安庆一中高一数学必修2复习训练题 (3)

2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．125．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞27．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1 三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ ．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= ．．15．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是 ． 16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k 和x ∈[﹣1，3]，使不等式f （x 2﹣kx ）+f （2﹣x ）＞0成立？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）设m 为给定的实常数，若函数y ＝f （x ）在其定义域内存在实数x 0，使得f （x 0+m ）＝f （x 0）+f （m ）成立，则称函数f （x ）为“G （m ）函数”．（1）若函数f （x ）＝2x 为“G （2）函数”，求实数x 0的值； （2）证明：函数h （x ）＝2x +x 2为“G （1）函数”； （3）若函数f(x)=lg ax 2+1为“G （1）函数”，求实数a 的取值范围．2023-2024学年安徽省安庆一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题总分40分） 1．sin600°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：sin600°＝sin （720°﹣120°）＝﹣sin120°＝﹣sin （180°﹣60°）＝﹣sin60°=−√32，故选：D ．2．函数f(x)=√log 2(1−x)的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（0，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0]解：由{1−x ＞0log 2(1−x)≥0，得{1−x ＞01−x ≥1，解得x ≤0，所以函数的定义域为（﹣∞，0]．故选：D ．3．已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．（0，4）解：A ＝{x ∈Z |﹣1≤x ＜4}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．4．若x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12解：∵x 1=π4，x 2=3π4是函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）两个相邻的极值点，∴T ＝2（3π4−π4）＝π=2πω∴ω＝2，故选：A ． 5．函数f （x ）=1+e x1−e xcos x 的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵f （﹣x ）=1+e −x 1−e −x •cos （﹣x ）=e x +1e x −1•cos x =−1+e x1−e xcos x ＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，排除选项A 和C ；当0＜x ＜1时，e x ＞1，cos x ＞0，∴f （x ）＜0，排除选项B ， 故选：D ．6．“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0＜a ＜12D ．a ＞2解：当a ＝0时，不等式化为﹣2x +1＞0，解得x ＜12，在R 上不恒成立；当a ≠0时，若不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 恒成立，则{a ＞0Δ=4−4a ＜0，解得a ＞1．综上所述，“关于x 的不等式ax 2﹣2x +1＞0对∀x ∈R 上恒成立”的充要条件为“a ＞1”，因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含（1，+∞），对照各项可知A 项“a ＞0”符合题意． 故选：A ．7．已知ω＞0，函数f(x)=3sin(ωx +π4)−2在区间[π2，π]上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．（0，2]C ．[12，34]D ．[12，54]解：由2kπ+π2≤wx +π4≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得2kπw +π4w ≤x ≤2kπw +5π4w，k ∈Z ， 即函数的单调递减区间为[2kπw +π4w ，2kπw +5π4w]，k ∈Z ， 令k ＝0，则函数f （x ）其中一个的单调递减区间为：[π4w ，5π4w]， 函数f （x ）在区间[π2，π]内单调递减，则满足{5π4w ≥ππ4w ≤π2，得{ω≥12ω≤54，所以w 的取值范围是[12，54]． 故选：D ．8．已知函数f （x ）={log 2(x +2)，−2＜x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，若函数g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a （a ∈R ）恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）解：由g （x ）＝[f （f （x ））]2﹣（a +1）•f （f （x ））+a ＝0得[f （f （x ））﹣1][f （f （x ）﹣a ]＝0， 则f （f （x ））＝1或f （f （x ））＝a ，作出f （x ）的图象如图，则若f （x ）＝1，则x ＝0或x ＝2，设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝1得f （t ）＝1， 此时t ＝0或t ＝2，当t ＝0时，f （x ）＝t ＝0，有两个根，当t ＝2时，f （x ）＝t ＝2，有1个根， 则必须有f （f （x ））＝a ，（a ≠1）有5个根， 设t ＝f （x ），由f （f （x ））＝a 得f （t ）＝a ，若a ＝0，由f （t ）＝a ＝0得t ＝﹣1，或t ＝1，f （x ）＝﹣1有一个根，f （﹣x ）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a ＞1，由f （t ）＝a 得t ＞2，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若a ＜0，由f （t ）＝a 得﹣2＜t ＜﹣1，f （x ）＝t 有一个根，不满足条件． 若0＜a ＜1，由f （t ）＝a 得﹣1＜t 1＜0，或0＜t 2＜1或1＜t 3＜2，当﹣1＜t 1＜0时，f （x ）＝t 1，有一个根，当0＜t 2＜1时，f （x ）＝t 2，有3个根， 当1＜t 3＜2时，f （x ）＝t 3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件． 故0＜a ＜1，即实数a 的取值范围是（0，1）， 故选：A ．二、多选题（本题共4小题总分20分） 9．