高一数学必修二练习题精编版

高一数学必修2习题(答案详解)高一数学必修2习题(答案详解)一、选择题1. 题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则A∩B的最小值是（）选项：A. 0B. 1C. 2D. 3解析：集合A和集合B的交集即为A∩B。

在这里，A和B的交集为{3, 4}，共有两个元素。

因此，答案为C. 2。

2. 题目：若sinθ=1/2，θ∈（0, π），则cosθ的值为（）选项：A. 1/2B. -1/2C. √3/2D. -√3/2解析：根据三角函数的定义，sinθ=对边/斜边。

在这里，sinθ=1/2，代表一个直角三角形中，对边的长度是斜边长度的一半。

根据勾股定理，可知另外一个边的长度为√3/2。

因此，cosθ=邻边/斜边=√3/2。

答案为C. √3/2。

二、填空题1. 题目：已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A 和事件B同时发生的概率为0.3，则事件A和事件B互不独立。

事件A的补事件的概率是（）。

解析：事件A的概率为0.6，补事件即为事件A不发生的概率，即1-0.6=0.4。

2. 题目：已知函数y=2x-1，若x=3，则y的值为（）。

解析：将x=3代入函数中，得到y=2*3-1=5。

三、计算题1. 题目：已知函数y=2x+3，求当x=1时，y的值。

解析：将x=1代入函数中，得到y=2*1+3=5。

2. 题目：已知函数y=3x^2-2x+1，求当x=2时，y的值。

解析：将x=2代入函数中，得到y=3*2^2-2*2+1=13。

四、解答题1. 题目：求解方程2x-5=7。

解析：将方程两边都加上5，得到2x=12。

再将方程两边都除以2，得到x=6。

因此，方程的解为x=6。

2. 题目：求解方程3x^2-5=0。

解析：将方程两边都加上5，得到3x^2=5。

再将方程两边都除以3，得到x^2=5/3。

对方程两边取平方根，得到x=±√(5/3)。

因此，方程的解为x=±√(5/3)。

数学必修第二册试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，下列说法正确的是：A. 函数f(x)在(-∞, 1/3)上单调递增B. 函数f(x)在(1/3, +∞)上单调递减C. 函数f(x)在(-∞, 1/3)上单调递减D. 函数f(x)在(1/3, +∞)上单调递增答案：D2. 集合A = {x | x > 2}，集合B = {x | x < 3}，则A∩B为：A. (2, 3)B. (3, +∞)C. (-∞, 2)D. (-∞, 3)答案：A3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1 = 1，公差d = 2，则S_5为：A. 15B. 25C. 30D. 35答案：B4. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期为：A. πB. 2πC. 4πD. 1答案：B5. 已知圆C：(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25，点P(-1, 2)，则点P与圆C的位置关系为：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不确定答案：C6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)：A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 3xC. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角为：A. π/4B. π/3C. π/2D. 2π/3答案：B8. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1 = 1，公比q = 2，则S_5为：A. 31B. 31/2C. 31/3D. 31/4答案：A9. 函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A10. 已知直线l：y = 2x + 3与x轴的交点为：A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，函数的最小值为______。

高一数学 (必修 2)综合测试题一、填空题（ 14 小题，共 70 分）1．用符号表示“点 A 在直线l上， l在平面外”为▲A 2．右图所示的直观图，其本来平面图形的面积是▲23．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图以以下图所示，O 45B2则这个棱柱的侧面积为▲。

4．a，b，c分别表示三条直线，4M表示平面，给出以下四个命题：①若a∥ M，b ∥ M，则 a∥ b；②若 b M， a∥b，则33a∥ M；③若正视图侧视图俯视图⊥，⊥则∥；④若⊥⊥M，则a∥ . 此中不正确命题的有▲（填序号）a cb c， a b a M，b b5．已知正方体外接球的体积是32，那么正方体的棱长等于▲36．直线 3 x+y+1=0的倾斜角为7．经过直线 2x+3y-7=0与 7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0 的直线方程是 ________ ▲ ___. 8．若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为▲9．两圆订交于点 A（ 1， 3）、 B（ m，－ 1），两圆的圆心均在直线x－ y+c=0上，则 m+c的值为▲10．两圆（ x― 2）2 +(y+1) 2 = 4与 (x+2)2+(y ― 2) 2 =16 的公切线有▲条11．经过点 M（ 1， 1）且在两轴上截距相等的直线是▲。

．．．．12．光芒从点（―1， 3）射向x 轴，经过x 轴反射后过点（4， 6），则反射光芒所在的直线方程一般式是▲13．若直线y kx 4 2k 与曲线y4x 2有两个交点，则k 的取值范围是▲14．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共极点的三条棱中点的平面截该正方体, 则截去8 个三棱锥后 , 剩下的凸多面体的体积是▲二、解答题（ 6 大题 , 共 90 分）15.( 此题 14 分 )已知ABC 三个极点是 A (1,4)， B( 2, 1) ，C(2,3)．y（ 1）求 BC边中线 AD所在直线方程；（ 2）求点Ａ到ＢＣ边的距离．AC 4cm16.( 此题 14 分 )如图，一个圆锥形的空杯子上边放着一个半球形的冰淇淋，假如冰淇淋消融了，会溢出杯子吗?请用你的计算数听说明原因．O xB12cm17． (本 15 分 )如， ABCD是正方形， O是正方形的中心，PO 底面 ABCD， E 是 PC的中点．P求：（ 1）PA∥平面 BDE；（2）平面 PAC 平面 BDE．18． (本15 分 )已知直 l 点P（1，1），并与直 l 1：x E－ y+3=0 和l2：2x+y － 6=0 分交于点A、B，若段 AB 被点 P 平分，求：（Ⅰ）直l 的方程；D C （Ⅱ）以 O心且被l 截得的弦8 5的的方程．O5A B19．( 本16 分) 已知数a足 0<a<2，直l1：ax－ 2y－ 2a+4=0 和l2：2x+a2y－ 2a2－ 4=0 与两坐成一个四形。

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高中数学必修2综合测试题一、选择题1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）2、直线30l y ++=的倾斜角α为 （ ）A 、30;B 、60;C 、120；D 、150.3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ） A、34a ； B、312a ； C、24a ； D2. 4、对于直线:360l x y -+=的截距,下列说法正确的是 （ ）A 、在y 轴上的截距是6;B 、在x 轴上的截距是6；C 、在x 轴上的截距是3;D 、在y 轴上的截距是3-。

5、已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是 ( ）A 、平行；B 、相交或异面；C 、异面；D 、平行或异面。

6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //,则满足条件a 的值为 ( ）A 、12-； B 、12； C 、2-； D 、2。

