交。

b. 平行：如果两个面的法向量平行，则称这两个面平行。

c. 重合：如果两个面有无数个公共的点，则称这两个面重合。

点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

* *空间点线面之间的地点关系一、平面1.平面的看法：平面是一个不加定义，只要理解的原始看法．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常有的平面抽象出来的．常有的桌面、沉静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不行胸怀．2.平面的表示方法：(1)一个平面：当平面是水平搁置的时候，往常把平行四边形的锐角画成 45 o，横边画成邻边的 2 倍长，如右图．(2)两个订交平面：画两个订交平面时，往常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（以下列图）BA B BAB AA3.运用会合看法正确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的看法看，点动成线，线动成面，进而能够把直线、平面当作是点的会合，所以还可借用会合中的符号语言来表示点、线、面的基本地点关系以下表所示：图形语言符号语言文字语言（读法）Aa A a点 A 在直线a上Aa A a点 A 不在直线 a 上A A点 A在平面内AA点 A 不在平面内A ba Ib A直线 a 、b交于A点aa a直线 a 在平面内aa I直线 a 与平面无公共点aA a I A直线 a 与平面交于点 AI l平面、订交于直线 l二、平面的基天性质1.公义 1 假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内AAB．如图示：A B推理模式：或许：∵ A,B，∴ AB公义 1 的作用：①判断直线能否在平面内；②判断点能否在平面内；③查验面是不是平面．2.公义 2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A, B, C 不共线推理模式：A, B, C与重合A, B,C或许：∵ A, B, C 不共线，∴存在独一的平面，使得A, B, C.推论 1 ：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论 2 ：经过两条订交直线，有且只有一个平面；推论 3 ：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1) 以上是确立平面的四个不一样的条件，是判断两个平面重合的依照，是证明点线共面的依照，也是作截面、协助面的依照．(2) “有且只有一个”的含义要正确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形独一．所以，在证明相关这种语句的命题时，要从“存在性”和“独一性”双方面来论证．2. 公义 3假如两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线A推理模式： A l I如图示：A或许：∵ A, A，∴I l , A l公义 3 的作用：(1)判断两个平面能否订交及交线地点；(2)判断点能否在线上1、证明空间三点共线问题往常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确立出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