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)ax (x ＞1)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]解：根据题意，依次分析选项：对于A ，命题p ：∃x ∈R 使得x 2+2x +3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +3≥0，故A 不正确； 对于B ，若奇函数g(x)=1x，x ＝0时，g （x ）无意义，故B 不正确；对于C ，已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1) 在 R 上是增函数，首先当x ＞1时，f(x)=ax单调递增，则a ＜0，其次当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2﹣ax ﹣5（对称轴为x =−a 2）单调递增，则−a2≥1，即a ≤﹣2，但若要保证函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1)在 R 上是增函数，还需满足−12−a ×1−5≤a1，即a≥﹣3，所以实数a 的取值范围是[﹣3，﹣2]，故C 不正确；对于D ，若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域满足﹣2≤2x ﹣1≤2，解得−12≤x ≤32，故D 正确． 故选：ABC ．10．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．φ=π3B ．函数f （x ）的图象关于(16，0)对称C ．函数f （x ）在[16，23]的值域为[﹣2，5]D ．要得到函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象，可将函数f （x ）的图象向左平移14个单位解：对于A ，由图可知A =2，T 4=13−112=14，所以T ＝1，又因为T =2πω， 所以ω＝2π，所以f （x ）＝2sin （2πx +φ）， 又函数图象最高点为(112，2)， 所以f(112)=2sin(π6+φ)=2，即sin(π6+φ)=1， 所以π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π3+2kπ，k ∈Z ，由题意|φ|＜π2，所以只能k ＝0，此时φ=π3，故A 选项正确；对于B ，由A 选项分析可知f(x)=2sin(2πx +π3)，因为f(16)=2sin(π3+π3)=√3≠0，所以函数f （x ）的图象不关于(16，0)对称，故B 选项错误；对于C ，当x ∈[16，23]时，2πx ∈[π3，4π3]，所以t =2πx +π3∈[2π3，5π3]，而函数y ＝2sin t 在[2π3，3π2]上单调递减，在[3π2，5π3]上单调递增，所以当x ∈[16，23]时，−2=2×(−1)≤f(x)≤2×√32=√3，所以函数f （x ）在[16，23]的值域为[−2，√3]，故C 选项正确；对于D ，若将函数f(x)=2sin(2πx +π3)的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为h （x ）＝2sin[2π（x +14）+π3]＝2sin[（2πx +π3）+π2]＝2cos （2πx +π3）＝g （x ），故D 选项正确． 故选：ACD ．11．下列式子中最小值为4的是（ ） A ．sin 2x +4sin 2xB ．2x +22﹣xC ．8+log 2(2x)⋅log 2x8D ．1sin 2x +1cos 2x解：对于A ：sin 2x +4sin 2x≥2|sinx|⋅|2sinx |=4，当且仅当|sinx|=|2sinx|，即当且仅当sinx =±√2时等号成立， 但sinx =±√2不成立，所以sin 2x +4sin 2x的最小值取不到4，故选项A 错误； 对于B ：因为2x ＞0，2﹣x ＞0，则2x +22−x ≥2√2x ⋅22−x =4， 当且仅当2x ＝22﹣x ，即x ＝1时，等号成立，所以2x +22﹣x的最小值为4，故选项B 正确；对于C ：8+log 2(2x)⋅log 2x=8+(1+log 2x)(log 2x −3)=log 22x −2log 2x +5=(log 2x −1)2+4，当x ＝2时，取得最小值4，故选项C 成立；对于D ：由题意sin 2x ＞0，cos 2x ＞0， 则1sin 2x+1cos 2x=(sin 2x +cos 2x )(1sin 2x+1cos 2x)=cos 2x sin 2x+sin 2x cos 2x+2≥2√cos 2x sin 2x ⋅sin 2x cos 2x+2=4，当且仅当cos 2x sin 2x=sin 2x cos 2x，即tan x ＝±1时，等号成立，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则（ ）A ．若f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，则f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称B ．函数y ＝f （x ﹣1）与y ＝f （1﹣x ）的图象关于y 轴对称C ．若g （x +1）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2D ．若方程x ﹣g （f （x ））＝0有实数解，则f （g （x ））不可能是x 2+x +1解：对于A 选项，由f （x +1）+f （1﹣x ）＝2，得f （x +1）﹣1+f （﹣x +1）﹣1＝0，设F （x ）＝f （x +1）﹣1，则F （x ）+F （﹣x ）＝0，所以F （x ）是奇函数，图象关于（0，0）对称，所以根据函数图象变换的知识可知f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称，A 选项正确；对于B 选项，y ＝f （x ）与y ＝f （﹣x ）的图象关于y 轴对称，所以y ＝f （x ﹣1）与y ＝f [﹣（x ﹣1）]＝f （1﹣x ）的图象关于直线x ＝1对称，B 选项错误；对于C 选项，g （x +2）＝g （x +1+1）＝﹣g （x +1）＝g （x ），所以g （x ）是周期函数，其中一个周期T ＝2，C 选项正确；对于D 选项，设x 0是方程x ﹣g （f （x ））＝0的一个解， 则x 0﹣g （f （x 0））＝0， 所以x 0＝g （f （x 0））， 所以f （x 0）＝f [g （f （x 0））]， 令t ＝f （x 0）， 则t ＝f （g （t ）），即方程x ＝f （g （x ））有解，当f （g （x ））＝x 2+x +1时，方程x ＝x 2+x +1无解，所以D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题总分20分） 13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m﹣1在区间（0，+∞）上单调递增，则m ＝ 3 ．解：m 2﹣2m ﹣2＝1，解得m ＝3或﹣1，当m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣2，不满足在区间（0，+∞）上单调递增，舍去，当m ＝3时，f （x ）＝x 2，满足f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意， 故m ＝3． 故答案为：3．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2+n ＝4，则m+√nsin63°= 2√2 ．解：∵m ＝2sin18°，∴由m 2+n ＝4，得n ＝4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4cos 218°， 则m+√n sin63°=2sin18°+2cos18°sin63°=2√2sin(45°+18°)sin63°=2√2sin63°sin63°=2√2，故答案为：2√215．