7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。

若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 ( ） A2； B2； C2； D2。

8、已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ）A 、圆心()1,3P ,半径10r =；B 、圆心()1,3P，半径r =图（1）ABCDC 、圆心()1,3P -,半径10r =;D 、圆心()1,3P -,半径r =。

高中数学必修二全书综合练习题100题（选择题+解答题）一、单选题1．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）A ．35B ．23C ．34D ．4152．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 3．下列说法正确的是（）A ．若a b =r r ，则a b=± B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量4．已知2i z =+，则i1iz -=+（）A ．12i-B ．22i+C ．2iD ．2i-5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3a =，4b =，6A π=，则cos B =（）A ．23B ．3C ．D ．6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．2R π7．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立8．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．()23P A B +=D ．()56P A B +=9．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（）A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近3510．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（）AB ．3C ．πD 11．抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（）A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立12．电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（）.A ．100B ．160C ．200D ．24013．已知单位向量a ，b，则下列说法正确的是（）A ．a b =B ．0a b += C ．a b= D ．//a b14．如图1为某省2019年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解不正确的是（）A ．2019年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B ．从1~4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长C ．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致D ．2019年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节后网购迎来喷涨有关15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF 则三棱锥A BEF -的体积为（）A ．112B ．14C ．212D ．不确定16．储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m 和3m ，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（）A ．6B ．9C ．10D ．1117．复数20492z i =-+的共轭复数z =（）A ．122i +B ．122i -C ．2i--D ．2i-+18．已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i +D ．42i+19．化简3(2)2()a b a b +-+的结果为（）A ．4r r a b+B ．a b+C ．2a b+ D ．a b- 20．下列条件中，能得出直线m 与平面α平行的是（）A ．直线m 与平面α内的所有直线平行B ．直线m 与平面α内的无数条直线平行C ．直线m 与平面α没有公共点D ．直线m 与平面α内的一条直线平行21．对任意量给非零向量a ，b，定义新运算：sin ,a a b a b b ⨯= ．已知非零向量m ，n满足3m n > ，且向量m ，n 的夹角ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()4m n ⨯ 和()4n m ⨯ 都是整数，则m n ⨯ 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．17422．如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A．B．C ．D ．23．已知向量a ，b 满足||a =r ||2b = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°24．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π625．若复数z 满足(z -1)i =1+i 其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i26．设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i -27．若1()9P AB =，2(3P A =，1()3P B =，则事件A 与B 的关系是（）A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立28．已知复数z 满足2i 2i z =+，则z 的虚部为（）A ．2-B ．iC ．1D ．229．已知平面四边形ABCD 满足AB DC =，则四边形ABCD 是（）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形30．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（）A B C D 31．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）A ．20B ．40C ．64D ．8032．如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形33．在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（）A ．1B 2C 5D ．334．在样本的频率分布直方图中，一共有4,)Z (n n n ≥∈个小矩形，第4个小矩形的面积等于其余（n 1-）个小矩形面积和的37，则第4个小矩形对应的频率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.735．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在棱AD 上，过点P 作该正方体的截面，当截面平行于平面11B D C 3AP 的长为（）A 2B ．1C 3D 3236．2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限37．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）．A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶38．已知向量()1,a m =- ，()1,2b m =+ ，且a b ⊥，则m =（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-39．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（）A ．124B ．1124C ．23D ．3440．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于AB ．2C 1D －141．2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误．．的是（）A ．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B ．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C ．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D ．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多42．已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--43．已知集合{}1,0,1,2M =--，从集合M 中有放回地任取两元素作为点P 的坐标，则点P 落在坐标轴上的概率为（）A ．516B ．716C ．38D ．5844．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（）A ．6B ．12C ．D ．45．已知平面向量a ，b ，c 满足：2= a ，3b = ，()a ab ⊥- 且20a bc -+=，则c 为（）A ．1B ．3C D ．946．下列说法中，正确的是（）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④47．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1A D 与直线1B M 所成角大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°48．天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（）A ．0.40B ．0.30C ．0.25D ．0.2049．已知复数z 满足()()i 2i 62i z -+=-，则z =（）AB ．2CD 50．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．233二、解答题51．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2224a c b +-=，sin 4B =.(1)求△ABC 的面积；(2)若1sin sin 2A C =，求△ABC 的周长.52．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.53．在如图所示的半圆柱中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD 为母线，点F 在 AB 上，点G 在 DC上且222AB AD BF DG ====，P 为DC 的中点.(1)求直线AG 与直线BF 所成角的余弦值；(2)求直线CA 与平面ADG 所成角的正切值；(3)求二面角A GC D --的正弦值.54．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足4sin 3cos a B b A =．(1)求cos A 的值；(2)若△ABC 的面积为222a c -，求bc 的值．55．如图所示，M 是菱形ABCD 所在平面外一点，MA MC =．求证：AC 垂直于平面BDM ．56．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．57．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．58．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；3=2ABC BC S →→⋅△；③sin sin 33B B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（1）求角B 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围.59．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.60．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．61．如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC = .（1）用AB ，AD 表示DC ；（2）若2AE EB = ，34DP DE = ，用AB ，AD 表示AP .62．当实数m 分别为何值时，(1)复数()22256i z m m m m =+-+++是：实数？虚数？(2)复数()222log 33i log (3)z m m m =--+-纯虚数？63．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x-≥则不认为有显著提高）．64．中秋佳节来临之际，小李准备销售一种农特产，这段时间内，每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元.经调查，市场需求量的频率分布直方图如图所示.小李购进了160箱该特产，以x（单位：箱，100≤x≤200）表示市场需求量，y（单位：元）表示经销该特产的利润.(1)根据频率分布直方图估计市场需求量的众数和平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据频率分布直方图求利润不少于4800元的频率.65．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号为001，002，⋅⋅⋅，900．(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数．052693706022358515139203515977 595678068352910570740797108823 099842996461716299150651291693 580577095151268785855487664754 733208111244959263162956242948 269961655358377880704210506742 3217558574944467169414655268758759362241267863065513082701501529393943(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中选择A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B 题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差．66．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]⋯（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.67．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.68．在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，△CDE 是等边三角形，棱//EF BC 且12EF BC =，证明：FO ∥平面CDE .69．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ＝3b ＝6，cos A ＝﹣13．（1）求c ；（2）求cos2B 的值．70．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，F 为1CC 的中点．(1)求证：1//BD 平面AEC ；(2)求证：平面//AEC 平面1BFD ．71．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．72．统计某校n 名学生期中考试化学成绩（单位：分），由统计结果得如下频数分布表和频率分布直方图：化学成绩组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数m 2638p 8(1)求出表中m ，p 的值；(2)估计该校学生化学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于70分的学生所占比例不低于该校全体学生的80%”的考核标准？73．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（1）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（3）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判定其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.74．从甲､乙､丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）进行追踪调查，结果如下：甲：5，5，6，6，8，8，8，10；乙：4，5，6，7，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.(1)三个厂家的广告中都称该产品的使用寿命是8年，请指出___________（从“甲､乙､丙”三厂家中选择一个）厂家在广告中依据了统计数据中的哪个特征数？(2)计算甲厂家抽取的8件产品的方差.75．已知向量(),1m a = ，(),2n b =- ．(1)若2a =，1b =，且()()m n m n λ-⊥+ ，求实数λ的值；(2)若25m n -= ，求m n ⋅ 的最小值．76．在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，其中边c 最长，并且22sin sin 1A B +=．(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)当1c =时，求ABC 面积的最大值．77．2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．78．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.79．如图所示的几何体由三棱锥P ADQ -和正四棱锥P ABCD -拼接而成，PQ ⊥平面ADQ ，//AB PQ ，1PQ =，2AB =，5AQ =O 为四边形ABCD 对角线的交点．(1)求证：//OP 平面ADQ ；(2)求二面角O AP D --的正弦值．80．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点．将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -．(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若1AD =，二面角B AD E --的大小为60°，求三棱锥A BCD -的体积．81．小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：利润占投入的百分比10%5%5%-频率50%40%10%利润占投入的百分比10%5%频率40%x y项目B 的表格中的两个数据丢失，现用x ，y 代替但调研时发现：投资A ，B 这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A ，B 两个项目的利润情况互不影响.（1）求x ，y 的值，并分别求投资A ，B 项目不亏损的概率；（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.82．如图，在空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，2BC CD ==，32AC =，延长BC 到E ，使BC CE =，取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和它们所成的角．83．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设小敏获胜为事件A ，试用样本点表示A .84．为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲､乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲､乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm ）记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(2)轮胎的宽度在[]194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲､乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择.85．实数x 分别取什么值时，复数()()226215z x x x x i =+-+--对应的点Z 在：（1）第三象限；（2）直线30x y --=上.86．设向量()1,2a =- ，()1,1b =-r ，()4,5c =- .(1)求2a b + ；(2)若c a b λμ=+r r r ，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+uu u r r r ，2BC a b =- ，42CD a b =- ，求证：A ，C ，D 三点共线.87．在①55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题.维生素C 又叫L -抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.现从猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素C 的含量（单位：mg ）各10个数据如下，其中猕猴桃的一个数据x 被污损.猕猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x ；柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117.已知x 等于柚子的10个数据中的___________.(1)求x 的值与猕猴桃的数据的中位数；(2)分别计算上述猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素C 含量的平均数.88．如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm ，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数）89．某学校兴趣小组进行了一项关于当年校服流行颜色的调查，调查者在该学校附近的公交站询问学生喜欢的校服颜色并进行统计，根据这次统计结果，选出的服装颜色的众数是蓝白搭配．而当年学校发布的调查结果是灰白搭配．(1)兴趣小组的调查结果是否代表该学校所有师生的看法？(2)你认为这两种调查的差异是由什么引起的？90．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a = ，CD b = ，当12AE AB = ，请用a ，b 来表示AB ，CE ；（2）当2AE EB = 时，试求AD CE ⋅ ．91．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH ∥平面BCD ；（2）BD ∥平面EFGH .92．已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．(1)求z ；(2)若复数2i 3+i z m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面上对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．93．已知向量x y ､满足：1,2x y == ，且()()2215x y x y -⋅-= .(1)求向量x 与向量y 的夹角θ；(2)若()mx y y -⊥ ，求实数m 的值.94．某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的80%，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？95．某校有高一年级学生520人，高二年级学生500人，高三年级学生x 人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到不同年级学生的消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小．(1)应采用怎样的抽样方法？(2)按（1）中的抽样方法，在高一年级中抽取26人，则该校的高三年级的学生共有多少人？96．已知正三棱柱ABC ﹣A1B 1C 1的边长均为E ，F 分别是线段AC 1和BB 1的中点．（1）求证：EF //平面ABC ；（2）求三棱锥C ﹣ABE 的体积．97．在平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用,a b 分别表示,BF DE .（2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用,a b 表示AG .98．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？99．复数()()222522i z m m m m =-++--，当m 取何实数时：(1)z 为实数；(2)z 为纯虚数；(3)z 对应的点在复平面上实轴的上半部分．100．2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；(3)若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？。

