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数列讲义(精华版)

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数 列 一、数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式

的关系：11,(1),(2)nnnSnaSSn（必要时请分类讨论）． 注意：112211()()()nnnnnaaaaaaaa；121121nnnnnaaaaaaaa． 二、等差数列{}na： 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即na－1na=d ，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。 性质：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． 单调性：na的公差为d，则： ⅰ）0dna为递增数列； ⅱ）0dna为递减数列； ⅲ）0dna为常数列；

（2）1(1)naand()manmd；pqmnpqmnaaaa． （3）1. 1(1){}nkma（k，m为正整数）即下标为等差数列的项仍组成等差数列； 2.数列ban（b,为常数）仍为等差数列； 3.若{}na、{}nb是等差数列，则{}nnkapb(k.p为不同时为零的常数)成等差数列。 （4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．

（5）1211,,mkkkmaaaaaa仍成等差数列． 若等差数列na的前项和，、、„ 是等差数列

（6）1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad，21()22nddSnan，2121nnSan，()(21)nnnnAafnfnBb．

（7）,()0pqpqaqappqa；,()()pqpqSqSppqSpq；mnmnSSSmnd．

（8）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；

nnSkSkkSS2kkSS23（9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项． （10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解． （11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．

数列{na}为等差数列napnq（p,q是常数）

三、等比数列{}na： 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

性质：（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．

110,10,01aqaq或na为递增数列；

110,010,1naqaqa或为递减数列；

1nqa为常数列；

0nqa为摆动数列；

（2）11nnaaqnmmaq； pqmnpqmnbbbb． （3）{||}na，1(1){}nkma，2nncaa，， 1na，()rnarZ是等比数列，公比依次是

|q|，qm，21.rqqqq，，， （4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列． （5）1211,,mkkkmaaaaaa成等比数列． 若等比数列na的前项和，则、、„ 是等比数列.

（6）111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111nnnnnaqnaqSaaaaqaqqqqqqqq． 特别：123221()()nnnnnnnababaabababb． （7）mnmnmnnmSSqSSqS．

nnSkSkkSS2kkSS23（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积； （9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．

（10）并非任何两数总有等比中项．仅当实数,ab同号时，实数,ab存在等比中项．对同号

两实数,ab的等比中项不仅存在，而且有一对Gab．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解． （11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）．

四、等差数列与等比数列的联系 （1）如果数列{}na成等差数列，那么数列{}naA（naA总有意义）必成等比数列． （2）如果数列{}na成等比数列，那么数列{log||}(0,1)anaaa必成等差数列． （3）如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列；但数列{}na 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． （4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． 如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列．

注意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab．但也有少数问题中研究nnab，这时既要求项相同，也要求项数相同．（2）三（四）个数成等差（比）的中项转化和通项转化法．

五、等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与na的关系，求数列na的通项na可用公式

11,(1),(2)nnnSnaSSn







构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a和na合为一个表达，（要先分1n和2n分别进行运算，然后验证能否统一）。

nnS类型Ⅲ 累加法： 形如)(1nfaann型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造：

11221(1)(2)..(1.)nnnnaafnaafnaaf







将上述1n个式子两边分别相加，可得：

1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan

①若()fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若()fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若()fn是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ④若()fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法： 形如1()nnaafn 、 1()nnafna型的递推数列（)(nf是关于n的函数）可构造：

11221(1)(.2)(1..)nnnnafnaafnaafa







将上述1n个式子两边分别相乘，可得：

1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

类型Ⅴ 构造数列法： （一）形如qpaann1（其中,pq均为常数且0p）型的递推式：

（1）若1p时，数列{na}为等差数列; （2）若0q时，数列{na}为等比数列; （3）若1p且0q时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种： 法一：设1()nnapa,展开移项整理得1(1)nnapap,与题设

1nnapaq比较系数（待定系数法）得

1,(0)()111nnqqqpapappp



1()11nnqqapapp,即1nqap构成以11qap

为首项，以p为公比的等

比数列.再利用等比数列的通项公式求出1nqap的通项整理可得.na 法二：由qpaann1得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等比数列.求出1nnaa的通项再转