对于函数f （x ），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f （x ）为“倒戈函数”，设函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是： [1，43] ．解：因为函数f （x ）＝3x +tan x ﹣2m +1（m ∈R ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”， 所以存在x 0∈[﹣1，1]，使f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）， 即−3x 0−tanx 0+2m −1=3−x 0+tan(−x 0)−2m +1， 即4m −2=3x 0+3−x 0，令t =3x 0，则t ∈[13，3]，所以4m −2=t +1t≥2，当且仅当t ＝1，即x 0＝0时取等号， 解得m ≥1，m ＝1时，存在两点关于原点对称，∴m ≥1， 当t =13或t ＝3时，(4m −2)max =3+13=103，解得m ≤43，所以1≤m ≤43．故答案为：[1，43]．16．对于函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当f （x ）的定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域是[3m ，3n ]，则称[m ，n ]是该函数的“倍值区间”．若函数f(x)=√x +1+a 存在“倍值区间”，则a 的取值范围是 (−3712，−3] ． 解：由函数f(x)=√x +1+a 单调递增，且函数f （x ）存在“倍值区间”， 存在﹣1≤m ＜n ，使得{3m =√m +1+a3n =√n +1+a，设{u =√m +1≥0v =√n +1＞0，则0≤u ＜v ，且{m =u 2−1n =v 2−1，所以{3u 2−u −3−a =03v 2−v −3−a =0，因此二次函数g （x ）＝3x 2﹣x ﹣3﹣a 在[0，+∞）上有两个零点u ，v 且u ＜v ， 则{g(0)=−3−a ≥012×3＞0Δ=1+12(3+a)＞0，解得−3712＜a ≤−3． 故答案为：(−3712，−3]． 四、解答题（本题共6小题总分70分）17．（10分）（1）求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3的值； （2）已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈(−32π，−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα的值．解：（1）(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+√1.53×√126×√3=lg2(lg2+lg50)+2lg5+313×2−13×316×213×312=lg2×lg100+2lg5+313+16+12=2(lg2+lg5)+3=2×lg10+3=5.（2）因为2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1， 所以cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α+cos 2α﹣1＝0，所以cos 2α+3cos αsin α﹣4sin 2α＝0⇒（cos α﹣sin α）（cos α+4sin α）＝0， 所以cos α＝sin α或cos α＝﹣4sin α，即tan α＝1或tanα=−14，又α∈(−32π，−π)，α为第二象限角，所以tan α＜0，所以tanα=−14；所以2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9cosα=2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9=2×(−14)−34×(−14)−9=720． 18．（12分）设函数f(x)=cos(2x +π3)+2sin 2x ．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）若α∈(π4，π2)，且f(α)=25，求sin2α的值．解：（1）f(x)=12cos2x −√32sin2x +1−cos2x =−sin(2x +π6)+1，由2x +π6=kπ，得x =kπ2−π12，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心为(kπ2−π12，1)，k ∈Z ； （2）由f(α)=25，得1−sin(2α+π6)=25，即sin(2α+π6)=35，由α∈(π4，π2)，2α+π6∈(23π，76π)，知cos(2α+π6)=−45，所以sin2α=sin[(2α+π6)−π6]=sin(2α+π6)cos π6−cos(2α+π6)sin π6=35⋅√32−(−45)⋅12=3√3+410．19．（12分）已知函数f(x)=xx 2+4． （1）判断f （x ）在[﹣2，2]上的单调性，并用定义证明；（2）设g （x ）＝kx 2+2kx +1（k ≠0），若对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）设﹣2≤x 1＜x 2≤2， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 因为﹣2≤x 1＜x 2≤2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＜4⇒x 1x 2﹣4＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在[﹣2，2]单调递增；（2）由于对任意的x 1∈[﹣2，2]，总存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 所以函数f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集，由（1）知f （x ）在[﹣2，2]单调递增，f(−2)=−14，f(2)=14，所以f （x ）的值域为[−14，14]，当k ＞0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递增，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[1﹣k ，8k +1]，由{1−k ≤−1414≤8k +1，解得：k ≥54， 当k ＜0时，g （x ）在[﹣1，2]单调递减，g （﹣1）＝1﹣k ，g （2）＝8k +1， 所以g （x ）∈[8k +1，1﹣k ]，由{8k +1≤−1414≤1−k ，解得：k ≤−532， 综上所述，k ∈（﹣∞，−532]∪[54，+∞）．20．（12分）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC （AC ＞5米）的C 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE ．如图所示，广告牌底部点E 正好为DC 的中点，电梯AC 的坡度∠CAB ＝30°．某人在扶梯上点P 处（异于点C ）观察广告牌的视角∠DPE ＝θ．当人在A 点时，观测到视角∠DAE 的正切值为√39． （1）求扶梯AC 的长；（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP 的长．解：（1）设|BC |＝a ．