2.1.1 平面的性质一、选择题1．若点N 在直线a 上，直线a 在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ）A ．N a α∈∈B ．N a α∈⊂C ．N a α⊂⊂D ．N a α⊂∈2． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．1或4D ． 无法确定3． 空间四点A B C D 、、、共面但不共线，则下面结论成立的是 （ ）A ． 四点中必有三点共线B ． 四点中必有三点不共线C ．AB BC CD DA 、、、四条直线中总有两条平行 D ． 直线AB 与CD 必相交4． 空间不重合的三个平面可以把空间分成 （ ）A ．4或6或7个部分B ．4或6或7或8个部分C ．4或7或8个部分D ．6或7或8个部分5．如果,,,,B b A a b a =⋂=⋂⊂⊂ αα那么下列关系成立的是 （ ）A ．α⊂B ．α∉C ．A =⋂αD ．B =⋂α6．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为 （ ）A ．7个B ．6个C ． 5个D ．4个7．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是 （ ）A ． 1或3个B ．1或4个C ．1个、3个或4个D ． 1个、2个或4个8．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是 （ ）A ．1个B ．1个或2个C ．1个或3个D ．3个二、填空题9．直线AB AD α⊂、，直线CB CD β⊂、，点E AB ∈，点F BC ∈，点G CD ∈，点H DA ∈，若HE FG M =直线直线，则点M 必在直线＿＿＿＿＿＿上．10．正方体1111ABCD A BC D -中，对角线1BD 与过11 A D C 、、的平面交于点M ，则1:___________.BM MD = 11．如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，M N 、分别为111AA C D 、的中点， 过D M N 、、三点的平面与直线11A B 交于点P ，则线段1PB 的长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．三、解答题12.空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,上的点，已知EF 与HG 交于点Q ，求证：AC HG EF ,,三线共点.13．在正方体1111D C B A ABCD -中，设C A 1与平面D ABC 1交于Q ，求证：1,,D Q B 三点共线．14．在正方体1111D C B A ABCD -中,（１）作出平面B C A 11与平面ABCD 的交线；（２）若E 是线段1BB 的中点，作出平面E C A11与平面ABCD 的交线； （３）直线1C A 交平面11D ABC 于点M ,试作出点M 的位置．答案2.1.1 平面1.C2.D3.D4.C5.B6.C7.(1)βα∉∈A A ,(2),,,,a B a A B A ∈∈∉∈αα （3）a =βα8.4 9.无数 10.1或4AB CDE F GH Q11.（1）错误 （2）正确 （3）错误 （4）正确 （5）正确 12.111D ABC D 平面∈ ,,111CB D A D 平面∈11D ABC B 平面∈,CB D A B 11平面∈,11D ABC 平面∴平面CB D A 11=1BDQ D ABC C A =111平面 且BC D A C A 111平面⊂ BC D A Q 11平面∈∴,而11D ABC Q 平面∈三点共线11,,,D Q B BD Q ∴∈∴13.略14.（1）分别连接C D B A EF 11,,四点共面确定一个平面与是平行四边形四边形又且的中点和分别是C D F E CD EF CD EF CD B A BCD A BCC BD A B A EF B A EF AA AB FE 11111111111111,,//,//////21//,∴∴∴∴===∴（2）三线共点平面的公共点，而平面与平面是平面即平面，平面又平面平面设相交和直线DA F D CE AD P ADD D AA ABCD D D AA ABCD P ABCD P EC P ABCD CE D D AA P FD P D D AA F D P CEF D CE F D CD EF ,,,,,,,,21//11111111111111∴∈∴=∈∴∈⊂∈∴∈⊂=∴=。