化为类型Ⅲ（累加法）便可求出.na

（二）形如1()nnapafn(1)p型的递推式：

⑴当()fn为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设1(1)nnaAnBpaAnB，通过待定系数法确定AB、的值，转化成以1aAB为首项，以p为公比的等比数列naAnB，再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na 法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：1()nnapafn，1(1)nnapafn

两式相减得：11()nnnnaapaad，令1nnnbaa得：1nnbpbd转化为类型Ⅴ求出 nb，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出.na ⑵当()fn为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设1()(1)nnafnpafn，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，以p为公比的等比数列()nafn，再利用等比数列的通项公式求

出()nafn的通项整理可得.na 法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：1()nnapafn——①，

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数列讲义

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数列讲义（共五讲）第一讲 数列的概念及简单表示方法考点自测1．(课本改编题)已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________． 2．(课本改编题)已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项． 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝__________，数列{na n }中数值最小的项是第________项．4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156n (n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是( )A ．a 12B ．a 13C ．a 12或a 13D ．不存在5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于()A ．1B ．－1C ．5D ．－5题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…. 练习：写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….题型二 已知数列的递推公式求通项公式例2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 练习：根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3；(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1；(3)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1；(4)在数列{a n }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0.题型三 由a n 与S n 的关系求通项a n例3 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. 求{a n }的通项公式．练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．第一次作业A 组 专项基础训练题组1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 2．数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于 ( )A ．34B ．55C ．89D ．100 3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1)B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n4．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝________.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为______，k 的值为______．6．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________. 三、解答题7．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？B 组 专项能力提升题组1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 011的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．32．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.1323．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.31154．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________.5．数列53，108，17a ＋b，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是______________．6．(2011·浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 7．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1) (n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．第二讲 等差数列及其前n 项和考点自测1．(课本改编题)有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{a n }的通项公式a n ＝______________.2．(课本精选题)已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________．3．(课本改编题)已知数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2 (n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.5．(2011·江西)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18B ．20C ．22D ．24题型一 等差数列的判定或证明例1 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．题型二 等差数列的基本量的计算例2 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围． 练习：(2011·福建)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．题型三 等差数列的前n 项和及综合应用例3 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 练习：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .试题：(12分)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .第二次作业A 组 专项基础训练题组1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( )A ．31B ．32C ．33D ．34 2．数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400 D ．20 3．(2011·大纲全国)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．54．(2011·辽宁)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数)． (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．B 组 专项能力提升题组1．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.16 C.13 D.122．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是( )A ．85B ．90C ．95D ．1004．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．5．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．6．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．7．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第三讲 等比数列及其前n 项和考点自测1．(课本改编题)在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是____________． 2．(课本精选题)在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 3．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.4．(2011·广东)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 5．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是 ( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3题型一 等比数列的基本量的运算例1 (1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8；(2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项．练习：设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．题型二 等比数列的定义及判定例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．题型三 等比数列的性质及应用例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．练习：(1)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10；(2)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值； (3)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.题型四 等差、等比数列的综合应用例4 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.练习：已知数列{a n }满足a 1＝12，3(a n ＋1－a n )1＋a n ＋1＝1－a n ＋1a n ＋1＋a n，且a n ＋1·a n <0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1－a 2n ，试问数列{b n }中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列；若不存在，说明理由． 试题：(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．第三次作业A 组 专项基础训练题组1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，S n 等于( ) A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －12．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或123．(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．164．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若a n ＝64，则n 的值为________．5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是______． 6．设等比数列{a n }的公比q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 7．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .8．S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和公式； (3)求数列{S n }的前n 项和．B 组 专项能力提升题组1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )2．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn等于( )A.32B.32或23C.23D ．以上都不对 3．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n＝f (n ) (n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎭⎫12，1 4．在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.5．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝__. 6．已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 3＋a 4＝12，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为________． 