∵∠CAB ＝30°，则|AB |=√3a ． tan ∠EAB =5+b 3b ，tan ∠DAB =10+b3b． ∴tan ∠DAE =√39=tan （∠DAB ﹣∠EAB ）=√3b −√3b 1+10+b √3b ⋅5+b √3b．化为：2b 2﹣15b +25＝0，解得b ＝5或52．∵AC ＞5．∴b ＝5．∴AC ＝10．（2）设AP →=k AC →，A （﹣5√3，0），C （0，5）． 则P （5√3k ﹣5√3，5k ）．（0≤k ≤1）． 作PF ⊥BC ，垂足为F 点，则F （0，5k ）． ∴tan ∠DPF =DF PF =15−5k 5√3(1−k)，tan ∠EPF =EF PF =10−5k5√3(1−k)． tan θ＝tan （∠DPF ﹣∠EPF ）=tan∠DPF−tan∠EPF1+tan∠DPFtan∠EPF =√3(1−k)4k 2−11k+9=f （k ），f ′（k ）=2√3(2k 2−4k+1)(4k 2−11k+9)2，k =2−√22时， f （k ）取得最大值，CP =√(5√3k −5√3)2+(5k −5)2=10（1﹣k ）＝5√2．21．（12分）设定义域为R 的奇函数f(x)=2−a−2x2x+1+2a，（其中a 为实数）．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k和x∈[﹣1，3]，使不等式f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0成立？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由f（x）是定义在R的奇函数，则有f（0）＝0，得a＝1，把a＝1代入函数得f(x)=1−2x2x+1+2，而f(−x)=1−2−x2−x+1+2=(1−2−x)2x(2−x+1+2)2x=2x−12+2x+1=−f(x)，所以a＝1符合题意；（2）f(x)=1−2x2x+1+2=−2x−1+22(2x+1)=−12+12x+1，因为函数2x+1＞0且在R单调递增，所以y=12x+1在R上单调递减，从而f（x）在R上单调递减．f（x2﹣kx）+f（2﹣x）＞0⇔f（x2﹣kx）＞f（x﹣2），因为f（x）在R上单调递减．得x2﹣kx＜x﹣2，即x2﹣（k+1）x+2＜0，令f（x）＝x2﹣（k+1）x+2，x∈[﹣1，3]，则依题意只需g（x）min＜0，易得g（x）的对称轴是x=k+1 2，①当k+12≥3，即k≥5时，g（x）在[﹣1，3]上单减，g（x）min＝g（3）＝8﹣3k＜0，即k＞83，所以k≥5；②当−1＜k+12＜3，即﹣3＜k＜5时，由g(x)min=g(k+12)=2−(k+1)24＜0，解得：k＜−1−2√2或k＞−1+2√2，所以−1+2√2＜k＜5；③当k+12≤−1，即k≤﹣3时，g（x）在[﹣1，3]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+k＜0，即k＜﹣4，所以k＜﹣4，综上知：存在实数k∈(−∞，−4)∪(−1+2√2，+∞)满足题设．22．（12分）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则称函数f（x）为“G（m）函数”．（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；（2）证明：函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”；（3）若函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，求实数a的取值范围．解：（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得f（x0+2）＝f（x0）+f（2），即2x0+2=2x0+22，解得x0=log243，故实数x0的值为log243．（2）证明：由h（x）＝2x+x2，则ℎ(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，ℎ(x0)+ℎ(1)=2x0+x02+3，令2x0+1+(x0+1)2=2x0+x02+3，得2x0=−2x0+2，设y＝2x，g（x）＝﹣2x+2，如图可知，两函数由一个交点，即存在实数x0，使得h（x0+1）＝h（x0）+h（1）成立，所以函数h（x）＝2x+x2为“G（1）函数”．（3）函数f(x)=lgax2+1有意义，则a＞0，定义域为R，因为函数f(x)=lgax2+1为“G（1）函数”，所以存在实数x0使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，即存在实数x0使得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，所以存在实数x0使得2x02+2(x0+1)2+1=a成立，即(a−2)x02+2ax0+2a−2=0，所以当a＝2时，x0=−12，满足题意；当a≠2时，Δ＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得3−√5≤a≤3+√5且a≠2，所以实数a的取值范围是[3−√5，3+√5]．。

高一数学必修2考试卷一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分）1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形；正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形；侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）（A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）1922、已知A （x 1；y 1）、B （x 2；y 2）两点的连线平行y 轴；则|AB |=（ ）A 、|x 1-x 2|B 、|y 1-y 2|C 、 x 2-x 1D 、 y 2-y 13．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D. 434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5；且它的8个顶点都在同一球面上；则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5、已知正方体外接球的体积是323π；那么正方体的棱长等于 （ D ） （A ）22 （B ）233 （C ）423（D ）433 6、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线；α、β是不重合的平面；则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂；则//l nB ．若,l αβα⊥⊂；则l β⊥C. 若,//l l αβ⊥；则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥；则//l m7、如图；在正方体1111ABCD A B C D -中；E F G H ，，，分别为1AA ；AB ；1BB ；11B C 的中点；则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°A F D BC G E 1B H 1C 1D1A8、方程（x-2）2+(y+1)2=1表示的曲线关于点T （-3；2）的对称曲线方程是： （ ）A 、 (x+8)2+(y-5)2=1B 、(x-7)2+(y+4)2=2C 、 (x+3)2+(y-2)2=1D 、(x+4)2+(y+3)2=29、已知三点A （－2；－1）、B （x ；2）、C （1；0）共线；则x 为： （ ）A 、7B 、-5C 、3D 、-110、方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范围是 ( )A 、 m ≤2B 、 m<2C 、 m<21D 、 m ≤2111、过直线x+y-2=0和直线x-2y+1=0的交点；且垂直于第二直线的直线方程为 （ ）A 、+2y-3=0B 、2x+y-3=0C 、x+y-2=0D 、2x+y+2=012、圆心在直线x=y 上且与x 轴相切于点（1；0）的圆的方程为： （ ）A 、(x-1)2+y 2=1B 、(x-1)2+(y-1)2=1C 、(x+1)2+(y-1)2=1D 、(x+1)2+(y+1)2=1二、填空题：（每小题5分；共20分）13、直线x=2y-6到直线x=8-3y 的角是 。