（数学2必修）第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A.3 B. 23 C. 33 D. 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形主视图 左视图 俯视图在该正方体的面上的射影可能是____________。

BFDE15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.三、解答题1．将圆心角为0120，面积为3 的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积C [综合训练B 组] 一、选择题1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 22+ B ．221+ C ．222+ D ． 21+ 2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A．324R B．38R C ．324R D ．38R 3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ， 则球的表面积是（ ） Ａ．28cm π Ｂ．212cm πＣ．216cmπＤ．220cm π4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3 5．棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A ．1:7 Ｂ．2:7 Ｃ．7:19 Ｄ．5:166．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）A ．92Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．152二、填空题1．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。

高一数学必修2经典习题答案数学2（必修）第一章空间几何体[基础训练A组]一、选择题1. A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台2.A因为四个面是全等的正三角形，则44S S===表面积底面积3.B 长方体的对角线是球的直径，2450l R R S Rππ======4.D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a222aa r r r r r r=====内切球内切球外接球外接球内切球外接球，，：5.D213(1 1.51)32V V V rππ=-=+-=大圆锥小圆锥6.D 设底面边长是a，底面的两条对角线分别为12,l l，而22222212155,95,l l=-=-而222124,l l a+=即22222155954,8,485160a a S ch-+-====⨯⨯=侧面积二、填空题1.5,4,3符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台2.1:333333123123::::11:r r r r r r===3.316a画出正方体，平面11AB D与对角线1AC的交点是对角线的三等分点，三棱锥11O AB D-的高23111,2336h V Sh a a====或：三棱锥11O AB D-也可以看成三棱锥11A OB D-，显然它的高为AO，等腰三角形11OB D 为底面。

4. 平行四边形或线段5设ab bc ac===则1abc c a c===l==15设3,5,15ab bc ac===则2()225,15abc V abc===三、解答题1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积23111162564()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积23211122888()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,半径为8M .棱锥的母线长为l ==则仓库的表面积218()S M π=⨯⨯= 如果按方案二，仓库的高变成8M .棱锥的母线长为10l == 则仓库的表面积 2261060()S M ππ=⨯⨯=（3）21V V > ，21S S < ∴方案二比方案一更加经济2. 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则21203,3360l l ππ==；232,13r r ππ⨯==；24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面2111333V Sh π==⨯⨯⨯=第一章 空间几何体 [综合训练B 组]一、选择题1.A恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =⨯=+2.A2312,,23R r R r h V r h R πππ=====3.B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R =，2412R S R ππ=== 4.A(3)84,7S r r l r ππ=+==侧面积5.C 中截面的面积为4个单位， 12124746919V V ++==++6.D 过点,E F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，1313152323234222V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=二、填空题1.6π 画出圆台，则12121,2,2,()6r r l S r r l ππ====+=圆台侧面2.16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以AB 为高的圆锥，2211431633V r h πππ==⨯⨯=3.<设334,3V R a a R π====2264S a S R π=====<正球从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案==5.（1）4 （2）圆锥6． 设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=得2l r =，而22S r r r aππ=+⋅=圆锥表，即23,3r a r ππ===，即直径为三、解答题解：'1(),3V S S h h ==319000075360024001600h ⨯==++2. 解：2229(25)(25),7l l ππ+=+=空间几何体 [提高训练C 组] 一、选择题1.A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥，123123::1:2:3,::1:2:3,r r r l l l ==12312132::1:4:9,:():()1:3:5S S S S S S S S =--=3.D111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 4.D 121:():()3:13V V Sh Sh ==5.C121212:8:27,:2:3,:4:9V V r r S S ===6.A 此几何体是个圆锥，23,5,4,33524r l h S πππ====⨯+⨯⨯=表面2134123V ππ=⨯⨯=二、填空题1．设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则123r l ππ=，得6l r =，226715S r r r r ππππ=+⋅==，得r =h =211153377V r h ππ==⨯= 2.109Q22223,S R R R Q R πππ=+===全32222221010,,2233339V R R h h R S R R R R Qπππππ==⋅==+⋅== 3.821212,8r r V V ==4.12234,123V Sh r h R R ππ=====5.28'11()(416)32833V S S h =+=⨯⨯=三、解答题1.解：圆锥的高h =1r =，22(2S S S πππ=+=+=+侧面表面底面 解：S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面25(25)2πππ=⨯+⨯+⨯⨯⨯1)π=V V V =-圆台圆锥222112211()331483r r r r h r h πππ=++-=第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组]一、选择题1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内2. D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系4.B 连接,VF BF ，则AC 垂直于平面VBF ，即AC PF ⊥，而//DE AC ，DE PF ∴⊥5.D 八卦图 可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交6.C 当三棱锥D ABC -体积最大时，平面DAC ABC ⊥，取AC 的中点O ， 则△DBO 是等要直角三角形，即045DBO ∠= 二、填空题1.异面或相交 就是不可能平行2.0030,90⎡⎤⎣⎦ 直线l 与平面α所成的030的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l m ⊥，即m 与l 所成角的的最大值为0903.作等积变换：123411(),33d d d d h +++=而h =4.060或0120 不妨固定AB ，则AC 有两种可能5.2 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间； （2）是对的；（3）是错的；（4）是对的 三、解答题1.证明：//,////EH BCD FG BCD EH BCD BD BCD EH BD EH FG ⊄⎫⎪⊂⇒⊂⇒⎬⎪⎭2.略第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B 组] 一、选择题1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为即2R =2424R S R ππ===球2.D 取BC 的中点G ，则1,2,,EG FG EF FG ==⊥则EF 与CD 所成的角030EFG ∠=3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线4.C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换：111111A AB D A A B D V V --=，则1124633h ⨯⨯=⨯⨯5.B11211332A A BD D A BAa V V Sh --===⨯=6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题1．27 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分 2．异面直线；平行四边形；BD AC =；BD AC ⊥；BD AC =且BD AC ⊥3．0604．060 注意P 在底面的射影是斜边的中点5．三、解答题 1．证明：//b c ，∴不妨设,b c 共面于平面α，设,a b A a c B ==,,,A a B a A B αα∴∈∈∈∈，即a α⊂，所以三线共面 2．提示：反证法 3．略第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练C 组] 一、选择题1． A ③若m//α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2．C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则222222222,,x y a y z b x z c +=+=+=得2222221()2x y z a b c ++=++=3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影 5．C BC PA BC AH ⊥⇒⊥6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F，1,22EF BE BF ===cos EF BF θ==7．C 取SB 的中点G ，则2a GE GF ==，在△SFC中，EF =，045EFG ∠=二、填空题1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况2.48 每个表面有4个，共64⨯个；每个对角面有4个，共64⨯个3.090 垂直时最大4.030底面边长为1，tan θ=5.11 沿着PA 将正三棱锥P ABC -侧面展开，则',,,A D E A 共线，且'//AA BC 三、解答题：略第三章 直线和方程 [基础训练A 组] 一、选择题1.Dtan 1,1,1,,0ak a b a b b α=-=--=-=-=2.A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-=3.B42,82m k m m -==-=-+ 4.C ,0,0a c a cy x k b b b b =-+=-><5.C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为090，而斜率不存在6.C2223,m m m m +--不能同时为0 二、填空题1.22d ==2.234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+3.250x y --='101,2,(1)2(2)202k k y x --==-=--=--4.8 22x y +可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d ==5.23y x=平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2)三、解答题解：（1）把原点(0,0)代入A x B yC ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠； （4）0,A C ==且0B ≠ （5）证明：()00P x y ，在直线A x B yC ++=0上00000,Ax By C C Ax By ∴++==--()()000A x xB y y ∴-+-=。