7．等比数列{a n }的公比q >1，a 1与a 4的等比中项是42，a 2和a 3的等差中项为6，数列{b n }满足b n ＝log 2a n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3 (n ∈N *)，其中m 为常数，m ≠ －3且m ≠0.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1) (n ∈N *，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列，并求b n .第四讲 数列求和考点自测1．(课本改编题)数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.2．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其中前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝________.4．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110B ．－90C ．90D ．1105．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于 ( )A.3n ＋12B.3n ＋32C.3n －12D.3n －32题型一 分组转化求和例1 求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 练习：求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 013的n 的最小值． 题型三 裂项相消法求和例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝32log (3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .试题：(12分)(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .第四次作业A 组 专项基础训练题组1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －22． a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在纵截距为 ( )A ．－10B ．－9C ．10D ．93．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．04．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.5．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________. 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2 (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n . 8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .B 组 专项能力提升题组1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为 ( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158 2．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4004．已知等差数列的公差d <0，前n 项和记为S n ，满足S 20>0，S 21<0，则当n ＝______时，S n 达到最大值．5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．7．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根．则数列{a n }的通项公式是a n ＝________；若b n ＝a n ＋12n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝__________.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .第五讲 数列的综合应用题型一 等差数列与等比数列的综合应用例1 在等比数列{a n } (n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小．练习：已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1 (n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．题型二 数列与函数的综合应用例2 已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2n a)＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．练习：已知定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)的图像被f (x )的图像截得的弦长为417，数列{a n }满足a 1＝2，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0 (n ∈N *)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)，求数列{b n }的最值及相应的n .题型三 数列与不等式的综合应用例3 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n.(1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n <b n .练习：已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0032对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .试题：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.第五次作业A 组 专项基础训练题组1．(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 2．(2010·福建)等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．93．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n ) (n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n4．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．6．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________. 7．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n 12log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．B 组 专项能力提升题组1．{a n }是等差数列，a 2＝8，S 10＝185，从{a n }中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n 项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，则b n 等于 ( )A ．3n ＋1＋2B ．3n ＋1－2 C ．3n ＋2 D ．3n －22．已知数列{a n }通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值313．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4 (n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小正整数n 是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8 4．(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 12 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________．6．对正整数n ，若y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为____．7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n －1n (n ＋1).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和S n .8．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．不等式及不等关系考点自测1．(课本改编题)已知a >b >0，c <0，则下列不等式成立的所有序号是________．①ac >bc ；②ab >ac ；③ab <bc ；④c a <c b ；⑤c a >cb.2．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________3．(课本改编题)已知a >b >0，且c >d >0，则a d 与bc 的大小关系是________．4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是__________.题型一 不等式的性质例1 对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2；(4)若a <b <0，则1a >1b ； (5)若a <b <0，则b a >ab .练习：适当增加不等式条件使得下列命题成立：(1)若a >b ，则ac ≤bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a 2>b 2； (3)若a >b ，则lg(a ＋1)>lg(b ＋1)．题型二 比较实数或代数式的大小例2 已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．练习:已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．题型三 不等式性质的应用例3 设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．练习：（1）(2010·江苏)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．（2）已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y≤3，求lg x33y的取值范围．题型四 与一元二次不等式有关的恒成立问题例4设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．练习：1.已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________ 2.若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为__________3．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是______．4．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．5．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是___． 6．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．课外作业A 组 专项基础训练题组1．若a >b >0，则( )A ．a 2c >b 2c (c ∈R )B.ba>1 C ．lg(a －b )>0 D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b 2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( )A.1a >1bB.1a －b >1a C ．|a |>－bD.－a >－b3．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b4．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是____________．5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0.其中真命题为______．(把正确命题的序号写在横线上)6．给出条件：①1<a <b ；②0<a <b <1；③0<a <1<b .其中，能推出log b 1b <log a 1b <log a b 成立的条件的序号是____．7．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；(2)当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围．B 组 专项能力提升题组1．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a2．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：①若a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －a .其中正确命题的序号是( ) A ．①④B ．①②④C ．③④D ．②③3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b4．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．5．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是_________．6．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是_______．7．已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .8．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．。

数学专题讲义---数列(完整资料)