高一数学必修第二册全册复习测试题卷6（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)(λ>0)，∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣−∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4，∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=10，则 BI ⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣BA⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52. 已知 A ，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB =90∘，C 为该球面上的动点．若三棱锥 O −ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π3. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI ⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 在 △ABC 中，B =30∘，AB =2√3，AC =2，则 △ABC 的面积是 ( )A ． √3B ． 2√3C ． √3 或 2√3D ． 2√3 或 4√35. 若z 1=2+i ，z 2=3+ai(a ∈R)，z 1+z 2的和所对应的点在实轴上，则a 为( )A ．3B ．2C ．1D ．−16. 复数 z =x +yi (x,y ∈R ) 满足条件 ∣z −4i ∣=∣z +2∣，则 2x +4y 的最小值为 ( ) A ． 2B ． 4C ． 4√2D ． 167. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 b =2，B =π6，C =π4，则 △ABC 的面积为 ( ) A ． 2√3+2B ． √3+1C ． 2√3−2D ． √3−18. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 29. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 510. 如图所示，在 △ABC 中，D ，E 分别为 BC ，AC 上的点，且 ∣BD ∣=∣DC ∣，∣AE∣∣EC∣=23，M 为 BE与 AD 的交点，则 ∣BM∣∣ME∣ 的值为 ( )A ． 32B ． 2C ． 52D ． 3二、填空题（共6题） 11. 已知半径为 3√24的球中有一个内接正四面体，则这一正四面体的体积是 ．12. 如图，在 △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =3，D ，E ，F 分别在边 AB ，BC ，CA 上，且 DE ⊥EF ，BE =2EC ．则 ① EFDE = ；② △DEF 面积的最大值为 ．13. 已知 a ，b ⃗ 为单位向量，且 a ⋅b ⃗ =√32，若向量 c 满足 (c −a )⋅(c −2a )=0，则 ∣∣c −λb ⃗ ∣∣(λ∈R ) 的最小值为 ．14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =√2，BC =2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =√2，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 ．15. 设单位向量 a ，b ⃗ 的夹角为锐角，若对任意的 (x,y )∈{(x,y )∣ ∣ xa +yb⃗ ∣ =1,xy ≥0}，都有 ∣x +2y ∣≤√15成立，则 a ⋅b⃗ 的最小值为 ．16. 若复数 z 满足 ∣∣z−1z ∣∣=12，arg z−1z =π3，则 z 的代数形式是 z = ．三、解答题（共6题）17. 设复数 z =x +yi (x,y ∈R ) 与复平面上点 P (x,y ) 对应．(1) 若 ∣z ∣2+2z =3+4i ，求复数 z 对应点 P 到坐标原点距离；(2) 设复数 z 满足条件 ∣z +3∣+(−1)n ∣z −3∣=3a +(−1)n a （其中 n ∈N ∗，a ∈(32,3)），当n 为奇数时，动点 P (x,y ) 的轨迹为 C 1，当 n 为偶数时，动点 P (x,y ) 的轨迹为 C 2，且两条曲线都经过点 D(2,√2)，求轨迹 C 1 与 C 2 的方程；(3) 在（2）的条件下，轨迹 C 2 上存在点 A ，使点 A 与点 B (x 0,0)(x 0>0) 的最小距离不小于2√33，求实数 x 0 的取值范围．18. 如图，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E ，G 分别是 BC ，C 1D 1 的中点．证明：EG ∥平面BDD 1B 1．19. 如图，在正四棱锥 P −ABCD 中，F 为 AD 的中点，E 为边 BC 的中点，M 是棱 PC 的中点，AB =4．(1) 求证：直线PA ∥平面MFE ．(2) 若二面角 P −AD −C 的大小为 60∘，求直线 PE 与平面 MFE 所成角的余弦值．20. 如图，在 △ABC 中，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =QC⃗⃗⃗⃗⃗ ，AR ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ 与 CR 相交于点 I ，AI 的延长线与边 BC 交于点 P ．(1) 用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 CR⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 如果 AI ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCR ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 λ 和 μ 的值； (3) 确定点 P 在边 BC 上的位置．21. 如图，某公园有三条观光大道 AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边 BC =200 m ，斜边AB =400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点 D ，E ，F ．(1) 若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；，请将甲乙之间的距(2) 设∠CEF=θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF=π3离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．