一、选择题：1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )．A ．(2，2)B ．(1，1)C ．(－2，－2)D ．(－1，－1)3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )．A ．2B ．21 C ．－2 D ．－21 4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．46．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )．A ．(－2，4)B ．(2，－4)C ．(－1，2)D ．(1，2)7．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )．A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －1D ．y ＝－x －18．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是( )．A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．b ∥平面αD ．b 与平面α相交，或b ∥平面α9．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a ∥b 的是( )．A ．a ⊂α，b ⊂β，α∥βB ．a ∥α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊥α，b ⊂α10． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )． A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为( )．A ．∠D'DB B ．∠AD' C'C ．∠ADBD ．∠DBC'12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )．A ． 1B ．23 C ． 2D ． 313．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BA C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kgB ．1.76 kgC ．2.46 kgD ．3.52 kg二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．CBADA 'B 'C 'D ' (第11ABCA BEC(第13ABC DD C BA (第15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为．16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________． 18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积． 20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．一、选择题2．几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ） A ．3π B ．23πC ．πD ．43π3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ． 异面 D ．相交成60° 4．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b =（ ） A ．2B ．3C ．5D ．15．与直线:2l y x =平行，且到l 的距离为5的直线方程为（ ）ACPBDE(第20题)A ．25y x =±B ．25y x =±C ．1522y x =-± D ．1522y x =-±6．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(1,2)--7．已知菱形ABCD 的两个顶点坐标：(2,1),(0,5)A C -，则对角线BD 所在直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y -+= D ．250x y -+= 9．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是（ ） A ．22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)4x y -+-=C ．22(1)(1)2x y +++= D ．22(1)(1)4x y +++=10．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B ．22C ．7D ．3二、填空题：本大题共4小题．11. 直线0x ay a +-=与直线(23)0ax a y --=垂直，则a ＝.14.设集合{}22(,)4M x y x y =+≤，{}222(,)(1)(1)(0)N x y x y r r =-+->≤.当M N N =I 时，则正数r 的取值范围.三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标：(0,0),(3,3),(4,0)A B C ． ⑴ 求边CD 所在直线的方程（结果写成一般式） ； ⑵ 证明平行四边形ABCD 为矩形，并求其面积．16. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，且MN PC MN AB ⊥⊥，.证明：平面P AD ⊥平面PDC .17. 如图，已知直线1:40l x y +=，直线2:10l x y +-=以及2l 上一点(3,2)P -．求圆心在1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆的方程．18. 已知正四棱锥P －ABCD 如图. ⑴ 若其正视图是一个边长分别为332、、的等腰三角形，求其表面积S 、体积V ；⑵ 设AB 中点为M ，PC 中点为N ，证明：MN //平面P AD .19．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点.⑴ 求证：BD AE ⊥；⑵ 求证：//AC 平面1B DE ；⑶．求三棱锥1A B DE -的体积.20．已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．⑴ 证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；⑵ 当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度． \一、选择题1．B2．D3．D4．C5．A 6．D 7．A 8．D 9．C10．A 11．D12．C13．C14．D二、填空题15．512．16．(x －2)2＋y2＝10．17．1:3．18．到四个面的距离之和为定值．三、解答题19．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0． (2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是32，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝21·32·2＝332．20．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以DE ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，且DE ⊄平面P AC ，所以DE ∥平面P AC ．(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ．所以AB ⊥平面PBC ．又因为PB ⊂平面PBC ，所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°，所以∠PBC ＝45°，所以二面角P —AB —C 的大小为45°．21．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5294-m ＝5，即|4m －29|＝25．因为m 为整数，故m ＝1．故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0，即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞125． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(125，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－a 1，l 的方程为y ＝－a1(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝43．由于43∈(125，＋∞)，故存在实数a ＝43，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ． 一、选择题1． C 2． D 3． D 4． C5． B 6． A 7． A 8． D9． A10．C二、填空题：11. 0或212．5 13． 22+ 14.022r <-≤三、解答题：15．【解】⑴. 过,A B 两点的直线的斜率33ABk =，//CD AB ，∴33CD AB k k ==，又因直线过点(4,0)C ，∴CD 所在直线的方程为：30(4)3y x -=-，即340x y --=. ⑵. 可求||23,||2AB BC ==，故矩形ABCD 的面积||||43ABCD S AB BC =⋅=.16.【证明】设PD 中点为H ，连接NH 、AH ，则NH 是三角形PCD 的中位线，NH =//12CD ，而MA =//12CD ，故MA =//NH ，四边形AMNH 为平行四边形，//AH MN .而//MNAB DC AB ⊥，，故MN DC ⊥，又MN PC PC DC C ⊥=I ，，故MN ⊥平面PCD ，而//AH MN ，故AH ⊥平面PCD ， AH ⊂平面P AD ，故平面P AD ⊥平面PDC .17. 【解】设圆心为(,)C a b ，半径为r ，依题意，4b a =-.ACPBDE(第20设直线2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥，故21PC k k ⨯=-，∴2(4)13PC a k a---==-，解得1,4a b ==-.||22r PC ==.，所求圆的方程为222(1)(4)(22)x y -++=.18.【解】⑴. 设CD 中点为E ，则正四棱锥的正视图为三角形PME . 依题意，332PMPE ME ===、、，故几何体的表面积S ＝1423224342⎛⎫⨯⨯⨯+⨯=+⎪⎝⎭， 体积V ＝()2214243133⨯⨯-=. ⑵. 设PD 中点为F ，连接NF ，AF . 则NF 为三角形PCD 的中位线，故NF =//12CD ，MA =//12CD ，故NF =//MA ，四边形MNF A 为平行四边形， //MN AF ，MN ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，故MN //平面P AD .19．【证明】连接BD ，AE . 因四边形ABCD 为正方形，故BD AC ⊥，因EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，故EC BD ⊥，又EC AC C =I ，故BD ⊥平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，故BD AE ⊥. ⑵. 连接1AC ，设11AC B D G =I ，连接GE ，则G 为1AC 中点，而E 为1C C 的中点，故GE 为三角形1ACC 的中位线，//AC GE ，GE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ，故//AC 平面1B DE .⑶. 由⑵知，点A 到平面1B DE 的距离等于C 到平面1B DE 的距离，故三棱锥1A B DE -的体积11A B DE C B DE V V --=，而11111121223323C B DE D B CE B CE V V S DC --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，三棱锥1A B DE -的体积为23.20．⑴. 方法一：圆C 的方程可化为：222(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =.直线l 的方程可化为：(4)3y k x =-+，直线过定点(4,3)P ，斜率为k .定点(4,3)P 到圆心(3,4)C 的距离22(43)(34)2dr =-+-=<，∴定点(4,3)P 在圆C 内部，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. 方法二：圆C 的方程可化为：222(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =.圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=的距离2|1|1k d k --=+，2222122111k k k d k k ++==+++，因()()221210k k k +-=-≥，212k k +≥，2211k k +≥， 故22221241kdr d r k =+<=<+≤，，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. ⑵. 圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=的距离2|1|1k d k --=+C 被直线l 截得的弦长＝222222411k r d k ⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭，当0k=时，弦长23=；当0k ≠时，弦长2231k k=-+，下面考虑先求函数1y k k=+的值域. 由函数知识可以证明：函数在(1)-∞-，上单调递增，在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增（证明略）， 故当0k<时，函数在1k =-处取得最大值－2；当0k >时，函数在1k =处取得最小值2.即12k k +≥或12k k +-≤，故11012k k <+≤或11012k k-<+≤，可得2101k k --<+≤或2011k k <+-≤，即2111k k --+≤≤且201k k -≠+，22341k k-+≤≤且2331k k-≠+， 2222341k k-+≤≤且223231k k-≠+.综上，当1k =时，弦长取得最小值22；当1k =-时，弦长取得最大值4.。