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一． 等差、等比数列的基本理论⑴等差、等比数列：⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法：①1(2,)n n a a q n q -=≥为非零常数②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ③n n cq a =(q c ,为非零常数).⑷数列{n a }的前n 项和n S 与其通项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn例1. 在等差数列{}n a 中，972S =。

求249?a a a ++=解：法一：因为9119(91)9936722S a d a d -=+=+=所以148a d +=249113123(4)3824a a a a d a d ∴++=+=+=⨯=法二：因为91289...72S a a a a =++++=而19285...2a a a a a +=+==所以 5972a = 58a ∴=249533824a a a a ∴++==⨯=例2. 在等比数列{}n a 中，11a =，634S S =。

求4?a =解：因为634S S =所以公比1q ≠（事实上，若1q =，则6166S a ==，3133S a ==此时显然不满足题设条件634S S =）于是有 6311(1)(1)411a q a q q q--=-- 6314(1)q q ⇒-=- 又6331(1)(1)q q q -=+-314q ∴+= 33q ∴=341133a a q ∴==⨯=例3. 在等差数列{}n a 中，535a a =。

求95?S S = 解：法一：19551513319(91)999(4)992595(51)5(2)55552a d S a a a d S a d a a a d -++====⋅=⋅=-++ 法二：因为95539,5S a S a == 所以95553399959555S a a S a a ==⋅=⋅= 例4. 设数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=， n *∈N 。

高中数学数列讲义

高中数学数列讲义

----数列讲义授课教师：听课学生：2021 -6-20PartI根底达标一、数列数列的根本概念及性质数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作a，在数列第一个位置的项叫第1项〔或首n项〕，在第二个位置的叫第2项，,,，序号为n的项叫第n项〔也叫通项〕记作a；n 数列的一般形式：a，a2，a3，,,，a n，,,，简记作a n。

1通项公式的定义：如果数列{a n}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是a=n〔n7，nN〕，数列②的通项公式是a n=n 1 n〔nN〕。

注意：①a表示数列，an表示数列中的第n项，a n=fn表示数列的通项公式；n②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，a=(1)n=n 1,n2k11,n2k(kZ)；③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，,,数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N〔或它的有限子集〕的函数f(n)当自变量n从1开场依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),,,，f(n)，,,．通常用an 来代替fn，其图象是一群孤立点。

数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列〔递增数列、递减数列〕、常数列和摆动数列。

递推公式定义：如果数列a n的第1项〔或前几项〕，且任一项a n与它的前一项a n1〔或前几项〕间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

数列{a n}的前n项和S n与通项a n的关系：anS(n1)1SS(n≥2)nn112021 -6-202.例题讲解与练习类型一：数列的根本计算1.数列{a n}中，an1a2,a(n2,3,4,1n1a〕，那么它的前5项是。

数列知识点归纳总结讲义

数列知识点归纳总结讲义

数列知识点归纳总结讲义数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。

正如其名称所示，数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。

在学习和应用数列时，我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。

本文将对数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一组数，用字母表示为{a₁，a₂，a₃，...}。

2. 项与序号：数列中的每个数称为项，对应的位置称为序号。

第一项为a₁，第二项为a₂，以此类推。

3. 通项公式：数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系，这种关系用通项公式来表示，通常用aₙ表示第n个项的值。

4. 数列的有穷与无穷：当数列中的项有限个时，称其为有穷数列；当数列中的项无限多时，称其为无穷数列。

二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是一种最为常见的数列类型，其特点是每个项之间的差值相等。

通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。

例如：2，5，8，11，14...就是一个以3为公差的等差数列。

2. 等比数列：等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。

通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。

例如：1，2，4，8，16...就是一个以2为公比的等比数列。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每个项都是前两项的和。

通项公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁其中，a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。

例如：1，1，2，3，5，8，13...就是一个斐波那契数列。

4. 平方数列：平方数列是指数列中每个项都是某个整数的平方。

通项公式：aₙ = n²其中，n表示项数。

例如：1，4，9，16，25...就是一个平方数列。

5. 等差数列与等比数列混合：有时数列中既存在等差关系，又存在等比关系，称其为等差数列与等比数列混合数列。