22.在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx−2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：(1) 能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2) 证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)(λ>0)， 所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上， 又 I 在 ∠APB 的角平分线上， 所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=10， 所以 ∣AB ∣=10．BI ⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣BA⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ， 则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4， 所以 ∣BK ∣=3， 故BI ⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣BA⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 的值为 3．【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】△AOB 的面积为定值，当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 O −ABC 的体积取得最大值．由 16R 3=36 得 R =6．从而球 O 的表面积 S =4πR 2=144π．【知识点】球的表面积与体积3. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI ⃗⃗⃗⃗ ⋅BA⃗⃗⃗⃗⃗∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义4. 【答案】C【解析】由 AB =2√3，AC =2，B =30∘及正弦定理 AC sinB=AB sinC 得 sinC =ABsinB AC=2√3×122=√32． 由 C 为三角形的内角可知 C =60∘或120∘． 因此 A =90∘或30∘．在 △ABC 中，由 AB =2√3，AC =2，A =90∘或30∘， 得面积 S =12AC ⋅AB ⋅sinA =2√3或√3． 【知识点】正弦定理5. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．【解析】解：∵z 1+z 2=2+i +(3+ai)=5+(1+a)i 所对应的点在实轴上，∴1+a =0，解得a =−1． 故选：D ．【点评】熟练掌握复数的运算法则及其几何意义是解题的关键．6. 【答案】C【解析】由 ∣z −4i ∣=∣z +2∣， 所以 ∣x +yi −4i ∣=∣x +yi +2∣， 所以 x 2+(y −4)2=(x +2)2+y 2， 所以 x +2y =3， 所以 2x+4y=2x+22y≥2√2x ⋅22y =2⋅2x+2y2=2⋅232=4√2．【知识点】均值不等式的应用、复数的几何意义7. 【答案】B【知识点】正弦定理8. 【答案】C【解析】【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．【解析】解：列表得：\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline ( 1，6) &( 2，6) &( 3，6) &( 4，6) &( 5，6) &( 6，6) \\\hline ( 1，5) &( 2，5) &( 3，5) &( 4，5) &( 5，5) &( 6，5) \\\hline ( 1，4) &( 2，4) &( 3，4) &( 4，4) &( 5，4) &( 6，4) \\\hline ( 1，3) &( 2，3) &( 3，3) &( 4，3) &( 5，3) &( 6，3) \\\hline ( 1，2) &( 2，2) &( 3，2) &( 4，2) &( 5，2) &( 6，2) \\\hline ( 1，1) &( 2，1) &( 3，1) &( 4，1) &( 5，1) &( 6，1) \\\hline\end{array}\)∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为p 1=1036=518，点数之和大于5的概率记为p 2=2636=1318，点数之和为偶数的概率记为p 3=1836=12，∴p 1<p 3<p 2故选：C ．【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【知识点】古典概型9. 【答案】B【解析】由 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，得 AI ⃗⃗⃗⃗ =λ(AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)， 所以 I 在 ∠BAP 的平分线上，由此得 I 是 △ABP 的内心，如图，过 I 作 IH ⊥AB 于 H ，以 I 为圆心，IH 为半径，作 △PAB 的内切圆，分别切 PA ，PB 于 E ，F ，因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4,∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，∣∣BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12(∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)=12[∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−(∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)]=3， 在 Rt △BIH 中，cos∠IBH =∣∣BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣BI ⃗⃗⃗⃗ ∣∣， 所以BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣BI ⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠IBH =∣∣BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3．【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直10. 