高一数学必修二练习题高一数学必修二练习题数学作为一门学科，无论在学校还是在社会中都具有重要的地位。

而对于高中生来说，数学的学习更是必不可少的一部分。

高一数学必修二是高中数学课程中的一部分，主要内容涵盖了函数、三角函数、指数与对数等知识点。

为了更好地掌握这些知识，下面将介绍一些高一数学必修二的练习题。

一、函数函数是数学中的一个基本概念，也是高中数学中的重点内容之一。

函数的概念可以简单地理解为一种关系，即对于一个自变量的值，通过某种规则可以确定唯一的因变量的值。

在高一数学必修二中，函数的学习主要包括函数的定义、函数的性质、函数的图像以及函数的应用等。

在练习题中，可以通过一些具体的例子来加深对函数的理解。

例如，给定一个函数y = 2x + 1，要求确定其定义域、值域以及图像。

通过计算可以得到函数的定义域为全体实数集，值域为全体实数集，图像为一条直线。

这样的练习题可以帮助学生巩固对函数的基本概念的理解。

二、三角函数三角函数是高中数学中的另一个重要内容。

三角函数的学习主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及图像等。

在高一数学必修二中，学生需要掌握三角函数的周期性、图像的变化等。

在练习题中，可以通过一些实际问题来引导学生应用三角函数的知识。

例如，给定一个直角三角形，已知其中一个角的正弦值为1/2，要求确定该角的度数。

通过解三角函数的方程可以得到该角的度数为30°。

这样的练习题可以帮助学生将抽象的概念与实际问题相结合，提高对三角函数的理解和应用能力。

三、指数与对数指数与对数是高中数学中的另一个重要内容。

指数与对数的学习主要包括指数函数、对数函数的定义、性质以及应用等。

在高一数学必修二中，学生需要掌握指数与对数的基本运算规则、指数函数与对数函数的图像以及指数方程与对数方程的解法等。

在练习题中，可以通过一些实际问题来引导学生应用指数与对数的知识。

例如，给定一个指数方程2^x = 8，要求确定方程的解。

高中必修二数学练习题及讲解答案### 高中必修二数学练习题及讲解答案#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) ，求该函数的单调区间。

解答：首先，我们需要找到函数的导数来确定其单调性。

对 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 4x - 3 \)。

令 \( f'(x) = 0 \) 求得极值点：\[ 4x - 3 = 0 \]\[ x = \frac{3}{4} \]接下来，我们分析 \( f'(x) \) 的正负来确定单调性：- 当 \( x < \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) < 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) 上单调递减。

- 当 \( x > \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \) 上单调递增。

因此，函数 \( f(x) \) 的单调递减区间为 \( (-\infty,\frac{3}{4}) \)，单调递增区间为 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \)。

#### 练习题二：三角函数的图像与性质题目：已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且 \( \alpha \) 位于第一象限，求 \( \cos(\alpha) \) 的值。