空间点、线、面之间的位置关系知识梳理1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的___两点_____在一个平面内;那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点;那么它们还有其他公共点;这些公共点的集合是经过__这个公共点___的一条直线．公理3：经过______不在同一条直线上______________的三点;有且只有一个平面．推论1：经过_____一条直线和这条直线外的一点_______________;有且只有一个平面．推论2：经过___两条相交直线_____________;有且只有一个平面．推论3：经过____两条平行直线____________;有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系1位置关系的分类2异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线;和这个平面内______________的直线是异面直线．3异面直线所成的角①定义：设a;b是两条异面直线;经过空间任意一点O;作直线a′∥a;b′∥b;把a′与b′所成的____________叫做异面直线a;b所成的角．②范围：____________.答案：1平行相交2不经过该点3①锐角或直角②错误! 3.同一条直线 4.相等3．公理4平行于______同一条直线______的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同;那么这两个角___相等_____．自我检测1．若直线a与b是异面直线;直线b与c是异面直线;则直线a与c的位置关系是平行、相交或异面．2．如果两条异面直线称为“一对”;那么在正方体的十二条棱中共有异面直线____24____对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分;则n的可能取值为___4;6;7;8_____．4．2010·全国Ⅰ直三棱柱ABC—A1B1C1中;若∠BAC＝90°;AB＝AC＝AA1;则异面直线BA1与AC1所成角的大小为__60°______．将直三棱柱ABC—A1B1C1补成如图所示的几何体．由已知易知：该几何体为正方体．连结C1D;则C1D∥BA1.∴异面直线BA1与AC1所成的角为∠AC1D或补角;在等边△AC1D中;∠AC1D＝60°.5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交;也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是____④____填序号.例题分析例1、如图所示;空间四边形ABCD中;E、F、G分别在AB、BC、CD上;且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1;CG∶GD＝3∶1;过E、F、G的平面交AD于H;连结EH.1求AH∶HD；2求证：EH、FG、BD三线共点．1解∵错误!＝错误!＝2;∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH;且平面EFGH∩平面ACD＝GH;∴EF∥GH.而EF∥AC;∴AC∥GH.∴错误!＝错误!＝3;即AH∶HD＝3∶1.2证明∵EF∥GH;且错误!＝错误!;错误!＝错误!;∴EF≠GH;∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P;则P∈EH;而EH平面ABD;P∈FG;FG平面BCD;平面ABD∩平面BCD＝BD;∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．变式1如图;E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点;且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明∵E∈AB;H∈AD;∴E∈平面ABD;H∈平面ABD.∴EH平面ABD.∵EH∩FG＝O;∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD;∴O∈平面ABD∩平面BCD;即O∈BD;∴B、D、O三点共线．例2、如图所示;直线a、b是异面直线;A、B两点在直线a上;C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．证明两直线为异面直线的方法：1．定义法不易操作．2．反证法：先假设两条直线不是异面直线;即两直线平行或相交;由假设的条件出发;经过严密的推理;导出矛盾;从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．3．判定定理．证明假设BD和AC不是异面直线;则BD和AC共面;设它们共面于α.∴A、B、C、D∈α;∴AB、CDα;即a、bα.这与a、b是异面直线矛盾;故假设不成立．∴BD和AC是异面直线．变式2 如图是正方体或四面体;P、Q、R、S分别是所在棱的中点;这四个点不共面的是___④____填序号．例3、2009·全国Ⅰ已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等;A1在底面ABC上的射影为BC的中点;则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为____________错误!________________．解题导引高考中对异面直线所成角的考查;一般出现在综合题的某一步;求异面直线所成角的一般步骤为：1平移：选择适当的点;平移异面直线中的一条或两条成为相交直线;这里的点通常选择特殊位置的点;如线段的中点或端点;也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．2证明：证明所作的角是异面直线所成的角．3寻找：在立体图形中;寻找或作出含有此角的三角形;并解之．4取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°;所以所作的角为钝角时;应取它的补角作为异面直线所成的角．如图;A1D⊥平面ABC;且D为BC的中点;设三棱柱的各棱长为1;则AD＝错误!;由A1D⊥平面ABC知A1D＝错误!;Rt△A1BD中;易求A1B＝错误!＝错误!.∵CC1∥AA1;∴AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角．在△A1BA中;由余弦定理可知cos∠A1AB＝错误!＝错误!.∴AB与CC1所成的角的余弦值为错误!.变式3在空间四边形ABCD中;已知AD＝1;BC＝错误!;且AD⊥BC;对角线BD＝错误!;AC＝错误!;求AC 和BD所成的角．如图所示;分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H;连结EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知;EF∥AC;且EF＝错误!;GE∥BD;且GE＝错误!.GE和EF所成的锐角或直角就是AC和BD所成的角．同理;GH∥AD;HF∥BC.GH＝错误!;HF＝错误!;又AD⊥BC;∴∠GHF＝90°;∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中;EG2＋EF2＝1＝GF2;∴∠GEF＝90°;即AC和BD所成的角为90°.