【答案】C【解析】设 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为 ∣BD ∣=∣DC ∣， 所以 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ， 因为 ∣AE∣∣EC∣=23， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +25b⃗ ， 所以 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35λa +25λb ⃗ ， 又 A ，M ，D 三点共线，所以存在 μ∈R ，使得 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa +1−μ2b⃗ ， 所以 {35λ=μ,25λ=1−μ2, 解得 {λ=57,μ=37,所以 BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =57BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以∣BM∣∣ME∣=52．【知识点】平面向量的分解二、填空题（共6题） 11. 【答案】 12【知识点】棱锥的表面积与体积12. 【答案】 12 ； 4−2√2【解析】如图，作 EN ⊥AC 于 N ，作 EM ⊥BC 于 M ，可得 F 在线段 MN 上运动． 因为 AB =AC =3，BE =2EC ．则 CE =√2，BE =2√2， 设 CF =x ，DB =y ，（x ，y ∈[1,√2]），在 △CEF 中，由余弦定理可得 EF 2=CF 2+CE 2−2CF ⋅CEcos45∘=x 2−2x +2， 同理可得 DE 2=y 2−4y +8，由勾股定理可得 DF 2=(3−x )2+(3−y )2，由 EF 2+ED 2=FD 2，即可得 x 2−2x +2+y 2−4y +8=(3−x )2+(3−y )2， 整理得：2x +y =4, ⋯⋯①所以EF 2DE 2=x 2−2x+2y 2−4y+8=x 2−2x+24x 2−8x+8=14，EFDE=12, ⋯⋯②△DEF 面积为 S =12EF ⋅DE =EF 2=x 2−2x +2=(x −1)2+1∈[1,4−2√2]；所以 △DEF 面积的最大值为 4−2√2．【知识点】余弦定理13. 【答案】 14【解析】由题意设 a =(1,0)，b ⃗ =(√32,12)，c =(x,y )， 因 (c −a )⋅(c −2a )=0，即 (x −1)(x −2)+y 2=0，所以 (x −32)2+y 2=14，它表示圆心为 C (32,0)，半径 r =12 的圆，又 c −λb ⃗ =(x −√32λ,y −12λ)， 所以 ∣∣c −λb ⃗ ∣∣=√(x −√32λ)2+(y −12λ)2，而 (x−√32λ)2+(y −12λ)2表示圆 C 上的点 (x,y ) 与点 D (√32λ,12λ) 的距离的平方，由 ∣CD∣2=(√32λ−32)2+(12λ−0)2=λ2−3√32λ+94=(λ−3√34)2+916≥916，所以 ∣CD∣≥34，故 ∣∣c −λb ⃗ ∣∣ 的最小值为 34−12=14．【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】√2【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2=√2∣DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 ∣DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=1，∣∣CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√2−1， 因此AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0−√2(√2−1)+2+0=√2.【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】14【解析】设向量 a ，b ⃗ 的夹角为 θ，0∘<θ<90∘， 因为 ∣x +2y ∣≤√15，所以 1≥√158∣x +2y ∣．又 ∣xa +yb ⃗ ∣=1，则 x 2+y 2+2xycosθ=1， 所以 cosθ=1−x 2−y 22xy≥[√158(x+2y )]2−x 2−y 22xy=−4964x 2−116y 2+1516xy2xy恒成立，因为−4964x 2−116y 2+1516xy2xy=1532−12(49x64y +y16x )≤1532−78×4=14，所以 cosθ≥14．即 a ⋅b⃗ 的最小值为 14． 【知识点】平面向量的数量积与垂直16. 【答案】 1+√33i【解析】设z−1z=z 0，则 ∣z 0∣=12，argz 0=π3，所以 z 0=12(cos π3+isin π3)=14+√34i ， 所以z−1z=14+√34i ， 解得 z =1+√33i ． 【知识点】复数的几何意义、复数的三角形式、复数的乘除运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) √5； (2)x 23−y 26=1(x ≥√3)，x 212+y 23=1；(3) (0,√5)∪[8√33,+∞)．【知识点】轨迹与轨迹方程、复数的几何意义、椭圆中的动态参数问题18. 【答案】如图，取 BD 的中点 F ，联结 EF ，D 1F ．因为 E 是 BC 的中点， 所以 EF 为 △BCD 的中位线，则 EF ∥DC ，且 EF =12CD ． 因为 G 是 C 1D 1 的中点， 所以 D 1G ∥CD 且 D 1G =12CD ． 所以 EF ∥D 1G 且 EF =D 1G ， 所以四边形 EFD 1G 为平行四边形．所以 D 1F ∥EG ，且 D 1F ⫋平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以 EG ∥平面BDD 1B 1．【知识点】直线与平面平行关系的判定19. 【答案】(1) 连接 AC ，交 EF 于 O ，连接 OM ，因为在正四棱锥 P −ABCD 中，F 为 AD 的中点，E 为边 BC 的中点， M 是棱 PC 的中点，AB =4． 所以 O 是 AC 的中点， 所以 PA ∥OM ，因为 PA ⊄平面MFE ，OM ⊂平面MFE ， 所以 直线PA ∥平面MFE ．(2) 连接 AC ，BD ，交于点 O ，连接 OP ，OM ，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 OP =t ，则 A(2√2,0,0)，D(0,−2√2,0)，P (0,0,t )， PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,−t)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,−t)， 设平面 PAD 的法向量 n ⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2x −tz =0,n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2y −tz =0, 取 x =1，得 n ⃗ =(1,−1,2√2t )，平面 ADC 的法向量 m ⃗⃗ =(0,0,1)， 因为二面角 P −AD −C 的大小为 60∘， 所以 cos60∘=∣m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m⃗⃗⃗ ∣⋅∣∣n ⃗ ∣=2√2t √2+8t2，解得 t =2√3．