解答：根据正弦和余弦的关系，我们知道：\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，代入上式得：\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} \]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{16}{25} \]因为 \( \alpha \) 在第一象限，余弦值为正，所以：\[ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \]#### 练习题三：不等式的解法题目：解不等式 \( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。

高一数学必修2试题附答案详解一、 选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

D.2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ）A. 300B.450C. 600D. 9004、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（ ）A. 300B.450C. 600D. 9005、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b=5-;C.a=2-,b=5;D.a=2-,b=5-.6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.A B A ’ C C ’9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.cm 34; C.4cm; D.8cm 。

10、圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（ ）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).11、直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定.12、圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:16)5()2(22=-+-y x 的位置关系是（ ）A 、外离B 相交C 内切D 外切二、填空题（5×5=25）13、底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为 cm 2。

（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组]一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A . 3B . 23C . 33D . 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A. 92πB. 72πC. 52πD. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）A ．130B ．140C ．150D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

主视图 左视图 俯视图C 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

数学必修2考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。

A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A3. 计算下列三角函数值：sin(π/6)。

A. 1/2B. √3/2C. 1/3D. √2/2答案：A4. 已知复数z = 3 + 4i，求z的共轭复数。

A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A5. 求下列二项式展开式的通项公式：(1 + x)^5。

A. C_5^k * x^kB. C_5^k * x^(5-k)C. C_5^k * x^k / k!D. C_5^k * x^(5-k) / k!答案：B6. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，求圆心坐标。

A. (0, 0)B. (2, 2)C. (-2, -2)D. (1, 1)答案：A7. 计算下列极限：lim(x→0) [sin(x) / x]。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。

A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 1D. x^3 - 6x^2 + 2答案：A9. 求下列矩阵的行列式值：| 1 2 || 3 4 |A. -2B. 2C. 5D. 8答案：B10. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {1, 2, 4}答案：B二、填空题（每题6分，共30分）1. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为2，4，8，则该数列的公比q为______。