例4、如图所示;在四棱锥P—ABCD中;底面是边长为2的菱形;∠DAB＝60°;对角线AC与BD交于点O;PO ⊥平面ABCD;PB与平面ABCD所成的角为60°.1求四棱锥的体积；2若E是PB的中点;求异面直线DE与P A所成角的余弦值．多角度审题对1只需求出高PO;易得体积；对2可利用定义;过E点作P A的平行线;构造三角形再求解．解1在四棱锥P—ABCD中;∵PO⊥平面ABCD;∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角;即∠PBO＝60°;2分在Rt△AOB中;∵BO＝AB·sin 30°＝1;又PO⊥OB;∴PO＝BO·tan 60°＝错误!;∵底面菱形的面积S＝2×错误!×2×2×错误!＝2错误!;∴V P—ABCD＝错误!×2错误!×错误!＝2.7分2取AB的中点F;连结EF;DF;∵E为PB中点;∴EF∥P A;∴∠DEF为异面直线DE与P A所成角或其补角．9分在Rt△AOB中;AO＝AB·cos 30°＝错误!;∴在Rt△POA中;P A＝错误!;∴EF＝错误!.在正三角形ABD和正三角形PDB中;DF＝DE＝错误!;由余弦定理得cos∠DEF＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.12分所以异面直线DE与P A所成角的余弦值为错误!.14分突破思维障碍求两条异面直线所成的角的大小;一般方法是通过平行移动直线;把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知;异面直线所成角的大小与顶点位置无关;往往将角的顶点取在其中的一条直线上．特别地;可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之;顶点的选择要与已知量有关;以便于计算;具体步骤如下：1利用定义构造角;可固定一条;平移另一条;或两条同时平移到某个特殊的位置;顶点选在特殊的位置上；2证明作出的角即为所求角；3利用三角形来求解;异面直线所成角的范围是0°;90°．易错点剖析1．求异面直线所成的角时;仅指明哪个角;而不进行证明．2．忘记异面直线所成角的范围;余弦值回答为负值．强化练习一、填空题1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是___异面或相交______．2．给出下列命题：①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线;直线c是α与β的交线;那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面;直线b与c异面;则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为____③____填序号．①错;c可与a、b都相交；②错;因为a、c可能相交也可能平行；③正确;例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件3. 如图所示;在正三角形ABC中;D、E、F分别为各边的中点;G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点;将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后;GH与IJ所成角的大小为___60°___．将三角形折成三棱锥;如图所示;HG与IJ为一对异面直线;过D分别作HG与IJ的平行线;因GH∥DF;IJ∥AD;所以∠ADF为所求;因此HG与IJ所成的角为60°.4．2009·全国Ⅱ改编已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中;AA1＝2AB;E为AA1的中点;则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为________．错误!如图所示;连结A1B;则A1B∥C D1;故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角．设AB＝a;则A1E＝a;A1B＝错误!a;BE＝错误!a.△A1BE中;由余弦定理得：cos∠A1BE＝错误!＝错误!＝错误!.5．正四棱锥S—ABCD的侧棱长为错误!;底面边长为错误!;E为SA的中点;则异面直线BE和SC所成的角为________．60°解析设AC与BD的交点为O;则OE∥SC;∴∠BEO或其补角即为异面直线BE和SC所成的角;EO＝错误!SC＝错误!;BO＝错误!BD＝错误!;在△SAB中;cos A＝错误!＝错误!＝错误!在△ABE中;cos A＝错误!;∴BE＝错误!.在△BEO中;cos∠BEO＝错误!＝错误!;∴∠BEO＝60°.6．一个正方体纸盒展开后如图所示;在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.则正确结论的序号是______．①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体;如图所示;易知AB⊥EF;AB∥CM;EF与MN异面;MN⊥CD;故①③正确．7．下面命题正确的是________填序号．②①若直线a、b相交;b、c相交;则a、c相交；②若a∥b;则a、b与c所成的角相等；③若a、b与c所成的角相等;则a∥b；④若a⊥b;b⊥c;则a∥c.8．在图中;G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点;则表示直线GH、MN是异面直线的图形有____________．填上所有正确答案的序号24二、解答题9．如图所示;正方体ABCD—A1B1C1D1中;E;F分别是AB和AA1的中点．求证：1E;C;D1;F四点共面；2CE;D1F;DA三线共点．证明1如图所示;连结CD1;EF;A1B;∵E、F分别是AB和AA1的中点;∴EF∥A1B;且EF＝错误!A1B;2分又∵A1D1綊BC;∴四边形A1BCD1是平行四边形;∴A1B∥CD1;∴EF∥CD1;∴EF与CD1确定一个平面α;∴E;F;C;D1∈α;即E;C;D1;F四点共面．6分2由1知EF∥CD1;且EF＝错误!CD1;∴四边形CD1FE是梯形;∴CE与D1F必相交;设交点为P;8分则P∈CE平面ABCD;且P∈D1F平面A1ADD1;∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.10分又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD;∴P∈AD;∴CE;D1F;DA三线共点．14分10．如图;在正方体ABCD－A1B1C1D1中;P、Q、M、N分别为AD、AB、C1D1、B1C1的中点;求证：A1P ∥CN;A1Q∥CM;且∠P A1Q＝∠MCN.证明如图所示;在A1B1上取中点K;易知四边形MKBC为平行四边形．3分∴CM∥BK.又∵A1K∥BQ;且A1K＝BQ;∴四边形A1KBQ为平行四边形;∴A1Q∥BK;9分由公理4有A1Q∥MC;10分同理可证A1P∥CN;由于∠P A1Q与∠MCN对应边分别平行;且方向相反．∴∠P A1Q＝∠MCN.14分11．如图;正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2;E为AB的中点．求异面直线BD1与CE所成的角的余弦值．解延长DC至G;使CG＝EB;连结BG、D1G;∵CG綊EB;∴四边形EBGC是平行四边形．∴BG∥EC.∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角．6分在△D1BG中;D1B＝2错误!;BG＝错误!;D1G＝错误!＝错误!.∴cos∠D1BG＝错误!＝错误!＝错误!.∴异面直线BD1与CE所成角的余弦值是错误!.。