所以 P(0,0,2√3)，C(−2√2,0,0)，E(−√2,√2,0)，F(√2,−√2,0)，M(−√2,0,√3)， PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,√2,−2√3)，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,√2,√3)，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,2√2,0)， 设平面 MEF 的法向量 n ⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x +√2y +√3z =0,n ⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x +2√2y =0,取 x =1，得 n ⃗ =√2√3)， 设直线 PE 与平面 MFE 所成角为 θ，则 sinθ=∣∣PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣∣∣PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n ⃗ ∣∣=√24⋅√2+23=√34，cosθ=√134， 所以直线 PE 与平面 MFE 所成角的余弦值为√134． 【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定20. 【答案】(1) 由 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又 AR ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 CR⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AR ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2) 将 BQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CR ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入 AI ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCR ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即 (1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以 {1−λ=13μ,12λ=1−μ, 解得 {λ=45,μ=35.(3) 设 BP⃗⃗⃗⃗⃗ =mBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =nAI ⃗⃗⃗⃗ ． 由（2）知 AI⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 BP⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =nAI ⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n (15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2n 5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(n 5−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mBC⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 {−m =n5−1,m =2n 5,解得{m =23,n =53.所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BPPC =2．【知识点】平面向量的分解、平面向量的数乘及其几何意义21. 【答案】(1) 依题意得 BD =300，BE =100． 在 △ABC 中，cosB =BC AB=12，所以 B =π3．在 △BDE 中，由余弦定理得：DE 2=BD 2+BE 2−2BD ⋅BE ⋅cosB=3002+1002−2⋅30⋅100⋅12=70000.所以 DE =100√7，所以甲乙两人之间的距离为 100√7 m ． (2) 由题意得 EF =2DE =2y ，∠BDE =∠CEF =θ． 在直角三角形 CEF 中，CE =EF ⋅cos∠CEF =2ycosθ．在 △BDE 中，由正弦定理得 BE sin∠BDE =DEsin∠DBE ， 即200−2ycosθsinθ=ysin60∘，所以 y =√3√3cosθ+sinθ=50√3sin(θ+π3)，0<θ<π2．所以当 θ=π6时，y 有最小值 50√3． 所以甲乙之间的最小距离为 50√3 m ．【知识点】余弦定理、正弦定理、解三角形的实际应用问题22. 【答案】(1) 不会出现 AC ⊥BC 的情况．理由如下：设 A (x 1,0)，B (x 2,0)，则 x 1，x 2 是方程 x 2+mx −2=0 的根，所以 x 1+x 2=−m ，x 1x 2=−2，则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,1)⋅(−x 2,1)=x 1x 2+1=−2+1=−1≠0， 所以不会出现 AC ⊥BC 的情况．(2) （法一）过 A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段 AB 的垂直平分线上，设圆心 E (x 0,y 0)，则 x 0=x 1+x 22=−m2，半径 r =∣EC ∣=√x 02+(y 0−1)2．由 ∣EA ∣=∣EC ∣，得 (x 0−x 1)2+y 02=x 02+(y 0−1)2，所以 (x 1+x 22−x 1)2+y 02=(x 1+x 22)2+(y 0−1)2，化简得 y 0=1+x 1x 22=−12，所以圆心 E (−m2,−12)，半径 r =√x 02+(y 0−1)2=√m 2+94，所以圆 E 的方程为 (x +m 2)2+(y +12)2=m 2+94，令 x =0，解得 y 1=1，y 2=−2，所以过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 1−(−2)=3，即过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．（法二）设过 A ，B ，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D ，由 x 1x 2=−2 可知原点 O 在该圆内，所以根据相交弦定理，可得 ∣OD ∣⋅∣OC ∣=∣OA ∣⋅∣OB ∣=∣x 1∣∣x 2∣=2． 又因为 ∣OC ∣=1，所以 ∣OD ∣=2，所以过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 ∣OC ∣+∣OD ∣=3，即为定值．【知识点】直线被圆截得的弦长、平面向量数量积的坐标运算。

（数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A组]一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）B.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125π D．都不对4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）AB2 C．235．在△ABC中，02, 1.5,120AB BC ABC==∠=,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 92π B. 72π C. 52π D. 32π6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．130 B．140 C．150 D．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D -中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。