答案：22. 求函数f(x) = x^2 - 6x + 8的顶点坐标。

一、选择题【共10道小题】1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( )①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:思路解析:逐个对各选项分析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,①对;两条平行直线是可以确定一个平面的,三条平行直线有可能确定三个平面,②错;三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上,③错;设这四条直线分别为l1、l2、l3、l4,取其中两条相交直线l1和l2,则它们可确定一个平面α,取l3,设其与l1、l2的交点分别为A、B,则由题意知这两点不同,且A∈l1,B∈l2,所以有A、B∈α,从而l3∈α;同理可证明l4∈α.所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面,④对.答案:B主要考察知识点:空间直线和平面2、如图2-1-17,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°图2-1-17参考答案与解析:思路解析:求EF与SA所成的角,可把SA平移,使其角的顶点在EF上,为此取SB的中点G,连结GE、GF、BE、AE.由三角形中位线定理得GE=BC,GF=SA,且GF∥SA,所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此空间四边形边长为a,那么GF=GE=a,EA=a,EF=a,因此△EFG为等腰直角三角形,∠EFG=45°,所以EF与SA所成的角为45°.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面3、如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交参考答案与解析:思路解析:利用线面平行的定义.直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面4、若点M在直线α上，α在平面α内，则M、a、α间的上述关系可记为( )A.M∈a,a∈αB.M∈a,aαC.M a,aαD.M a,aα参考答案与解析:B主要考察知识点:空间直线和平面5、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF与HG交于点M，则( )A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在AC上，也可能在BD上D.M不在AC上，也不在BD上参考答案与解析:A主要考察知识点:空间直线和平面6、下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点参考答案与解析:解析：A错,不共点的三点;B错,如空间四边形;D错,两平面的三个交点在同一直线上.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面7、若点M在直线a上,a在平面α内，则M，a,α间的上述关系可记为（）A.M∈a,a∈αB.M∈a,C.,D.,参考答案与解析:解析：要明确数学符号语言的表示.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面8、异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线参考答案与解析:解析：A错,有可能平行；B错,有可能平行或相交；C错,有可能平行或相交；D正确.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、若a∥α,b∥α,则直线a、b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面 D.A、B、C均有可能参考答案与解析:解析：平行、相交、异面都有可能,此题的难点在于可能选平行,易和平行公理混淆.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面10、下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线,则a∥α;④若直线a∥b,bα,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行.∴②是假命题.对于③,∵直线a∥b, ,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α.∴③是假命题.对于④,∵a∥b, ,那么aα或a∥α,∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上所述,真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为__________.参考答案与解析:解析：(1)当题中三条直线共点但不共面相交时，可确定3个平面；而P点与每条直线又可确定3个平面，故共确定6个.主要考察知识点:空间直线和平面2、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.参考答案与解析:思路解析:由公理4可知不可能平行,只有相交或异面.答案:相交或异面主要考察知识点:空间直线和平面3、看图填空.(1)AC∩BD=_______;(2)平面AB1∩平面A1C1=________；(3)平面A1C1CA∩平面AC=________；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=_________;(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=_________；(6)A1B1∩B1B∩B1C1=_________.参考答案与解析:解析：两个面的两个公共点连线即为交线.答案：（1）O（2）A1B1（3）AC（4）OO1（5）B1（6）B1主要考察知识点:空间直线和平面4、已知平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定平面_______个.参考答案与解析:解析：分类,如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面,如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,可确定四个.答案：1或4主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.参考答案与解析:解析：本题是一个证明三点共线的问题，利用公理3，两平面相交时，有且只有一条公共直线.因此只需证明P、Q、R三点是某两个平面的公共点，即可得这三个点都在两平面的交线上，因此是共线的.证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC 交平面α于点R,则P、Q、R三点都在平面α内，又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交线上，而两平面的交线只有一条，所以P、Q、R三点共线.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.①哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？②直线BA′和CC′的夹角是多少？③哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？参考答案与解析:解析：①由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′,B′D′所在直线分别与直线BA′是异面直线.②由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以BA′与CC′的夹角为45°.③直线AB，BC，CD，DA，A′B′,B′C′,C′D′,D′A′分别与直线AA′垂直.主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线b∥c,且直线a与b、c都相交,求证:直线a,b,c共面.参考答案与解析:证明:∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α.设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,即.∴三线共面.主要考察知识点:空间直线和平面一、选择题【共10道小题】1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )A.平行B.异面C.相交 D.平行或异面参考答案与解析:解析：两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面2、下列结论中，正确的有( )①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aαA.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：若aα，则a∥α或a与α相交，由此知①不正确若a∥平面α,bα,则a与b异面或a∥b，∴②不正确若平面α∥β，aα，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确由平面α∥β，点P∈α知Pβ过点P而平行平β的直线a必在平面α内，是正确的.证明如下：假设aα，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，则γ与平面β必相交.设γ∩α=b,γ∩β=c,则点P∈b.由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,则a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα.故④正确.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内 D.不能确定参考答案与解析:解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC平面DEF.若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在参考答案与解析:解析：如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不存在.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.bαC.b与α相交D.以上都有可能参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面,a与α平行,所以b与α的位置可以平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α),∴①是假命题.对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行，∴②为假命题.对于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α.∴③也是假命题.对于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面7、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥αA.0个B.1个C.2个 D.3个参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④ D.①和④参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有()A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：面A1C1,面DC1,面AC共3个.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（）A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：主要考察知识点:空间直线和平面2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内主要考察知识点:空间直线和平面3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.参考答案与解析:相交或平行或异面主要考察知识点:空间直线和平面4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_________.参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD1，在△BDD1中，E 为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行主要考察知识点:空间直线和平面1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE. 同理不总有BE∥CF.②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.AGED为平行四边形.∴AG=DE.同理GH=EF.又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD 的中心，求证：MN∥平面PB1C.参考答案与解析:证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.一、选择题【共10道小题】1、二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角参考答案与解析:解析：根据二面角的定义讨论，故选C.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( )A.α∥β且γ∥ωB.α∥β或γ∥ωC.这四个平面中可能任意两个都不平行D.这四个平面中至多有一对平面平行参考答案与解析:解析：若α∩β=a.∵α⊥γ,β⊥γ，∴α⊥γ.同理a⊥ω.∴γ∥ω;若α∥β,则γ与ω相交或平行，∴α∥β或γ∥ω.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3参考答案与解析:解析：①m∥α,n∥α不一定有m∥α.②③正确.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面4、如图2-3-15,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )图2-3-15A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.答案:A主要考察知识点:空间直线和平面5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A 到BC的距离是……()图2-3-16A.1B.C.D.参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°,∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.∵AD=,DE=BC=,∴AE=.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE.∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥平面AEC.又AC面AEC，∴BD⊥AC.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α∥β,,则l∥β;②若, ,M∥β,n∥β，则α∥β；③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α.其中正确命题的序号是( )A.①③④B.①②③C.①③D.②④参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、下列说法中正确的是()①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直A.①②③B.①②③④C.②③D.②③④参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面3、设三棱锥P ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:______________.参考答案与解析:解析：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心.②∵PA⊥PB，PA⊥PC,∴PA⊥面PBC.∴PA⊥BC.又PH⊥面ABC，∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH.∴AH⊥BC.同理BH⊥AC，∴H为垂心.③∵H为AC中点，∠ABC=90°,∴AH=BH=CH.又PH⊥面ABC，由勾股定理知PA=PB=PC.④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.答案：①②③④主要考察知识点:空间直线和平面4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________.参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，设PM=PN=a,又∠BPM=∠B PN=45°,∴△OPM≌△OPN.∴ON⊥AB.∴∠MON为所求二面角的平面角.连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a.又,∴MO2+NO2=MN2.∴∠MON=90°.答案：90°主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC 均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系.证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1,∴EF⊥平面A1C1D. ①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又A1B1C1D1为正方体,∴A1C1⊥B1D1.∵BB1∩B1D1＝B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1.同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1,∴BD1⊥平面A1C1D. ②由①②可知EF∥BD1.主要考察知识点:空间直线和平面2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释.图2-3-22如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.在Rt△BAD中,sinα=.①在Rt△BCD中,sinβ=.②比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,所以＞.又因为α、β都是锐角,所以α＞β.因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC.∴DE⊥BC.∴∠AE D为二面角A-BC-D的平面角.又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，∴.又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2.在Rt△DEB中，，BE=1，∴,同理.在△AE D中，∵AE=DE=,AD=2,∴AD2=AE2+DE2.∴∠AE D=90°.∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°.主要考察知识点:空间直线和平面一、选择题【共12道小题】1、下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等参考答案与解析:B主要考察知识点:简单几何体和球2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥参考答案与解析:D主要考察知识点:简单几何体和球3、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设球半径为R，截面半径为r.+r2=R2,∴r2=.∴.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是( )参考答案与解析:解析：由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S′，则长方体的侧面积等于( )A. B.C. D.参考答案与解析:解析：设长方体的底面边长分别为a、b，过相对侧棱的截面面积S′=①,S=ab②,由①②得：(a+b)2=+2S,∴a+b=,S侧=2(a+b)h=2h.答案：C主要考察知识点:简单几何体和球6、设长方体的对角线长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°,则此长方体的体积是( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a、b、c，并且长为a、b的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a=4cos60°=2,b=4cos60°=2.根据长方体的对角线性质，有a2+b2+c2=42,即22+22+c2=42.∴c=.因此长方体的体积V=abc=2×2×=.答案：B主要考察知识点:简单几何体和球7、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则( )A.S1＜S2＜S3B.S3＜S2＜S1C.S2＜S1＜S3 D.S1＜S3＜S2参考答案与解析:解析：由截面性质可知，设底面积为S.;;可知：S1＜S2＜S3故选A.用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质都是一些比例关系：截得面积之比就是对应高之比的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方，所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥的高，而不是两部分几何体的高.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连结球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S·r=·S·h,r= h (其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)答案：C主要考察知识点:简单几何体和球9、若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.1∶16B.3∶27C.13∶129D.39∶129参考答案与解析:解析：由题意设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有,∴x=.∴.答案：D主要考察知识点:简单几何体和球10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A. B. C.D.。

高中必修2数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(2) \)的值。

A. 5B. 3C. 1D. -12. 如果\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)3. 直线\( y = 3x + 2 \)与直线\( y = -4x + 6 \)的交点坐标是：A. (-1, 1)B. (1, 3)C. (2, 8)D. (-2, 4)4. 已知\( a \)，\( b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

A. (3, 6)B. (6, 3)C. (5, 5)D. (以上都不是)5. 圆\( x^2 + y^2 = 25 \)的半径是：A. 5B. 10C. 15D. 256. 函数\( y = \log_{10}x \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 0 \)D. \( x \leq 0 \)7. 已知\( \tan(\theta) = 2 \)，求\( \sin(\theta) \)的值。

A. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)B. \( -\frac{2}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)D. \( -\frac{1}{\sqrt{5}} \)8. 抛物线\( y = x^2 - 2x + 1 \)的顶点坐标是：A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (1, 1)D. (-1, 1)9. 已知\( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \)，求\( \cos(2\theta) \)的值。